Resolución de triángulos oblicuángulos
Un topógrafo quiere saber la distancia entre dos puntos de la orilla del lago de Atitlán separados por una ensenada: no puede medirla con la cinta. Sí puede medir otra distancia y algunos ángulos. ¿Cómo se obtiene lo que no se puede medir? Con la ley de senos y la ley de cosenos, sabiendo cuál usar primero. Al final de la página volvemos a esta pregunta.
Qué datos tienes, qué teorema usar
Resolver un triángulo oblicuángulo (sin ángulo recto) es calcular sus tres lados y sus tres ángulos. Con tres datos, siempre que incluyan al menos un lado, alcanza. El camino depende de cuáles tengas.
El porqué: el coseno generaliza a Pitágoras y necesita «cerrar» el triángulo con un ángulo entre dos lados; el seno relaciona cada lado con su ángulo opuesto, así que necesita al menos una pareja lado-ángulo opuesto.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
Resolver el triángulo completo
Se combinan las dos leyes en el orden que convenga. Con la notación del dibujo, cada lado se opone al ángulo del mismo nombre.
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la…
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando…
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Área de un triángulo sin su altura
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, no hace falta calcular ninguna altura.
Cuando conoces los tres lados, también sirve la fórmula de Herón: con $p=\dfrac{a+b+c}{2}$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Y como $S=\dfrac{abc}{4R}$ y $S=p\,r$, de ahí salen los radios $R$ y $r$ de las circunferencias circunscrita e inscrita.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula…
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtén los valores exactos de $R$ y $r$.
Triangulación: distancias y alturas inaccesibles
Medir rumbos, ángulos y una distancia conocida permite fijar un punto al que no se puede llegar: es la base de la topografía, la navegación y las mediciones de altura, como la de un aerogenerador de un parque eólico.
Para cerrar el gancho inicial: el topógrafo mide una base en la orilla y los ángulos hacia el punto inaccesible; con la ley de senos obtiene la distancia que no podía medir.
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$…
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$.…
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ metros en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos…
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.
Cuadriláteros y polígonos: dividir en triángulos
Cualquier polígono se resuelve dividiéndolo en triángulos con diagonales y aplicando la ley de senos o la ley de cosenos a cada uno.
Un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$ se divide en $n$ triángulos isósceles iguales, con ángulo central $\frac{360^\circ}{n}$ y dos lados de longitud $R$. El coseno da el lado y $\frac12R^2\sen\frac{360^\circ}{n}$ da el área de cada triángulo.
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el…
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los…
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.
El caso ambiguo en la práctica
Cuando el dato es lado-lado-ángulo opuesto a uno de ellos, el seno da $\sen B$ y hay dos ángulos entre $0^\circ$ y $180^\circ$ con ese seno: uno agudo y su suplementario. Hay que ver si los dos sirven.
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal…
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcula las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.
Problemas más desafiantes
Muchos problemas no dan los datos «listos»: hay que construir el triángulo. Piensa en este orden: (1) haz un dibujo; (2) busca un triángulo donde conozcas tres datos; (3) resuelve ese y usa el resultado en el siguiente.
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Fuerzas y desplazamientos: la resultante de dos fuerzas que forman un ángulo $\theta$ es la diagonal del paralelogramo, y el triángulo tiene un ángulo de $180^\circ-\theta$ entre los dos lados.
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Ecuaciones con incógnita: si los lados dependen de $x$, el coseno plantea una ecuación (cuadrática) en $x$.
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Ángulos con el reloj, rumbos, diedros: reduce la situación a un triángulo plano (una sección) donde aparezcan ángulos y lados conocidos.
Relación de proyecciones
En cualquier triángulo, cada lado es la suma de las proyecciones de los otros dos sobre él.
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$…
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halla la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.
Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su…
Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, la placa debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcula la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior de la placa para unirla con el tejado.
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$,…
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, halla el valor exacto de $x$ y calcula el perímetro del triángulo.
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para…
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigua la medida de los ángulos $A$ y $C$.
Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones:…
Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utiliza esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas…
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Ten en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en…
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ km exactos al Noreste ($45^\circ$ respecto al Norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el Oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determina el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando…
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcula la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$,…
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantea la geometría de la sección transversal adecuada y calcula la altura total de la pirámide.