Dilatación lineal, superficial y volumétrica
En la Ciudad de Panamá los rieles del Metro están al sol toda la tarde. Si a las 7 a. m. están frescos y a las 2 p. m. están muy calientes, ¿siguen midiendo lo mismo? ¿Qué pasaría si los pegáramos sin dejar ningún espacio entre ellos?
Por qué se dilatan los sólidos
Al calentar un sólido, sus átomos vibran con más energía alrededor de sus posiciones. Al vibrar más, ocupan más espacio y, en promedio, se separan un poco. El resultado visible es que el objeto crece en todas sus dimensiones. A este fenómeno se le llama dilatación térmica.
El cambio es pequeño, pero muy real: en puentes, rieles, tuberías y cables se tiene que tomar en cuenta. Al enfriarse ocurre lo contrario: el sólido se contrae.
Escribe la expresión de la dilatación lineal de una barra: $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Explica qué representa cada una de las magnitudes $\Delta L$, $\alpha$,…
Escribe la expresión de la dilatación lineal de una barra: $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Explica qué representa cada una de las magnitudes $\Delta L$, $\alpha$, $L_0$ y $\Delta T$, e indica en qué unidades del Sistema Internacional (o equivalentes) se expresa cada una.
Dilatación lineal
Observa que una barra larga se alarga más que una corta, y que cuanto más la calientas, más se alarga. Además, el aluminio se alarga más que el acero con el mismo calentamiento. Estas tres observaciones se resumen en una fórmula:
El coeficiente $\alpha$ depende del material. Valores típicos: acero $1.2\times10^{-5}$, cobre $1.7\times10^{-5}$, aluminio $2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$. Un $\alpha$ de $1.2\times10^{-5}$ significa que 1 m de acero crece $0.000012$ m por cada grado que se calienta.
Una varilla de aluminio mide $2.00\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. El coeficiente de dilatación lineal del aluminio es…
Una varilla de aluminio mide $2.00\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. El coeficiente de dilatación lineal del aluminio es $\alpha = 2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$. Calcula cuánto aumenta su longitud, en milímetros, cuando se calienta hasta $70\ ^\circ\text{C}$.
Los rieles de acero de un tramo del Metro de la Ciudad de Panamá se instalan en una mañana fresca a $22\ ^\circ\text{C}$, con segmentos de $12.0\ \text{m}$ de longitud.…
Los rieles de acero de un tramo del Metro de la Ciudad de Panamá se instalan en una mañana fresca a $22\ ^\circ\text{C}$, con segmentos de $12.0\ \text{m}$ de longitud. Durante la tarde, el sol calienta los rieles hasta $52\ ^\circ\text{C}$. Con $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$, calcula la longitud final de cada segmento y explica por qué los ingenieros dejan una pequeña separación entre ellos.
Dilatación superficial y volumétrica
Una lámina o un cubo no se alargan en una sola dirección: crecen en todas. Si cada lado se multiplica por $(1 + \alpha\Delta T)$, el área se multiplica por ese factor al cuadrado y el volumen por ese factor al cubo. Como $\alpha\Delta T$ es muy pequeño, los términos de orden superior se desprecian y queda:
Para un mismo material isótropo, el coeficiente de dilatación superficial es aproximadamente $\beta \approx 2\alpha$ y el de dilatación volumétrica es…
Para un mismo material isótropo, el coeficiente de dilatación superficial es aproximadamente $\beta \approx 2\alpha$ y el de dilatación volumétrica es $\gamma \approx 3\alpha$. Si el coeficiente de dilatación lineal del acero es $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$, calcula $\beta$ y $\gamma$ para el acero.
Una lámina rectangular de cobre mide $40.0\ \text{cm}$ por $25.0\ \text{cm}$ a $15\ ^\circ\text{C}$. Se calienta hasta $215\ ^\circ\text{C}$. Considera…
Una lámina rectangular de cobre mide $40.0\ \text{cm}$ por $25.0\ \text{cm}$ a $15\ ^\circ\text{C}$. Se calienta hasta $215\ ^\circ\text{C}$. Considera $\alpha = 1.7\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$ y calcula el área inicial, la variación de área $\Delta A = \beta A_0\Delta T$ y el área final, en $\text{cm}^2$.
Un cubo macizo de hierro tiene un volumen de $500\ \text{cm}^3$ a $20\ ^\circ\text{C}$. El coeficiente de dilatación lineal del hierro es…
Un cubo macizo de hierro tiene un volumen de $500\ \text{cm}^3$ a $20\ ^\circ\text{C}$. El coeficiente de dilatación lineal del hierro es $1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$. Calcula el volumen del cubo a $320\ ^\circ\text{C}$ y la variación porcentual de volumen que experimenta.
Comparar materiales y problemas con dos piezas
Cuando se calientan dos piezas, hay que distinguir dos ideas. La dilatación absoluta es $\Delta L$ (cuántos milímetros crece). La dilatación relativa es $\Delta L / L_0 = \alpha\Delta T$ (qué fracción de su longitud crece). La relativa depende solo del material y de $\Delta T$; la absoluta también depende del largo de la pieza.
Otra situación típica es calentar solo una pieza para que otra encaje, como un anillo sobre un eje. Se iguala el diámetro final del orificio con el del eje: $D_0(1 + \alpha\Delta T) = D_{eje}$, y se despeja $\Delta T$. Despejar es, en general, $\Delta T = \Delta L/(\alpha L_0)$.
Una barra de acero ($\alpha_a = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$) mide $1.500\ \text{m}$ y otra de aluminio ($\alpha_{al} = 2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$)…
Una barra de acero ($\alpha_a = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$) mide $1.500\ \text{m}$ y otra de aluminio ($\alpha_{al} = 2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$) mide $1.000\ \text{m}$, ambas a $20\ ^\circ\text{C}$. Se calientan juntas hasta la misma temperatura final. a) Calcula la temperatura a la que la barra de aluminio habría aumentado su longitud en $0.60\ \text{mm}$. b) Compara el aumento de longitud de ambas barras a esa temperatura y argumenta cuál se dilata más en términos absolutos y cuál en términos relativos.
Un anillo de acero tiene un orificio circular de diámetro $5.000\ \text{cm}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Se quiere introducir en él un eje de latón (…
Un anillo de acero tiene un orificio circular de diámetro $5.000\ \text{cm}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Se quiere introducir en él un eje de latón ($\alpha = 1.9\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$) cuyo diámetro es $5.010\ \text{cm}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Para el acero usa $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$. a) Calcula hasta qué temperatura habría que calentar solo el anillo para que el orificio iguale el diámetro del eje (que permanece a $20\ ^\circ\text{C}$). b) Explica por qué el orificio también se agranda al calentar el anillo, y no se achica como podría pensarse.
Aplicaciones
La dilatación se toma en cuenta en el diseño de puentes como el Puente de las Américas, que tienen juntas de dilatación en la calzada. Las tuberías largas llevan curvas o tramos flexibles, y los cables eléctricos se instalan con cierta holgura para que no se tensen en las horas de calor.
También se aprovecha: las tiras bimetálicas de algunos termostatos unen dos metales con distinto $\alpha$; al calentarse, uno crece más que el otro y la tira se curva, lo que abre o cierra un contacto.
Vuelve al principio: los rieles del Metro se alargan al calentarse con el sol de la tarde. Por eso se deja una pequeña separación entre segmentos: sin ella, el alargamiento los empujaría hasta deformarlos.