Integración por partes
Un grupo de jóvenes de Quetzaltenango lanza su canal de música y la velocidad de crecimiento de seguidores es $(2t+10)\,e^{0.1t}$: un polinomio multiplicado por una exponencial. Ninguna fórmula de la tabla de inmediatas la resuelve. Integrar por partes es leer al revés la derivada de un producto: convierte una integral difícil en un término ya resuelto menos otra integral más fácil. Al final de la página vas a poder calcular los seguidores acumulados.
Elegir $u$ y $dv$: el criterio LIATE
El criterio LIATE ordena qué elegir como $u$: Logaritmos, Inversas trigonométricas (arcos), Algebraicas (polinomios), Trigonométricas (senos/cosenos), Exponenciales. Cuanto antes aparezca el tipo de función en esa lista, antes se elige como $u$; lo que queda es $dv$. También existe la regla ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/cosenos), que es casi equivalente; en esta página usamos LIATE.
Para iniciarte en el método de integración por partes, es fundamental saber elegir qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos).…
Para iniciarte en el método de integración por partes, es fundamental saber elegir qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos). Utilizando la regla mnemotécnica ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos), identifica $u$ y $dv$ para resolver la siguiente integral indefinida, aplicando la fórmula $\int u\,dv = u\times v - \int v\,du$:
$$\int x \times e^{2x} \, dx$$Calcula la primitiva de la función $f(x) = x \times \cos(x)$. Recuerda que al aplicar el método de las partes, debes buscar que la nueva integral resultante sea más…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = x \times \cos(x)$. Recuerda que al aplicar el método de las partes, debes buscar que la nueva integral resultante sea más sencilla que la original.
Calcula la integral indefinida de la función $g(x) = 2x \times \sin(x)$. Indica paso a paso cuál ha sido tu elección para $u$ y para $dv$, así como sus correspondientes…
Calcula la integral indefinida de la función $g(x) = 2x \times \sin(x)$. Indica paso a paso cuál ha sido tu elección para $u$ y para $dv$, así como sus correspondientes diferencial de $u$ ($du$) e integral de $v$ ($v$).
Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado final sacando factor común si es posible: $$f(x) = (x + 3) \times e^x$$
Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado final sacando factor común si es posible:
$$f(x) = (x + 3) \times e^x$$Polinomio por exponencial o trigonométrica con constantes
Cuando el polinomio es de grado 1 pero hay más constantes, el procedimiento es el mismo: $u$ es el polinomio, $dv$ lo demás.
Calcula la siguiente integral indefinida que combina funciones trigonométricas y polinómicas: $$\int (3x - 4) \times \sen(2x) \, dx$$ Asegúrate de simplificar el…
Calcula la siguiente integral indefinida que combina funciones trigonométricas y polinómicas:
$$\int (3x - 4) \times \sen(2x) \, dx$$Asegúrate de simplificar el resultado final lo máximo posible.
Un conocido influencer* ha analizado el crecimiento de sus seguidores en una nueva red social. La velocidad de crecimiento instantánea (seguidores por día) viene dada…
Un conocido influencer ha analizado el crecimiento de sus seguidores en una nueva red social. La velocidad de crecimiento instantánea (seguidores por día) viene dada por la función $f(t) = (2t + 10) \times e^{0.1t}$, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento de su canal. Utiliza el método de integración por partes para calcular la función $S(t)$ que representa el número total de seguidores acumulados, sabiendo que en el momento del lanzamiento ($t = 0$) el canal contaba con 500 seguidores.
El logaritmo: cuando $dv = dx$
El logaritmo no tiene antiderivada inmediata y, según LIATE, se elige como $u$. Si está solo, $dv$ es simplemente $dx$ (es como multiplicarlo por $1$).
También sirve con argumentos como $\ln(2t)$ o $\ln(3x+2)$: la derivada de $\ln(ax+b)$ es $\frac{a}{ax+b}$, y a veces la integral resultante pide dividir polinomios (ver el ejemplo siguiente).
Un clásico de las integrales por partes es la función logaritmo, ya que no tiene una integral inmediata directa. En este caso, debemos considerar que la función está…
Un clásico de las integrales por partes es la función logaritmo, ya que no tiene una integral inmediata directa. En este caso, debemos considerar que la función está multiplicada por $1$ (es decir, $dv = dx$).
Calcula la siguiente integral indefinida:
$$\int \ln(x) \, dx$$El ritmo de crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio sigue la función marginal $B'(t) = \ln(2t)$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la…
El ritmo de crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio sigue la función marginal $B'(t) = \ln(2t)$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la función general de la población $B(t)$ integrando por partes.
Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilizando el método de integración por partes. Pista: puedes considerar que la función está…
Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilizando el método de integración por partes. Pista: puedes considerar que la función está multiplicada por 1 para elegir tus variables $u$ y $dv$.
Calcula la primitiva de la siguiente función que pasa por el punto $(1, 2)$: $$f(x) = \ln(x^2 + 9)$$ Nota: Recuerda que tras aplicar la fórmula de integración por…
Calcula la primitiva de la siguiente función que pasa por el punto $(1, 2)$:
$$f(x) = \ln(x^2 + 9)$$Nota: Recuerda que tras aplicar la fórmula de integración por partes, es posible que necesites realizar una división de polinomios o un ajuste para resolver la integral resultante.
Cuando aparece una fracción: dividir polinomios
Logaritmo por potencia
Si $\ln x$ multiplica a una potencia $x^n$, eliges $u=\ln x$ y $dv=x^n\,dx$.
Si el logaritmo está elevado al cuadrado, se aplica partes dos veces: la primera baja $(\ln x)^2$ a $2\ln x\cdot\frac1x$ y la segunda resuelve la integral de $x^n\ln x$.
Con una potencia negativa, como $\dfrac{\ln x}{x^3}=x^{-3}\ln x$, es igual: $dv=x^{-3}dx$ y $v=-\dfrac{1}{2x^2}$. Si el dato es un punto de inflexión, usa la segunda derivada de la primitiva (es $g'$): $g'(x)=0$ da el valor de $x$, y con la condición sobre la $y$ de la antiderivada fijas $C$.
En un estudio sobre psicología del aprendizaje, se ha determinado que la capacidad de retener nuevos términos de vocabulario en una lengua extranjera sigue un ritmo…
En un estudio sobre psicología del aprendizaje, se ha determinado que la capacidad de retener nuevos términos de vocabulario en una lengua extranjera sigue un ritmo marcado por la función $v(t) = t^2 \times \ln(t)$, donde $t$ es el tiempo de estudio en horas ($t \geq 1$). Calcula la primitiva de esta función que pasa por el punto $(1, 2)$.
El costo marginal de producción de una fábrica de patinetas eléctricas se ajusta a la función $C'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ para $x > 1$, donde $x$ es el número de…
El costo marginal de producción de una fábrica de patinetas eléctricas se ajusta a la función $C'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ para $x > 1$, donde $x$ es el número de unidades producidas en miles. Determina la función de costo total $C(x)$ si los costos fijos (costo cuando $x = 1$) ascienden a 10 (en miles de quetzales).
Calcula la primitiva de la función $g(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión cuya coordenada $y$ es igual a $\frac{1}{4}$.
Calcula la primitiva de la función $g(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión cuya coordenada $y$ es igual a $\frac{1}{4}$.
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando el método de integración por partes: $$\int_{1}^{e} x^2 \times (\ln x)^2 \, dx$$
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando el método de integración por partes:
$$\int_{1}^{e} x^2 \times (\ln x)^2 \, dx$$Partes dos veces, e integrales cíclicas
Si el polinomio tiene grado $2$ o más, una sola aplicación no alcanza: cada vez que integras por partes el grado baja una unidad, así que hay que repetir.
Hay un caso especial: al integrar dos veces por partes reaparece la integral original en el lado derecho. Entonces se trata como una ecuación y se despeja.
El beneficio marginal de una tienda de ropa vintage* (en cientos de quetzales por mes) está definido por la función $B'(x) = x^2 \times e^{-x}$, donde $x$ representa el…
El beneficio marginal de una tienda de ropa vintage (en cientos de quetzales por mes) está definido por la función $B'(x) = x^2 \times e^{-x}$, donde $x$ representa el número de meses desde su apertura. Aplicando el método de integración por partes las veces que sea necesario, obtén la expresión del beneficio total $B(x)$, sabiendo que al finalizar el primer mes ($x = 0$) el beneficio era nulo.
Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha detectado que el ritmo de crecimiento de nuevos usuarios de su última red social sigue la función: $$f(t) = t^2…
Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha detectado que el ritmo de crecimiento de nuevos usuarios de su última red social sigue la función:
$$f(t) = t^2 \times e^{-0.5t}$$donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento. Determina la función que describe el número total de usuarios acumulados, sabiendo que en el momento del lanzamiento ($t=0$) la aplicación contaba con $1000$ usuarios de la fase beta.
Un ingeniero modela la velocidad de vibración de una estructura sometida a oscilaciones forzadas mediante la función (en metros por segundo): $$v(t) = e^{t} \times…
Un ingeniero modela la velocidad de vibración de una estructura sometida a oscilaciones forzadas mediante la función (en metros por segundo):
$$v(t) = e^{t} \times \cos(t)$$Calcula la integral indefinida de esta función. Ten en cuenta que este tipo de integrales se denominan "cíclicas", ya que al aplicar el método de integración por partes dos veces, reaparecerá la integral original en el lado derecho de la igualdad.
Con cambio de variable previo
A veces hay que sustituir antes de integrar por partes. En $\int e^{\sqrt x}dx$, haces $t=\sqrt x$, o sea $x=t^2$ y $dx=2t\,dt$. La integral queda $2\int t\,e^t\,dt$, que ya es "polinomio por exponencial": una sola aplicación de partes. Al final vuelves a $x$ con $t=\sqrt x$.
Resuelve la siguiente integral utilizando primero un cambio de variable y, posteriormente, el método de integración por partes: $$\int e^{\sqrt{x}} \, dx$$ Sugerencia:…
Resuelve la siguiente integral utilizando primero un cambio de variable y, posteriormente, el método de integración por partes:
$$\int e^{\sqrt{x}} \, dx$$Sugerencia: Haz el cambio $t = \sqrt{x}$. No olvides calcular el nuevo diferencial $dx$ en función de $dt$.
Integrales definidas y áreas
Con integrales definidas el procedimiento es el de siempre: hallas la antiderivada por partes y aplicas la regla de Barrow al final, evaluando en los dos extremos.
Para un área entre la curva y el eje $OX$, mira el signo de la función: si cambia de signo en el intervalo, parte en tramos y toma el valor absoluto de cada uno. Por ejemplo, $f(x)=(x-1)e^x$ es negativa para $x<1$ y positiva para $x>1$.
Determina la integral definida en el intervalo $[1, e]$ de la función $f(x) = 5 \ln(x)$.
Determina la integral definida en el intervalo $[1, e]$ de la función $f(x) = 5 \ln(x)$.
Calcula el área de la región plana limitada por la curva $y = x \times e^{-x}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 1$.
Calcula el área de la región plana limitada por la curva $y = x \times e^{-x}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 1$.
Una empresa de sonido está diseñando un filtro para ecualizar pistas de audio. La energía disipada por un componente en un intervalo de tiempo se calcula mediante la…
Una empresa de sonido está diseñando un filtro para ecualizar pistas de audio. La energía disipada por un componente en un intervalo de tiempo se calcula mediante la integral definida de la función $E(t) = x \times \cos(x)$. Determina el valor exacto del área encerrada por la función $f(x) = x \times \cos(x)$, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$.
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x - 1) \times e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. Realiza un pequeño esquema del…
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x - 1) \times e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. Realiza un pequeño esquema del recinto antes de calcular la integral.
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x-1) \times e^x$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$.…
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x-1) \times e^x$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. Ilustra la región sombreada en tu cuaderno antes de realizar el cálculo.
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando el método de integración por partes: $$\int_{1}^{e} x^2 \times (\ln x)^2 \, dx$$
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando el método de integración por partes:
$$\int_{1}^{e} x^2 \times (\ln x)^2 \, dx$$Determina el valor del parámetro real $k > 0$ sabiendo que el área de la región encerrada por la curva $f(x) = k \times x \times e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y…
Determina el valor del parámetro real $k > 0$ sabiendo que el área de la región encerrada por la curva $f(x) = k \times x \times e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$ es exactamente igual a $5$ unidades cuadradas.
Vuelve al principio: para los seguidores acumulados, $S(t)=\int(2t+10)e^{0.1t}dt$ se resuelve con $u=2t+10$, $dv=e^{0.1t}dt$ y la condición $S(0)=500$ fija la constante.