Ecuación de Bernoulli y teorema de Torricelli · Física 5.° de secundaria

La ecuación de Bernoulli

Hasta ahora usaste dos herramientas para fluidos: la presión en reposo ($p = \rho g h$) y la continuidad ($A_1 v_1 = A_2 v_2$). Falta una que relacione presión, velocidad y altura a la vez. La obtenemos pensando en energía.

Un trozo de agua que sube, se acelera o es empujado por el agua de atrás gana o pierde energía. Si no hay fricción, la energía total no cambia. Dividimos todas las energías entre el volumen del trozo de fluido y obtenemos energía por unidad de volumen (J/m³, que es lo mismo que Pa).

Esto vale para un fluido ideal:

incompresible (la densidad $\rho$ no cambia),
no viscoso (sin fricción interna),
en flujo estacionario (en cada punto la velocidad no cambia con el tiempo).

Cada sumando es una energía por unidad de volumen:

Término	Nombre	Qué energía representa
$P$	presión	energía de presión (el trabajo del fluido que empuja)
$\tfrac{1}{2}\rho v^2$	presión dinámica	energía cinética por unidad de volumen
$\rho g h$	presión por altura	energía potencial gravitatoria por unidad de volumen

Aquí $\rho$ es la densidad (agua: $1.000\ \text{kg/m}^3$), $v$ la velocidad, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ y $h$ la altura medida desde un nivel de referencia que tú eliges, el mismo para los dos puntos.

Practica★☆☆

Escribe la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal que se mueve entre dos puntos de una tubería. Nombra cada término ($P$, $\rho$, $v$, $g$, $h$) e indica qué tipo de…

Escribe la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal que se mueve entre dos puntos de una tubería. Nombra cada término ($P$, $\rho$, $v$, $g$, $h$) e indica qué tipo de energía por unidad de volumen representa cada sumando.

Resolver

Tubería horizontal: donde corre más, empuja menos

Si la tubería es horizontal, $h_1 = h_2$ y el término $\rho g h$ se cancela. Queda:

$$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$$

La suma de presión y energía cinética por volumen es constante. Si el agua se acelera, la presión baja.

Esto va junto con la ecuación de continuidad. En la parte angosta la velocidad aumenta ($A_1 v_1 = A_2 v_2$). Para acelerar, el agua necesita que le empuje más desde atrás (en la parte ancha) que desde adelante (en la angosta). Por eso la presión es menor en la parte angosta.

Presión en un estrechamiento

Por una tubería horizontal circula agua. En un punto, $v_1 = 2\ \text{m/s}$ y $P_1 = 150.000\ \text{Pa}$. En un punto más angosto, $v_2 = 6\ \text{m/s}$. ¿Cuánto vale $P_2$?

Plantear. La tubería es horizontal, así que $h_1 = h_2$ y se cancela:

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$

Despejar $P_2$:

$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\,(v_1^2 - v_2^2)$

Reemplazar con $\rho = 1.000\ \text{kg/m}^3$:

$P_2 = 150.000 + \tfrac{1}{2}\cdot 1.000\cdot(2^2 - 6^2) = 150.000 + 500\cdot(4 - 36)$

Calcular:

$P_2 = 150.000 - 16.000 = 134.000\ \text{Pa}$

La presión bajó $16.000\ \text{Pa}$ porque el agua ganó energía cinética.

Tu turno: si en el punto angosto la velocidad fuera $4\ \text{m/s}$, ¿cuánto valdría $P_2$? (Respuesta: $144.000\ \text{Pa}$.)

Practica★★☆

Por una tubería horizontal circula agua. En un punto la velocidad es $2\ \text{m/s}$ y la presión es $150.000\ \text{Pa}$. En otro punto más angosto la velocidad es…

Por una tubería horizontal circula agua. En un punto la velocidad es $2\ \text{m/s}$ y la presión es $150.000\ \text{Pa}$. En otro punto más angosto la velocidad es $6\ \text{m/s}$. Aplica la ecuación de Bernoulli para calcular la presión en el punto angosto y explica por qué la presión disminuye donde la velocidad aumenta.

Resolver

Cuando el agua cambia de altura

Si el agua sube, gana energía potencial. Esa energía tiene que salir de algún lado: sale de la presión o de la velocidad.

Si la tubería tiene la misma sección en los dos puntos, la velocidad no cambia por continuidad ($v_1 = v_2$). Entonces los términos $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ se cancelan y queda:

$$P_1 + \rho g h_1 = P_2 + \rho g h_2$$

Es la misma fórmula de la presión en un fluido en reposo. Sube la altura, baja la presión, y la diferencia es $\rho g\,\Delta h$.

Practica★★☆

Una tubería lleva agua desde un punto A hasta un punto B situado $4\ \text{m}$ más arriba. En A la presión es $200.000\ \text{Pa}$ y la velocidad es $1\ \text{m/s}$; en…

Una tubería lleva agua desde un punto A hasta un punto B situado $4\ \text{m}$ más arriba. En A la presión es $200.000\ \text{Pa}$ y la velocidad es $1\ \text{m/s}$; en B la tubería tiene la misma sección que en A. Aplica la ecuación de Bernoulli para calcular la presión en B e interpreta el resultado en términos de energía.

Resolver

Teorema de Torricelli

Volvamos al tanque del colegio. Un tanque abierto tiene un pequeño orificio a una profundidad $h$ bajo la superficie. ¿Con qué velocidad sale el agua?

Aplicamos Bernoulli entre dos puntos:

Punto 1: la superficie libre del agua. Está abierta a la atmósfera: $P_1 = P_\text{atm}$. Si el tanque es ancho y el orificio pequeño, la superficie baja muy lento: $v_1 \approx 0$.
Punto 2: el orificio. El chorro sale al aire: $P_2 = P_\text{atm}$. Está $h$ más abajo que el punto 1.

$$P_\text{atm} + 0 + \rho g h = P_\text{atm} + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + 0$$

La presión atmosférica se cancela, y $\rho$ también. Queda:

Las condiciones para usarlo: fluido ideal, tanque abierto (o con la misma presión arriba y en el orificio), orificio pequeño comparado con el tanque (para que la superficie casi no baje) y $h$ medida desde la superficie libre hasta el orificio.

Velocidad y caudal por un orificio

Un tanque abierto tiene $3\ \text{m}$ de agua. Un orificio circular de $2\ \text{cm}$ de diámetro está a $0{,}5\ \text{m}$ del fondo. Calcula la velocidad de salida y el caudal en L/s. Usa $\pi = 3{,}14$.

Profundidad. El dato clave no es la altura del tanque, sino la profundidad del orificio bajo la superficie:

$h = 3 - 0{,}5 = 2{,}5\ \text{m}$

Velocidad (Torricelli):

$v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 2{,}5} = \sqrt{49} = 7\ \text{m/s}$

Área del orificio. El radio es $1\ \text{cm} = 0{,}01\ \text{m}$:

$A = \pi r^2 = 3{,}14\cdot(0{,}01)^2 = 3{,}14\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2$

Caudal $Q = A\cdot v$:

$Q = 3{,}14\cdot 10^{-4}\cdot 7 \approx 2{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$

Como $1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{L}$, el caudal es $Q \approx 2{,}2\ \text{L/s}$.

Tu turno: ¿con qué velocidad saldría el agua si el orificio estuviera a $1{,}8\ \text{m}$ bajo la superficie? (Respuesta: $\sqrt{35{,}28} \approx 5{,}9\ \text{m/s}$.)

Practica★☆☆

Enuncia el teorema de Torricelli y escribe la expresión de la velocidad con la que sale un líquido por un orificio ubicado a una profundidad $h$ bajo la superficie libre…

Enuncia el teorema de Torricelli y escribe la expresión de la velocidad con la que sale un líquido por un orificio ubicado a una profundidad $h$ bajo la superficie libre de un tanque abierto. Indica qué condiciones deben cumplirse para aplicarlo.

Resolver

Practica★☆☆

Un tanque de agua abierto a la atmósfera tiene un pequeño orificio a $1{,}8\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre del agua. Calcula la velocidad con la que sale…

Un tanque de agua abierto a la atmósfera tiene un pequeño orificio a $1{,}8\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre del agua. Calcula la velocidad con la que sale el agua por el orificio aplicando el teorema de Torricelli.

Resolver

Practica★★☆

Un tanque cilíndrico abierto, con $3\ \text{m}$ de altura de agua, tiene un orificio circular de $2\ \text{cm}$ de diámetro en su base lateral, a $0{,}5\ \text{m}$ del…

Un tanque cilíndrico abierto, con $3\ \text{m}$ de altura de agua, tiene un orificio circular de $2\ \text{cm}$ de diámetro en su base lateral, a $0{,}5\ \text{m}$ del fondo. Calcula la velocidad de salida del agua y el caudal que sale por el orificio en $\text{L/s}$. Usa $\pi = 3{,}14$.

Resolver

Bernoulli y continuidad juntas

Cuando el problema tiene una tubería que cambia de diámetro, hacen falta las dos ecuaciones:

Continuidad: $A_1 v_1 = A_2 v_2$ relaciona las velocidades.
Bernoulli: relaciona presión, velocidad y altura.

Un truco útil: como $A = \pi d^2/4$, el área es proporcional al cuadrado del diámetro. Si el diámetro se reduce a la mitad, el área baja a la cuarta parte y la velocidad se multiplica por 4.

Tanque elevado con tubería que se angosta

Un tanque abierto tiene agua hasta $6\ \text{m}$ sobre una tubería horizontal de salida de $5\ \text{cm}$ de diámetro. Luego la tubería se angosta a $2{,}5\ \text{cm}$ antes de un grifo abierto. Supón fluido ideal y nivel del tanque casi constante. Calcula $v$ en el tramo angosto, $v$ en el tramo ancho y la presión manométrica en el tramo ancho.

Velocidad en el tramo angosto. El agua sale al aire por el grifo (presión atmosférica) y la superficie del tanque también está a presión atmosférica. Es el caso de Torricelli con $h = 6\ \text{m}$:

$v_2 = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 6} = \sqrt{117{,}6} \approx 10{,}8\ \text{m/s}$

Velocidad en el tramo ancho (continuidad). El diámetro es el doble, así que el área es 4 veces mayor y la velocidad, 4 veces menor:

$v_1 = \dfrac{v_2}{4} \approx 2{,}7\ \text{m/s}$

Presión en el tramo ancho (Bernoulli). Los dos tramos están a la misma altura. Tomando la presión manométrica ($P - P_\text{atm}$), en el tramo angosto vale $0$:

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = 0 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$

$P_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 1.000\cdot(117{,}6 - 7{,}35) = 500\cdot 110{,}25 = 55.125\ \text{Pa}$

Comprobación. Desde el tanque: $P_1 = \rho g h - \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = 58.800 - 3.675 = 55.125\ \text{Pa}$. Coincide. La presión manométrica en el tramo ancho es de unos $55\ \text{kPa}$.

Tu turno: ¿cuánto vale la presión manométrica en el tramo ancho si el tanque tuviera solo $3\ \text{m}$ de agua? Calcula $v_2$, $v_1$ y $P_1$.

Practica★★★

Un tanque elevado de una unidad educativa de El Alto está abierto a la atmósfera y contiene agua hasta $6\ \text{m}$ sobre una tubería horizontal de salida de…

Un tanque elevado de una unidad educativa de El Alto está abierto a la atmósfera y contiene agua hasta $6\ \text{m}$ sobre una tubería horizontal de salida de $5\ \text{cm}$ de diámetro, que luego se angosta a $2{,}5\ \text{cm}$ de diámetro antes de un grifo abierto. Suponiendo un fluido ideal y que el nivel del tanque casi no varía, calcula la velocidad del agua en el tramo angosto, la velocidad en el tramo ancho y la presión manométrica en el tramo ancho. Justifica cada ecuación que utilices.

Resolver

¿Hasta dónde llega el chorro?

Un chorro que sale horizontal de un orificio es un tiro horizontal. Si el orificio está a una altura $y$ sobre el piso:

Tiempo de caída (como en caída libre): $t = \sqrt{2y/g}$.
Alcance horizontal: $x = v\cdot t$, con $v = \sqrt{2gh}$ de Torricelli.

$$x = \sqrt{2gh}\cdot\sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{h\,y}$$

Aquí $h$ es la profundidad bajo la superficie e $y$ la altura sobre el piso. Si el tanque tiene agua hasta $H$ y está apoyado en el piso, entonces $h + y = H$.

Dos orificios en el mismo tanque

Dos tanques abiertos idénticos tienen agua hasta $2\ \text{m}$. El primero tiene un orificio a $0{,}5\ \text{m}$ de profundidad y el segundo a $1{,}5\ \text{m}$. Los orificios tienen la misma área. Compara velocidades, caudales y alcances.

Velocidades.

$v_1 = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5} = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}1\ \text{m/s}$

$v_2 = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5} = \sqrt{29{,}4} \approx 5{,}4\ \text{m/s}$

Caudales. Con la misma área, $Q = A v$ es proporcional a $v$:

$\dfrac{Q_2}{Q_1} = \dfrac{v_2}{v_1} = \sqrt{\dfrac{1{,}5}{0{,}5}} = \sqrt{3} \approx 1{,}7$

El segundo orificio entrega unas 1,7 veces más agua por segundo.

Alturas sobre el piso. $y_1 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\ \text{m}$ e $y_2 = 2 - 1{,}5 = 0{,}5\ \text{m}$.

Alcances con $x = 2\sqrt{h\,y}$:

$x_1 = 2\sqrt{0{,}5\cdot 1{,}5} = 2\sqrt{0{,}75} \approx 1{,}7\ \text{m}$

$x_2 = 2\sqrt{1{,}5\cdot 0{,}5} = 2\sqrt{0{,}75} \approx 1{,}7\ \text{m}$

Conclusión. Los dos chorros llegan a la misma distancia. El profundo sale más rápido pero cae desde menos altura; el alto sale más lento pero tarda más en caer. El alcance máximo, $x = H$, se logra con el orificio a media altura ($h = y = H/2$).

Practica★★★

Dos tanques abiertos idénticos contienen agua hasta la misma altura de $2\ \text{m}$. El primero tiene un orificio a $0{,}5\ \text{m}$ de profundidad y el segundo, a…

Dos tanques abiertos idénticos contienen agua hasta la misma altura de $2\ \text{m}$. El primero tiene un orificio a $0{,}5\ \text{m}$ de profundidad y el segundo, a $1{,}5\ \text{m}$ de profundidad. Ambos orificios tienen la misma área. Calcula la velocidad de salida en cada caso y compara los caudales. Luego analiza a qué distancia horizontal del tanque cae el chorro si el orificio está a una altura $y$ sobre el piso, y argumenta cuál de los dos chorros llega más lejos considerando que el piso está en la base de cada tanque.

Resolver

Vuelve al principio: en el tanque del colegio, el grifo del patio está más abajo que el del tercer piso, así que tiene mayor $h$ bajo la superficie del tanque. Por Torricelli sale con más velocidad y el chorro es más fuerte. El grifo del tercer piso, casi al nivel del tanque, tiene $h$ pequeño y apenas gotea.

¡A practicar! 3 ejercicios de nivel medio en este apartado

★★☆ Por una tubería horizontal circula agua. En un punto la velocidad es $2\ \text{m/s}$ y la…★★☆ Un tanque cilíndrico abierto, con $3\ \text{m}$ de altura de agua, tiene un orificio…★★☆ Una tubería lleva agua desde un punto A hasta un punto B situado $4\ \text{m}$ más…

Resumen

Bernoulli (fluido ideal, flujo estacionario): $P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{cte}$. Es la energía por unidad de volumen: de presión, cinética y potencial.
En una tubería horizontal, donde la velocidad aumenta (parte angosta) la presión disminuye.
Si el fluido sube $\Delta h$ con la misma sección, la presión baja $\rho g\,\Delta h$.
Torricelli: en un tanque abierto, $v = \sqrt{2gh}$, con $h$ medida desde la superficie libre hasta el orificio. No depende de $\rho$.
El caudal por un orificio es $Q = A\,v$. En problemas con cambios de diámetro se combinan Bernoulli con continuidad.
El alcance de un chorro horizontal es $x = 2\sqrt{h\,y}$.