Desde la orilla del lago de Atitlán, Ixchel mide la distancia a dos boyas: una está a 15 m y la otra a 20 m, y entre las dos direcciones hay un ángulo de $40^\circ$. ¿Cómo calcula la distancia entre las boyas sin ir hasta ellas? La ley de senos necesita un lado y su ángulo opuesto, y aquí no los tenemos. Para esto sirve la ley de cosenos (o teorema del coseno): una versión generalizada de Pitágoras que funciona en cualquier triángulo.
Una generalización de Pitágoras
Esta es la ley de cosenos. Si el ángulo $C$ fuera de $90^\circ$, $\cos C = 0$ y la fórmula que sigue se convierte exactamente en el teorema de Pitágoras. El teorema del coseno agrega un término de corrección cuando el ángulo no es recto.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado…
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1.5 horas de vuelo?
Si conoces los tres lados, despeja el coseno del ángulo que te interese. El signo del resultado dice si el ángulo es agudo (coseno positivo) u obtuso (coseno negativo).
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.
Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.
El teorema es la herramienta cuando dos distancias y el ángulo entre ellas se pueden medir, pero la distancia buscada no: topografía, navegación, composición de fuerzas, cuerdas de una circunferencia.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el…
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el…
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.
En los problemas difíciles el teorema aparece como una ecuación: la incógnita puede ser un lado desconocido, o dos triángulos comparten un lado y se arma un sistema.
Practica★★☆Sin empezar
Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el…
En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos…
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y…
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.
Dos circunferencias de radios 5 cm y 8 cm se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 cm. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas…
Dos circunferencias de radios 5 cm y 8 cm se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 cm. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).
El teorema también sirve en el espacio, siempre que encuentres un triángulo plano dentro de la figura. Primero se calculan las longitudes necesarias con Pitágoras y después se aplica el teorema del coseno.
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Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema…
Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.