Combinatoria
María José quiere ponerle una clave de 4 dígitos al candado de su bicicleta para ir al instituto. ¿Cuántas claves posibles hay? ¿Y cuántas formas hay de elegir a 4 compañeros de una clase de 20 para ir a una feria de ciencias? Contar a mano no alcanza. La combinatoria da una fórmula a cada tipo de situación: solo hay que reconocer cuál es. Al final del apartado volvemos a la clave del candado de María José.
El principio multiplicativo y las variaciones con repetición
Si una elección se hace en varias etapas y cada etapa se puede resolver de varias formas sin que las otras la condicionen, el total es el producto de las cantidades de cada etapa. Es el principio multiplicativo. Por ejemplo, un almuerzo corrido en una comedor de Xela con 4 entradas, 5 platos principales y 3 postres da $4 \cdot 5 \cdot 3 = 60$ almuerzos distintos.
Cada posición se puede llenar de $n$ maneras, y hay $k$ posiciones: de ahí la potencia.
Así respondemos el gancho: el candado de María José tiene 10,000 claves posibles.
Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero,…
Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero, un segundo y un postre) puede pedir un cliente.
Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está…
Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está permitido repetir los dígitos.
Variaciones sin repetición: elegir y ordenar
Cada elemento usado deja de estar disponible: para el primer lugar hay $n$ opciones, para el segundo $n-1$, y así hasta completar $k$ lugares.
Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y…
Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y un secretario, sabiendo que una misma persona no puede ocupar más de un cargo.
Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas…
Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden configurar bajo estas condiciones.
Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$: $3 \times V_{n, 3} = 4 \times V_{n-1, 3}$
Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$:
$3 \times V_{n, 3} = 4 \times V_{n-1, 3}$
Permutaciones: ordenar todos los elementos
Las permutaciones son un caso particular de variaciones con $k=n$: $V_{n,n} = n!$.
Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.
Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.
Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.
Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.
Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra…
Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra $O$.
Combinaciones: elegir sin ordenar
Cuando solo importa qué elementos se eligen y no el orden, se usan combinaciones.
Por eso se divide entre $k!$: cada grupo de $k$ elementos aparece $k!$ veces en las variaciones, una por cada orden posible.
Combinatoria y probabilidad
Con la regla de Laplace, $P = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$, y los dos números se cuentan con combinaciones cuando la extracción es simultánea o el orden no interesa.
Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de…
Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de representantes se pueden formar.
En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.
En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".
En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas.…
En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas. Determina el número de jugadores que participaron en el torneo.
Varios grupos y restricciones
En problemas más ricos se combinan técnicas: elegir $k$ de un grupo y $j$ de otro (se multiplican combinaciones), pegar elementos que deben ir juntos, o contar casos por separado y sumarlos.
Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas…
Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos.
Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos…
Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos se pueden formar si en el equipo debe haber exactamente $3$ biólogos y $2$ químicos.
Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos…
Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos comités diferentes se pueden formar si en el grupo debe haber al menos $4$ ingenieros de software.
Combinatoria y probabilidad
Cuando una extracción es simultánea, tanto los casos posibles como los favorables se cuentan con combinaciones, y la probabilidad es su cociente.
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que…
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que exactamente $1$ de ellos sea defectuoso.
De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.
De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.
Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de…
Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de distinto color.
En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el…
En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el $10\%$ son defectuosas. Calcula la probabilidad de encontrar como máximo $1$ pieza defectuosa en la muestra extraída.
Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un…
Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un mismo valor y $2$ cartas de otro valor distinto.
Caminos en una cuadrícula, mesas circulares y repartos
Caminos de longitud mínima
En una ciudad de calles en cuadrícula, para ir de $A(0, 0)$ a $B(a, b)$ por el camino más corto hay que dar $a$ pasos hacia la derecha y $b$ hacia arriba, en cualquier orden. El camino queda determinado al elegir cuáles de los $a+b$ pasos son hacia la derecha: son $\binom{a+b}{a}$ caminos.
Mesas circulares
En una mesa circular, rotar a todos no cambia la disposición. Por eso se fija a una persona y se ordenan las otras: $(n-1)!$ formas.
Repartos
Para repartir $n$ objetos iguales en $r$ cajas (pudiendo quedar alguna vacía) hay $\binom{n+r-1}{r-1}$ formas.
Si en cambio hay que asignar personas distintas a grupos de tamaño fijo, se eligen los grupos uno tras otro con combinaciones y se multiplica: $12$ personas en $3$ grupos de $4$ dan $\binom{12}{4}\cdot\binom{8}{4}\cdot\binom{4}{4} = 495 \cdot 70 \cdot 1 = 34{,}650$. Si los grupos son distintos (por ejemplo, tres módulos con nombre), no se divide por nada más.
En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$,…
En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$, pasando obligatoriamente por la intersección $C(3,2)$.
Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo…
Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo sexo no pueden estar juntas (es decir, hombres y mujeres deben estar alternados). Considera que dos disposiciones son iguales si una se puede obtener rotando la otra.
Un inversionista desea repartir $80\,000$ quetzales entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $8\,000$…
Un inversionista desea repartir $80\,000$ quetzales entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $8\,000$ quetzales (incluyendo la posibilidad de invertir $0$ quetzales en alguna de ellas), determina de cuántas formas distintas puede distribuir el capital.
La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas…
La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas formas distintas se pueden distribuir a los tripulantes si cada módulo debe alojar exactamente a $4$ astronautas.