Colisiones elásticas y coeficiente de restitución
En una mesa de billar de una cantina de El Alto, la bola blanca golpea de frente a la bola 8, que está quieta. La blanca se detiene casi de golpe y la 8 sale rodando con la velocidad que traía la blanca. ¿Por qué ocurre eso y no otra cosa? ¿Se puede predecir con una cuenta? Eso es lo que resuelve esta página.
Qué es una colisión elástica
Durante una colisión, dos cuerpos se empujan entre sí con fuerzas muy grandes y durante un tiempo muy corto. Esas fuerzas internas son de acción y reacción, así que el sistema formado por los dos cuerpos conserva su cantidad de movimiento total $p = m \cdot v$ (siempre que no actúen fuerzas externas importantes en ese instante).
Lo que cambia de un tipo de colisión a otro es qué pasa con la energía cinética. Piensa en dos bolitas de vidrio que chocan: casi no se deforman, el sonido es mínimo y rebotan con vigor. Piensa ahora en dos autos que chocan: quedan abollados, se calientan y suenan. En el primer caso casi toda la energía cinética se recupera. En el segundo, buena parte se pierde.
En símbolos, para dos cuerpos:
$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \qquad \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2'^2$$Las velocidades con prima ($'$) son las de después del choque. Las colisiones perfectamente elásticas son un modelo: las bolas de billar, las bolitas de acero o las moléculas de un gas se acercan mucho a él. En una colisión inelástica, en cambio, la cantidad de movimiento se conserva igual, pero la energía cinética no. Eso lo verás en la página de colisiones inelásticas.
Explica con tus palabras qué significa que una colisión sea elástica. Indica qué magnitudes físicas se conservan en ella y cuál de ellas no se conserva en una colisión…
Explica con tus palabras qué significa que una colisión sea elástica. Indica qué magnitudes físicas se conservan en ella y cuál de ellas no se conserva en una colisión inelástica.
Colisión de frente en una dimensión
Cuando los dos cuerpos se mueven sobre una misma recta (un riel de laboratorio, por ejemplo), usamos una dirección positiva y damos a cada velocidad su signo. Tenemos dos incógnitas, $v_1'$ y $v_2'$, y dos ecuaciones: la de la cantidad de movimiento y la de la energía cinética.
Resolver la de energía directamente es incómodo, porque tiene cuadrados. Hay un atajo: si combinas ambas ecuaciones, para una colisión elástica sale esta relación sencilla:
Con esta ecuación (lineal) y la de cantidad de movimiento se resuelve un sistema sencillo.
Un caso especial: masas iguales
Si $m_1 = m_2$ y el segundo cuerpo está en reposo, la solución es muy simple: $v_1' = 0$ y $v_2' = v_1$. Los cuerpos intercambian velocidades. Eso es lo que ves en la bola blanca y la bola 8 del billar: la blanca queda quieta y la otra sale con su velocidad.
Si la masa que choca es menor que la que está en reposo, rebota hacia atrás ($v1' < 0$). Si es mayor, sigue avanzando en el mismo sentido, y la otra sale más rápido.
Dos carritos de laboratorio idénticos, de 0,50 kg cada uno, chocan de frente sobre un riel con muy poca fricción. Antes del choque, uno de ellos se mueve a…
Dos carritos de laboratorio idénticos, de 0,50 kg cada uno, chocan de frente sobre un riel con muy poca fricción. Antes del choque, uno de ellos se mueve a $2{,}0\ \text{m/s}$ y el otro está en reposo. Si el choque es elástico, escribe las dos ecuaciones (de cantidad de movimiento y de energía cinética) que permiten resolverlo, sin resolverlas todavía.
Una bola de billar de 0,17 kg se mueve a $1{,}2\ \text{m/s}$ hacia la derecha y choca de frente, elásticamente, con otra bola idéntica que está en reposo. Calcula las…
Una bola de billar de 0,17 kg se mueve a $1{,}2\ \text{m/s}$ hacia la derecha y choca de frente, elásticamente, con otra bola idéntica que está en reposo. Calcula las velocidades de ambas bolas después del choque e interpreta el resultado físicamente.
Un cuerpo de 2,0 kg que se mueve a $3{,}0\ \text{m/s}$ choca de frente y elásticamente con otro de 1,0 kg que está en reposo. Calcula la velocidad de cada cuerpo después…
Un cuerpo de 2,0 kg que se mueve a $3{,}0\ \text{m/s}$ choca de frente y elásticamente con otro de 1,0 kg que está en reposo. Calcula la velocidad de cada cuerpo después del choque y verifica que la energía cinética total se conserva.
Coeficiente de restitución
No todos los choques son perfectamente elásticos. Una pelota de tenis rebota mucho; una de plastilina no rebota nada. Necesitamos un número que diga qué tan elástico es un choque. Se obtiene comparando cómo se acercan y cómo se alejan los cuerpos:
El valor de $e$ siempre está entre $0$ y $1$:
| Valor | Tipo de colisión |
|---|---|
| $e = 1$ | perfectamente elástica (se conserva $E_c$) |
| $0 < e < 1$ | inelástica (se pierde parte de $E_c$) |
| $e = 0$ | perfectamente inelástica (quedan unidos) |
Observa que $e = 1$ es justo la condición $v_2' - v_1' = v_1 - v_2$ que usamos en la sección anterior.
Una pelota que rebota en el piso
El piso no se mueve ($v_2 = v_2' = 0$), así que $e = \dfrac{v'}{v}$, donde $v$ es la rapidez con la que la pelota llega al piso y $v'$ la rapidez con la que sale. Si se suelta desde una altura $h$ y rebota hasta $h'$, sin resistencia del aire, la conservación de la energía mecánica da $v = \sqrt{2gh}$ y $v' = \sqrt{2gh'}$. Entonces:
$$e = \sqrt{\frac{h'}{h}}$$Cómo decidir si una colisión es elástica
Con los datos de antes y después puedes hacer dos comprobaciones: calcular $e$ y comparar la energía cinética total. Si $e = 1$ (o la $E_c$ coincide), es elástica. Si no, es inelástica. Además, verifica la cantidad de movimiento: en un sistema aislado debe conservarse siempre.
Define el coeficiente de restitución $e$ de una colisión en una dimensión mediante la relación entre las velocidades relativas antes y después del choque. Indica qué…
Define el coeficiente de restitución $e$ de una colisión en una dimensión mediante la relación entre las velocidades relativas antes y después del choque. Indica qué valor toma $e$ en un choque perfectamente elástico y qué rango de valores puede tener en general.
Wilmer deja caer una pelota desde una altura de $1{,}00\ \text{m}$ sobre el piso del patio del colegio y observa que rebota hasta una altura de $0{,}64\ \text{m}$.…
Wilmer deja caer una pelota desde una altura de $1{,}00\ \text{m}$ sobre el piso del patio del colegio y observa que rebota hasta una altura de $0{,}64\ \text{m}$. Considera que la velocidad del piso es cero y que no hay resistencia del aire. Calcula el coeficiente de restitución entre la pelota y el piso, y explica si el choque fue elástico.
Una masa $m_1 = 3{,}0\ \text{kg}$ con velocidad $4{,}0\ \text{m/s}$ choca de frente con una masa $m_2 = 1{,}0\ \text{kg}$ que se mueve en sentido contrario a…
Una masa $m_1 = 3{,}0\ \text{kg}$ con velocidad $4{,}0\ \text{m/s}$ choca de frente con una masa $m_2 = 1{,}0\ \text{kg}$ que se mueve en sentido contrario a $2{,}0\ \text{m/s}$. Después del choque, $m_1$ tiene una velocidad de $1{,}0\ \text{m/s}$ (en el sentido original) y $m_2$ de $5{,}0\ \text{m/s}$ (en ese mismo sentido). Calcula el coeficiente de restitución y verifica si se conserva la cantidad de movimiento. Concluye si el choque es elástico y argumenta tu respuesta comparando las energías cinéticas inicial y final.
Colisiones elásticas en dos dimensiones
Si el choque no es de frente, los cuerpos salen desviados y hay que trabajar con componentes. La cantidad de movimiento es un vector, así que se conserva en $x$ y en $y$ por separado; la energía cinética, en cambio, es un escalar y da una sola ecuación.
Tienes tres ecuaciones:
$$\sum p_x:\ m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}'$$ $$\sum p_y:\ m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = m_1 v_{1y}' + m_2 v_{2y}'$$ $$E_c:\ \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2'^2$$Masas iguales y uno en reposo
Este es el caso clásico (billar, mesa de aire). Si $m_1 = m_2$ y el segundo está en reposo, la conservación de la cantidad de movimiento da $\vec v = \vec v_1' + \vec v_2'$ (la masa se simplifica). Elevando al cuadrado ese vector: $v^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2\,\vec v_1' \cdot \vec v_2'$. La energía exige $v^2 = v_1'^2 + v_2'^2$. Entonces $\vec v_1' \cdot \vec v_2' = 0$: los dos vectores son perpendiculares. Por eso los ángulos de salida suman $90^\circ$.
En una mesa de aire de la feria de ciencias, un disco A de 0,40 kg se mueve a $2{,}0\ \text{m/s}$ en la dirección del eje $x$ y choca elásticamente con un disco B…
En una mesa de aire de la feria de ciencias, un disco A de 0,40 kg se mueve a $2{,}0\ \text{m/s}$ en la dirección del eje $x$ y choca elásticamente con un disco B idéntico en reposo. Después del choque, el disco A sale con un ángulo de $30^\circ$ respecto del eje $x$. Plantea las ecuaciones de conservación en $x$ e $y$ y de la energía, determina el ángulo con el que sale el disco B y las rapideces finales de ambos discos. Justifica por qué los ángulos de salida suman $90^\circ$.
Resumen
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Colisión elástica: se conservan la cantidad de movimiento y la energía cinética. En las inelásticas solo se conserva la cantidad de movimiento.
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En 1D, la elasticidad equivale a $v_2' - v_1' = v_1 - v_2$; junto con la ecuación de cantidad de movimiento, resuelves el sistema sin cuadrados.
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Con masas iguales y un cuerpo en reposo, intercambian velocidades. Una masa pequeña contra una grande rebota.
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Coeficiente de restitución: $e = -\dfrac{v_2' - v_1'}{v_2 - v_1}$; $e = 1$ elástica, $0 < e < 1$ inelástica, $e = 0$ perfectamente inelástica. Una pelota que rebota en el piso: $e = \sqrt{h'/h}$.
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En 2D se conserva $p$ en $x$ y en $y$, y la $E_c$. Con masas iguales y una en reposo, los ángulos de salida suman $90^\circ$.
Vuelve al principio: en el billar, la blanca y la 8 tienen la misma masa y el choque es casi elástico, así que intercambian velocidades y la blanca queda detenida.