Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Dada la función $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, completa la siguiente tabla de signos para la derivada y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Indica cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto $x = 4$.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x + 5$, realiza los siguientes pasos para estudiar su monotonía:

1. Halla la función derivada $f'(x)$.

2. Determina los puntos donde la derivada es igual a cero (puntos críticos).

3. Sitúa esos puntos en la recta real y analiza el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para indicar dónde la función es creciente y dónde es decreciente.

El departamento de urbanismo de una ciudad estudia el nivel de ruido, $N(t)$ en decibelios, en una calle céntrica desde las 8:00 ($t=0$) hasta las 12:00 ($t=4$), según la función:

$N(t) = t^2 - 4t + 70$

Utiliza la primera derivada para justificar si el ruido aumenta o disminuye a las 9:00 ($t=1$) y a las 11:00 ($t=3$). ¿En qué momento exacto el ruido deja de descender para empezar a subir?

La siguiente gráfica representa la evolución del número de espectadores (en miles) de una serie de estreno en una plataforma de streaming durante sus primeras 8 semanas. Identifica visualmente los intervalos de tiempo en los que la audiencia ha estado creciendo y aquellos en los que ha disminuido.

Basándote en la relación entre la derivada y el crecimiento, ¿qué signo crees que tendría la derivada de esta función en el intervalo que va desde el inicio hasta el punto $A$ (semana 3)?

La gráfica mostrada a continuación NO es la función $f(x)$, sino la gráfica de su derivada $f'(x)$. Observándola con atención, indica razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.

Recuerda: El crecimiento de $f(x)$ depende del signo de $f'(x)$.

A continuación tienes la gráfica de la función derivada $f'(x)$ de una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$. La gráfica de $f'(x)$ es una parábola que corta al eje $X$ en $x=-2$ y en $x=3$.

Identifica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$. Justifica tu respuesta basándote en la relación entre el signo de la derivada y la monotonía de la función.

La gráfica adjunta muestra la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la observación de la gráfica de $f'(x)$, responde razonadamente:

1. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
2. b) Identifica las abscisas de los máximos y mínimos relativos de $f(x)$.
3. c) Si sabemos que $f(0) = 0$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ prestando especial atención a su monotonía.

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función constante $f(x) = 7$.

1. Calcula su derivada.

2. Basándote en el resultado, ¿puedes decir que la función crece o decrece en algún punto? Justifica tu respuesta relacionándola con la pendiente de la recta tangente.

Una pequeña empresa de diseño de fundas para celulares ha determinado que sus beneficios diarios, en quetzales, vienen dados por la función $B(x) = -x^2 + 12x - 20$, donde $x$ es el número de fundas vendidas al día.

Calcula la función derivada $B'(x)$ y estudia para qué valores de $x$ la función es creciente y para cuáles es decreciente. ¿A partir de cuántas fundas vendidas el beneficio empieza a disminuir?

Una empresa que desarrolla aplicaciones para celulares ha comprobado que sus beneficios mensuales, en miles de quetzales, siguen la función $B(x) = \frac{8}{3}x^3 - 32x^2 + 56x + 160$, donde $x$ representa el tiempo en meses desde el lanzamiento de su última actualización ($0 \le x \le 12$). Determina los intervalos de tiempo en los que los beneficios de la empresa están creciendo y aquellos en los que están disminuyendo.

Un "streamer" está analizando la evolución de sus espectadores en vivo durante una retransmisión de 6 horas. La función que modela el número de espectadores (en miles) es $E(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 10$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas ($0 \le t \le 6$). Calcula en qué periodos de la retransmisión el número de espectadores está aumentando y en cuáles está disminuyendo.

Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato analiza la cantidad de materia que recuerdan de un examen de Historia con el paso de los días. La función que modela la materia recordada es $M(d) = \frac{100}{d+1}$, donde $d \ge 0$ son los días transcurridos tras el examen.

Calcula la derivada $M'(d)$ y demuestra, mediante su signo, que la función es decreciente para cualquier valor de $d$. ¿Tiene sentido este resultado en el contexto real?

El costo medio de fabricación de una serie limitada de sudaderas de diseño viene dado por la función $C(x) = \frac{x^2 + 25}{x}$, donde $x$ es el número de sudaderas producidas en cientos de unidades y $C(x)$ es el costo en quetzales por unidad. Sabiendo que la producción debe estar comprendida entre 100 y 1000 sudaderas ($1 \le x \le 10$), estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento del costo medio para ayudar al diseñador a decidir cuántas sudaderas producir.

Se quiere modelar la difusión de un nuevo reto viral en una red social. La función que describe el número de personas que conocen el reto en función del tiempo $t$ (en días) es $P(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Analiza la monotonía de esta función para valores de $t \ge 0$ y explica qué sucede con el crecimiento del reto a largo plazo.

Halla el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + 24x + 1$ sea siempre creciente en todo su dominio. Para el valor de $a = 9$, determina específicamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función resultante.

Se considera la función racional $f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 4}$, donde $a$ es un parámetro real.

1. a) Determina el valor de $a$ para que la función tenga un punto crítico en $x = 2$.
2. b) Para el valor de $a$ hallado anteriormente, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, teniendo en cuenta su dominio.
3. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual la función sea siempre creciente en los intervalos $(-\infty, 4)$ y $(4, +\infty)$? Justifica tu respuesta analíticamente.

El número de usuarios activos en una nueva red social (en miles) evoluciona según la función $N(t) = \frac{100t}{t^2 + 2t + 1}$, donde $t \ge 0$ es el tiempo en meses.

1. a) Analiza el ritmo de crecimiento de la red social durante el primer año. ¿En qué momento exacto el número de usuarios deja de crecer?

1. b) Demuestra que, a partir de cierto mes, la red social entrará en un declive irreversible en cuanto al número de usuarios. Indica a partir de qué mes ocurre esto.

1. c) ¿Cómo se comporta la monotonía de la función cuando $t$ tiende a infinito? Relaciona este hecho con la existencia de una asíntota horizontal.

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al nivel del suelo viene dada por $H(t) = t \times e^{-0.2t}$, donde $t$ es el tiempo de vuelo en minutos ($0 \le t \le 20$). La figura muestra la gráfica de $H(t)$. Estudia, mediante la derivada, los intervalos de tiempo en los que el dron está ganando altura y cuándo comienza a descender.

La cantidad de monóxido de carbono disuelto en el aire cerca de una zona industrial tras implementar un nuevo filtro se mide mediante la función $G(t) = t^2 - 12\ln(t+1)$, donde $t$ es el tiempo en días ($0 \le t \le 10$). Determina los intervalos de tiempo en los que la contaminación está bajando y cuándo empieza a subir de nuevo.

Un analista financiero ha determinado que el beneficio neto de una empresa tecnológica (en millones de quetzales) sigue la función $B(t) = (t^2 - 8t + 15) \times e^{0.5t}$, donde $t$ representa el tiempo en años desde su fundación ($0 \le t \le 10$).

1. a) Calcula la función de beneficio marginal, $B'(t)$.
2. b) Estudia los intervalos de tiempo en los que el beneficio de la empresa está aumentando y aquellos en los que está disminuyendo.
3. c) ¿En qué año exacto la empresa pasa de tener pérdidas crecientes a tener pérdidas decrecientes? Interpreta el resultado basándote en la monotonía.

Dada la función $f(x) = \ln(x^2 - kx + 9)$, estudia su monotonía en función de los valores del parámetro $k$. En particular:

1. a) Determina el dominio de la función para $k = 0$ y estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
2. b) Halla los valores de $k$ para los que la función tiene un único punto crítico.
3. c) Si $k = 10$, explica por qué no tiene sentido estudiar el crecimiento en todo el eje real $\mathbb{R}$.

Sea la función definida a trozos:

1. a) Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$.
2. b) Para los valores obtenidos, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función en todo su dominio.
3. c) Determina si existe algún punto en el que la función cambie de crecimiento a decrecimiento sin ser un punto donde la derivada se anule.

Considera la función $f(x) = x^2 \times \ln(x)$.

1. a) Determina su dominio y estudia el signo de la función.
2. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ten especial cuidado con el comportamiento de la función cerca de $x = 0$.
3. c) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto donde la función cambia de decreciente a creciente.

Una empresa de energía renovable estima que el costo marginal de producir $x$ megavatios-hora viene dado por la función $C'(x) = \frac{x-5}{\sqrt{x^2+11}}$.

1. a) Sin necesidad de calcular la función de costo total $C(x)$, explica en qué intervalos de producción el costo total es una función creciente y en cuáles es decreciente.
2. b) ¿Para qué cantidad de producción se alcanza el costo mínimo? Justifica tu respuesta utilizando el estudio de la monotonía de la función de costo.
3. c) Si la empresa decide que solo es rentable producir en el intervalo donde el costo es creciente, ¿cuál es la producción mínima que debe plantearse?