Exercícios: Lei da Gravitação Universal e leis de Kepler

Enuncie a Lei da Gravitação Universal de Newton com suas próprias palavras e escreva a expressão matemática da intensidade da força de atração entre duas massas $m_1$ e $m_2$ separadas por uma distância $d$, indicando o significado de cada símbolo, inclusive o da constante $G$.

Duas esferas de massas $m_1 = 4{,}0\ \text{kg}$ e $m_2 = 6{,}0\ \text{kg}$ têm os centros separados por $d = 2{,}0\ \text{m}$. Considerando $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, calcule a intensidade da força gravitacional que uma esfera exerce sobre a outra.

Enuncie a Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas) e a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas). Em seguida, diga em que ponto da órbita elíptica de um planeta ao redor do Sol a velocidade do planeta é maior: no periélio ou no afélio.

Dois corpos se atraem com uma força gravitacional de intensidade $F$. Responda, justificando com a expressão da lei de Newton, o que acontece com a intensidade da força nas situações abaixo, tomando cada uma separadamente a partir da situação inicial:

1. a) a distância entre os corpos é dobrada;
2. b) a massa de um dos corpos é triplicada;
3. c) a distância é reduzida à metade e as duas massas são dobradas.

A Terra tem massa $M = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e raio $R = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Use $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcule a intensidade da força gravitacional que a Terra exerce sobre a Júlia, de massa $50\ \text{kg}$, que está na superfície.
2. b) A partir desse resultado, determine a aceleração da gravidade na superfície terrestre e comente se o valor obtido é coerente com $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$.

A Terceira Lei de Kepler afirma que $T^2 / r^3$ é constante para os planetas que orbitam o Sol, em que $T$ é o período e $r$ o raio médio da órbita. Considere que um planeta hipotético orbita o Sol com raio médio igual a 4 vezes o raio médio da órbita da Terra.

1. a) Determine o período desse planeta, em anos terrestres.
2. b) Explique por que esse planeta se move, em média, mais lentamente que a Terra.

Um satélite artificial de massa $m$ descreve uma órbita circular de raio $r$ em torno de um planeta de massa $M$. Considere que a força gravitacional é a resultante centrípeta.

1. a) Mostre que a velocidade orbital do satélite é $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
2. b) Mostre que o período satisfaz $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\, r^3$, relacionando esse resultado com a Terceira Lei de Kepler.
3. c) Explique por que a velocidade e o período não dependem da massa $m$ do satélite.

Um satélite de comunicações em órbita circular ao redor da Terra permanece sempre sobre o mesmo ponto do equador, sobre Fortaleza, por exemplo, o que significa que seu período é de 24 h ($T = 8{,}64 \times 10^{4}\ \text{s}$). Dados: $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, massa da Terra $M = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ e raio da Terra $R = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Considere $\pi^2 \approx 10$ e $\sqrt[3]{x}$ obtida com calculadora.

1. a) Determine o raio da órbita desse satélite e a sua altitude em relação à superfície da Terra.
2. b) Calcule a velocidade orbital do satélite.
3. c) Um segundo satélite, de massa maior, é colocado na mesma órbita. Argumente se o período dele seria igual ou diferente do primeiro, justificando com as relações da gravitação.