Un técnico apoya una escalera contra la pared de una casa en Quetzaltenango para instalar una antena de internet. La pared está a 4 m de la base de la escalera y quiere saber cuánto mide la escalera según el ángulo con el que la inclina. Esa longitud resulta ser $4 \cdot \sec \alpha$. La secante, la cosecante y la cotangente son las tres "parejas" del coseno, el seno y la tangente. Son solo fracciones invertidas, pero ahorran muchos pasos al simplificar expresiones, resolver ecuaciones y trabajar con modelos de la física.
Tres razones nuevas: secante, cosecante y cotangente
Cada una de las tres razones nuevas es, por definición, el inverso multiplicativo de una de las que ya conoces. En un triángulo rectángulo, con $\alpha$ uno de los ángulos agudos:
Con ese triángulo, $\cos\alpha = \dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$, así que su inverso es $\sec\alpha = \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}$. Lo mismo pasa con las otras dos.
En el círculo unitario, el punto del ángulo $\alpha$ es $(\cos\alpha, \sen\alpha)$. Las tres razones nuevas se definen igual para cualquier ángulo, no solo para los agudos.
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Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
La identidad fundamental $\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ tiene dos versiones "recíprocas". Se obtienen dividiendo toda la igualdad entre $\cos^2\alpha$ o entre $\sen^2\alpha$.
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Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
La secante tiene el mismo signo que el coseno, la cosecante el mismo que el seno, y la cotangente el mismo que la tangente. Entonces la tabla de signos que ya conoces sirve para las recíprocas.
Para ángulos de otros cuadrantes se usa la reducción al primer cuadrante: se calcula con el ángulo de referencia y se le pone el signo del cuadrante.
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Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Para resolver una ecuación con recíprocas, primero se busca dejarla con una sola razón, usando las identidades. Después se despeja esa razón y se buscan los ángulos del intervalo pedido, teniendo en cuenta el signo y el cuadrante.
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Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
La secante y la cosecante aparecen cuando se pregunta por una hipotenusa. Si se conoce un cateto y el ángulo:
Si el cateto conocido es el adyacente $c$: hipotenusa $=c\cdot\sec\alpha$.
Si el cateto conocido es el opuesto $c$: hipotenusa $=c\cdot\csc\alpha$.
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Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el…
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \times \sec \theta_r$, donde $h = 5$ cm es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \times \sin \theta_r$).
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la…
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcula el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.
Vuelve al principio: la escalera del técnico mide $L=4\cdot\sec\alpha$. Con $\alpha=60^\circ$ llega a 8 m, y cuanto más se inclina hacia la vertical, más larga tiene que ser.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado