Aceleración y fuerza centrípeta
Un bus de la Cinta Costera toma una curva a rapidez constante. Los pasajeros sienten que «algo los empuja» hacia afuera, aunque el velocímetro no cambia. ¿Hay aceleración si la rapidez es constante? ¿Qué fuerza hace que el bus gire en lugar de seguir recto? Eso es lo que vas a explicar en este apartado.
Movimiento circunferencial uniforme
Un movimiento circunferencial uniforme (MCU) es el de una masa puntual que recorre una circunferencia de radio $r$ con rapidez constante. Fíjate en la palabra: constante es la rapidez (la magnitud de la velocidad), no la velocidad. El vector velocidad es siempre tangente a la circunferencia, así que su dirección cambia en cada instante.
Como la velocidad cambia de dirección, hay aceleración. Esa aceleración no cambia la rapidez; solo gira la velocidad. Por eso apunta hacia el centro de la circunferencia, perpendicular a la velocidad. Se llama aceleración centrípeta y su magnitud es:
El porqué: cuanto mayor es la rapidez, más deprisa gira la velocidad; cuanto menor es el radio, más cerrada es la curva y más rápido cambia la dirección. Por eso $v$ está al cuadrado y $r$ divide.
Para describir el MCU también se usan:
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Período $T$: tiempo de una vuelta completa, en s.
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Frecuencia $f = 1/T$: vueltas por segundo, en hertz (Hz).
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Rapidez: $v = \dfrac{2\pi r}{T}$, porque en una vuelta se recorre la longitud $2\pi r$.
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Velocidad angular: $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$, en rad/s, y se cumple $v = \omega r$.
Un carro de juguete describe una pista circular con rapidez constante. Explica con tus palabras hacia dónde apunta su aceleración en cada instante y por qué existe…
Un carro de juguete describe una pista circular con rapidez constante. Explica con tus palabras hacia dónde apunta su aceleración en cada instante y por qué existe aceleración aunque la rapidez no cambie.
Yariela hace girar una piedra atada a una cuerda en un círculo horizontal de radio $0.50\ \text{m}$ con una rapidez constante de $4.0\ \text{m/s}$. Calcula la…
Yariela hace girar una piedra atada a una cuerda en un círculo horizontal de radio $0.50\ \text{m}$ con una rapidez constante de $4.0\ \text{m/s}$. Calcula la aceleración centrípeta de la piedra.
Fuerza centrípeta y segunda ley
Si hay aceleración, la segunda ley de Newton dice que hay una fuerza neta en esa dirección: $\Sigma F = m\,a$. Aplicada al MCU, la fuerza neta apunta al centro y se llama fuerza centrípeta:
La fuerza centrípeta no es una fuerza nueva. Es el nombre que damos a la suma de las fuerzas reales que apuntan al centro. Nunca la dibujes como una fuerza extra en el diagrama de cuerpo libre (DCL): dibuja solo las fuerzas reales (peso, normal, tensión, fricción) y comprueba que su resultante hacia el centro valga $mv^2/r$.
| Situación | Fuerza real que hace de centrípeta |
|---|---|
| Piedra atada a una cuerda | Tensión de la cuerda |
| Carro en curva plana | Fricción estática de las llantas |
| Persona pegada a la pared de un cilindro giratorio | Fuerza normal de la pared |
| Carro en el fondo o en la cima de un puente curvo | Normal y peso combinados |
¿Y esa sensación de ser empujado hacia afuera en el bus? Es la inercia: tu cuerpo tiende a seguir en línea recta (primera ley) y es el bus el que gira hacia ti. Ninguna fuerza real te empuja hacia afuera.
Una pelota de masa $0.20\ \text{kg}$ se mueve en una circunferencia y experimenta una aceleración centrípeta de $15\ \text{m/s}^2$. Calcula la magnitud de la fuerza…
Una pelota de masa $0.20\ \text{kg}$ se mueve en una circunferencia y experimenta una aceleración centrípeta de $15\ \text{m/s}^2$. Calcula la magnitud de la fuerza centrípeta que actúa sobre ella e indica qué ley de Newton aplicaste.
Omar hace girar una pelota de $0.30\ \text{kg}$ atada a una cuerda de $1.2\ \text{m}$ en un círculo horizontal, y la pelota completa una vuelta cada $0.80\ \text{s}$.…
Omar hace girar una pelota de $0.30\ \text{kg}$ atada a una cuerda de $1.2\ \text{m}$ en un círculo horizontal, y la pelota completa una vuelta cada $0.80\ \text{s}$. Calcula la rapidez de la pelota, su aceleración centrípeta y la tensión de la cuerda. Desprecia el efecto del peso sobre la forma de la trayectoria.
Curvas planas y fricción
Un carro o un bus en una curva plana no tiene cuerda. La fuerza horizontal hacia el centro es la fricción estática entre las llantas y el pavimento.
Verticalmente no hay aceleración: $N = mg$. Horizontalmente, $f_s = mv^2/r$. La fricción estática tiene un máximo, $f_{s,\max} = \mu_s N = \mu_s m g$. Si la fricción que se necesita supera ese máximo, el carro derrapa. Igualando:
$$\mu_s m g = \frac{m v_{\max}^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v_{\max} = \sqrt{\mu_s\, g\, r}$$La masa se cancela: un carro pesado y uno liviano tienen la misma rapidez máxima en la misma curva. Lo que cambia es $\mu_s$ (pavimento seco o mojado) y el radio $r$. Por eso se baja la velocidad en la curva durante un aguacero.
Un bus de $8{,}000\ \text{kg}$ toma una curva plana de radio $40\ \text{m}$ en la Cinta Costera con una rapidez de $10\ \text{m/s}$. Calcula la fuerza centrípeta…
Un bus de $8{,}000\ \text{kg}$ toma una curva plana de radio $40\ \text{m}$ en la Cinta Costera con una rapidez de $10\ \text{m/s}$. Calcula la fuerza centrípeta necesaria y señala qué fuerza real la proporciona. Dibuja el diagrama de fuerzas del bus visto desde atrás.
Ricardo conduce un carro de $1{,}000\ \text{kg}$ en una curva plana de radio $60\ \text{m}$. El coeficiente de fricción estática entre las llantas y el pavimento seco es…
Ricardo conduce un carro de $1{,}000\ \text{kg}$ en una curva plana de radio $60\ \text{m}$. El coeficiente de fricción estática entre las llantas y el pavimento seco es $0.80$, y con el pavimento mojado por un aguacero baja a $0.40$. Toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Calcula la rapidez máxima para no derrapar en cada condición, compara los resultados y argumenta si la masa del carro influye en ese valor.
Normal y peso en trayectorias circulares
A veces la fuerza centrípeta es la combinación de varias fuerzas. El procedimiento es siempre el mismo:
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Dibuja el DCL con solo las fuerzas reales.
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Elige el eje hacia el centro como positivo.
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Escribe $\Sigma F_{\text{al centro}} = m v^2/r$.
Pared de un cilindro giratorio
La persona está contra la pared. La normal $N$ apunta al centro y es la fuerza centrípeta: $N = mv^2/r$. Verticalmente, el peso baja y la fricción estática sube: $f = mg$. Así no se desliza.
Cima de un puente curvo
En la cima, el centro de la curva está abajo. Tomamos hacia abajo como positivo: el peso apunta al centro y la normal sale del centro.
$$mg - N = \frac{m v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad N = m\left(g - \frac{v^2}{r}\right)$$La normal es menor que el peso: por eso sientes que «se te sube el estómago» en una loma. Si $v$ crece hasta que $N = 0$, el carro pierde contacto con el puente: $v_{\max} = \sqrt{g\,r}$. En ese caso solo el peso aporta la fuerza centrípeta y el carro estaría en caída libre.
Una atracción de feria tiene un cilindro giratorio de radio $2.5\ \text{m}$. Una persona de $60\ \text{kg}$ está apoyada contra la pared interior y gira con una rapidez…
Una atracción de feria tiene un cilindro giratorio de radio $2.5\ \text{m}$. Una persona de $60\ \text{kg}$ está apoyada contra la pared interior y gira con una rapidez de $7.0\ \text{m/s}$. Calcula la fuerza normal que la pared ejerce sobre la persona e identifica qué fuerza evita que se deslice hacia abajo.
Un carro de $1{,}200\ \text{kg}$ pasa por la cima de un puente curvo con forma de arco de radio $50\ \text{m}$, como el de una vía elevada, con una rapidez de…
Un carro de $1{,}200\ \text{kg}$ pasa por la cima de un puente curvo con forma de arco de radio $50\ \text{m}$, como el de una vía elevada, con una rapidez de $12\ \text{m/s}$. Toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Dibuja el diagrama de cuerpo libre, calcula la fuerza normal que el puente ejerce sobre el carro y compárala con su peso. Después calcula la rapidez máxima con la que podría pasar sin perder contacto con el puente y explica qué significa ese resultado.
Resumen
Vuelve al principio: el bus acelera porque su velocidad cambia de dirección, y la fuerza que lo hace girar es la fricción de las llantas con el pavimento. La sensación de ser empujado hacia afuera es tu inercia.