Medidas de posición
En el control anual del centro de salud, la pediatra le dice a los papás de Josué que su altura está en el percentil $85$. No es una nota ni una medida directa: es una posición dentro de todo el grupo de chicos de su edad. ¿Qué quiere decir exactamente? Las medidas de posición generalizan la mediana para ubicar cualquier dato dentro de una distribución, no solo el centro. Al final de la página vas a poder responder esa pregunta y calcular estas medidas de varias maneras.
Mediana y cuartiles con datos sueltos
Cambia los datos de este interactivo y mira cómo se mueven la mediana y los cuartiles:
El número de goles marcados por un equipo de balonmano en sus últimos 9 partidos ha sido: $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calcula el primer cuartil ($Q_1$), la…
El número de goles marcados por un equipo de balonmano en sus últimos 9 partidos ha sido: $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calcula el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$) de estos datos.
La duración de la batería, en horas, de 10 teléfonos celulares tras una carga completa es: $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Determina la mediana y los cuartiles…
La duración de la batería, en horas, de 10 teléfonos celulares tras una carga completa es: $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Determina la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$ de la duración de las baterías.
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante 12 días consecutivos de primavera han sido, en grados Celsius:…
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante 12 días consecutivos de primavera han sido, en grados Celsius: $18, 20, 22, 19, 21, 24, 25, 23, 20, 19, 26, 22$. Calcula el rango intercuartílico (diferencia entre el tercer y el primer cuartil) de las temperaturas.
Percentiles y deciles
Con datos sueltos, la posición de $P_k$ es $\dfrac{k\cdot N}{100}$. Si da un número entero, tomas ese dato de la lista ordenada. Si no, tomas el dato siguiente (redondeando la posición hacia arriba).
El número de páginas leídas en un día por un grupo de 15 estudiantes es: $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Halla el percentil $60$ ($P_{60}$)…
El número de páginas leídas en un día por un grupo de 15 estudiantes es: $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Halla el percentil $60$ ($P_{60}$) e interpreta su significado en el contexto del problema.
En la revisión médica anual, el pediatra le dice a los padres de un niño que su altura se encuentra en el percentil $85$ ($P_{85}$) para su edad. Explica detalladamente…
En la revisión médica anual, el pediatra le dice a los padres de un niño que su altura se encuentra en el percentil $85$ ($P_{85}$) para su edad. Explica detalladamente qué significa este dato estadístico en relación con el resto de niños de su misma edad.
Cálculo con tabla de frecuencias
Cuando los datos vienen en una tabla con frecuencias, no hace falta escribirlos todos: se usa la frecuencia acumulada $F_i$.
En una encuesta realizada a 20 familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, se han obtenido los siguientes resultados: 0 mascotas: 6 familias 1 mascota: 8…
En una encuesta realizada a 20 familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, se han obtenido los siguientes resultados:
-
0 mascotas: 6 familias
-
1 mascota: 8 familias
-
2 mascotas: 4 familias
-
3 mascotas: 2 familias
Calcula la mediana del número de mascotas.
Se ha preguntado a los 25 alumnos de una clase cuántos días a la semana practican deporte. Los resultados se muestran en la tabla: | Días | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |…
Se ha preguntado a los 25 alumnos de una clase cuántos días a la semana practican deporte. Los resultados se muestran en la tabla:
| Días | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Alumnos | 3 | 5 | 7 | 6 | 2 | 2 |
Determina el primer y el tercer cuartil de esta distribución.
Las tallas de calzado de los 30 jugadores de un club de baloncesto se distribuyen según la siguiente tabla: | Talla | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |…
Las tallas de calzado de los 30 jugadores de un club de baloncesto se distribuyen según la siguiente tabla:
| Talla | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | 2 | 4 | 7 | 8 | 5 | 3 | 1 |
Calcula los percentiles $P_{20}$ y $P_{80}$ de la distribución e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema.
Interpolación lineal en datos agrupados
Con datos agrupados en intervalos no tienes un dato exacto en cada posición. Entonces se interpola: se supone que los datos se reparten de manera uniforme dentro del intervalo.
El tiempo, en minutos, que un grupo de 40 adolescentes pasa al día en redes sociales se ha agrupado en la siguiente tabla: | Tiempo (min) | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ |…
El tiempo, en minutos, que un grupo de 40 adolescentes pasa al día en redes sociales se ha agrupado en la siguiente tabla:
| Tiempo (min) | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ | $[90, 120)$ | $[120, 150)$ | $[150, 180)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
Identifica la clase mediana y calcula el valor exacto de la mediana utilizando la fórmula de interpolación lineal.
El peso, en gramos, de 60 manzanas recolectadas en un huerto se ha tabulado en intervalos: | Peso (g) | $[120, 140)$ | $[140, 160)$ | $[160, 180)$ | $[180, 200)$ |…
El peso, en gramos, de 60 manzanas recolectadas en un huerto se ha tabulado en intervalos:
| Peso (g) | $[120, 140)$ | $[140, 160)$ | $[160, 180)$ | $[180, 200)$ | $[200, 220)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Manzanas | 5 | 15 | 25 | 10 | 5 |
Calcula el rango intercuartílico de los pesos de las manzanas utilizando la interpolación lineal para hallar previamente $Q_1$ y $Q_3$.
La cantidad de lluvia mensual, en mm, registrada en una región durante varios años se agrupa en la siguiente tabla: | Lluvia (mm) | $[10, 30)$ | $[30, 50)$ | $[50, 70)$…
La cantidad de lluvia mensual, en mm, registrada en una región durante varios años se agrupa en la siguiente tabla:
| Lluvia (mm) | $[10, 30)$ | $[30, 50)$ | $[50, 70)$ | $[70, 90)$ | $[90, 110)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Meses | 8 | 15 | 22 | 10 | 5 |
Halla el valor de $k$ tal que el percentil $P_k$ sea exactamente $65$ mm. ¿Qué porcentaje de meses llovió menos de esa cantidad?
Deciles y comparación de distribuciones
Los percentiles y deciles sirven para comparar. Dos cocientes o diferencias entre posiciones dicen mucho sobre cómo se reparten los datos.
Con los deciles pasa algo parecido: $D_9$ es el valor desde el cual está el $10\,\%$ más alto, y $D_1$ el valor hasta el cual está el $10\,\%$ más bajo. El cociente $\dfrac{D_9}{D_1}$ indica cuántas veces mayor es el piso del $10\,\%$ más alto que el techo del $10\,\%$ más bajo: cuanto más grande, más desigual es la distribución.
La distancia, en kilómetros, que recorren diariamente 50 empleados para llegar a su lugar de trabajo se distribuye de la siguiente manera: | Distancia (km) | $[0, 5)$ |…
La distancia, en kilómetros, que recorren diariamente 50 empleados para llegar a su lugar de trabajo se distribuye de la siguiente manera:
| Distancia (km) | $[0, 5)$ | $[5, 10)$ | $[10, 15)$ | $[15, 20)$ | $[20, 25)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Empleados | 12 | 18 | 10 | 6 | 4 |
Calcula el percentil $90$ ($P_{90}$) utilizando la fórmula de interpolación lineal y explica qué información proporciona este valor a la empresa para planificar los espacios de parqueo o ayudas de transporte.
Se ha estudiado la vida útil, en miles de kilómetros, de dos marcas de neumáticos, X e Y. Para la marca X: | Vida útil (miles km) | $[30, 40)$ | $[40, 50)$ | $[50, 60)$…
Se ha estudiado la vida útil, en miles de kilómetros, de dos marcas de neumáticos, X e Y.
Para la marca X:
| Vida útil (miles km) | $[30, 40)$ | $[40, 50)$ | $[50, 60)$ | $[60, 70)$ |
|---|---|---|---|---|
| Neumáticos | 10 | 25 | 15 | 0 |
Para la marca Y:
| Vida útil (miles km) | $[30, 40)$ | $[40, 50)$ | $[50, 60)$ | $[60, 70)$ |
|---|---|---|---|---|
| Neumáticos | 5 | 15 | 20 | 10 |
Calcula el rango intercuartílico de ambas marcas y determina cuál de las dos ofrece una vida útil más consistente (menos dispersa en el $50\%$ central).
La distribución de los ingresos mensuales, en cientos de quetzales, de una colonia residencial se agrupa en la siguiente tabla: | Ingresos | $[80, 120)$ | $[120, 160)$ |…
La distribución de los ingresos mensuales, en cientos de quetzales, de una colonia residencial se agrupa en la siguiente tabla:
| Ingresos | $[80, 120)$ | $[120, 160)$ | $[160, 200)$ | $[200, 240)$ | $[240, 320)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Familias | 15 | 35 | 40 | 20 | 10 |
Calcula el primer decil ($D_1$) y el noveno decil ($D_9$). Posteriormente, halla la razón $\frac{D_9}{D_1}$ y explica qué indica este cociente sobre la desigualdad económica en la colonia.
Lectura gráfica: diagrama de caja y polígono acumulado
El siguiente diagrama de caja y bigotes representa los precios, en quetzales, de las entradas para distintos conciertos en una ciudad durante el verano. Identifica el…
El siguiente diagrama de caja y bigotes representa los precios, en quetzales, de las entradas para distintos conciertos en una ciudad durante el verano. Identifica el precio mínimo, el precio máximo, la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$.
El siguiente polígono de frecuencias acumuladas muestra la distribución de los salarios mensuales, en quetzales, de los 50 empleados de una empresa tecnológica. A partir…
El siguiente polígono de frecuencias acumuladas muestra la distribución de los salarios mensuales, en quetzales, de los 50 empleados de una empresa tecnológica. A partir del gráfico, estima de forma aproximada el valor de la mediana ($Me$), el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$).
El siguiente gráfico representa el polígono de frecuencias acumuladas del tiempo de carga, en minutos, de la batería de 40 vehículos eléctricos. A partir del gráfico,…
El siguiente gráfico representa el polígono de frecuencias acumuladas del tiempo de carga, en minutos, de la batería de 40 vehículos eléctricos. A partir del gráfico, reconstruye la tabla de frecuencias absolutas por intervalos y calcula de forma analítica el tercer cuartil ($Q_3$). Compara el resultado analítico con el valor que se observa directamente en el gráfico.
Comparar dos diagramas de caja
Poner dos cajas sobre la misma escala permite comparar rápido: la posición de la caja habla del "nivel", y su largo habla de la dispersión.
El diagrama de caja y bigotes adjunto representa la vida útil, en horas, de una muestra de 200 bombillas LED de una determinada marca. Responde a las siguientes…
El diagrama de caja y bigotes adjunto representa la vida útil, en horas, de una muestra de 200 bombillas LED de una determinada marca. Responde a las siguientes preguntas justificando tus respuestas:
- a) ¿Qué porcentaje de bombillas dura más de $1500$ horas?
- b) ¿Entre qué valores se encuentra el $50\%$ central de la distribución?
- c) ¿Cuántas bombillas exactamente duraron menos de $1200$ horas?
Los siguientes diagramas de caja y bigotes muestran las calificaciones obtenidas en un examen de Ciencias por dos clases diferentes, A y B. a) ¿Qué clase tiene una mayor…
Los siguientes diagramas de caja y bigotes muestran las calificaciones obtenidas en un examen de Ciencias por dos clases diferentes, A y B.
- a) ¿Qué clase tiene una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus notas?
- b) ¿En qué clase es mayor la nota que delimita el $75\%$ de las calificaciones más bajas?
- c) ¿Cuál de las dos clases consideras que ha tenido un rendimiento más homogéneo en general? Justifica tu respuesta.
Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 15 jugadores profesionales en un videojuego son:…
Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 15 jugadores profesionales en un videojuego son: $210, 245, 215, 230, 220, 250, 215, 225, 240, 235, 218, 222, 260, 228, 232$.
Calcula los cinco valores resumen (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) de este grupo. Si un jugador amateur tiene un diagrama de caja cuyos cuartiles son $Q_1 = 240$ y $Q_3 = 280$, razona estadísticamente si es posible afirmar que más del $25\%$ de los jugadores profesionales tienen tiempos de reacción peores (mayores) que el $25\%$ de los jugadores amateur más rápidos.
Razonar con la mediana y los cuartiles
A veces el problema no da todos los datos: da medidas de posición y hay que reconstruir algo. La clave es pensar en qué lugar de la lista ordenada está cada medida.
Las edades de un grupo de 6 amigos son: $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nuevo amigo se une al grupo. Determina qué edad debe tener este nuevo integrante para que la mediana…
Las edades de un grupo de 6 amigos son: $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nuevo amigo se une al grupo. Determina qué edad debe tener este nuevo integrante para que la mediana de las edades de todo el grupo pase a ser exactamente de $16$ años.
En una aplicación de música, las valoraciones (de 1 a 5 estrellas) dadas por un grupo de usuarios tienen la siguiente distribución: | Valoración | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |…
En una aplicación de música, las valoraciones (de 1 a 5 estrellas) dadas por un grupo de usuarios tienen la siguiente distribución:
| Valoración | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Usuarios | 4 | $x$ | 12 | 15 | 9 |
Se sabe que la mediana de las valoraciones es $3.5$ estrellas. Determina el valor de la frecuencia desconocida $x$ razonando tu respuesta, y a continuación calcula el primer cuartil ($Q_1$) de la distribución.
Las calificaciones de un examen de 6 estudiantes son números enteros del 1 al 10. Se sabe que la media aritmética es $6.5$, la mediana es $6.5$, la moda es $7$ (y es…
Las calificaciones de un examen de 6 estudiantes son números enteros del 1 al 10. Se sabe que la media aritmética es $6.5$, la mediana es $6.5$, la moda es $7$ (y es única), y el primer cuartil ($Q_1$) es $5$. Reconstruye las calificaciones exactas de los 6 estudiantes explicando paso a paso el razonamiento seguido.
Qué pasa con los cuartiles si transformamos los datos
Una tienda de electrónica tiene una lista de precios para 20 modelos de auriculares. Se sabe que el primer cuartil de los precios es $240$ quetzales, la mediana es $360$…
Una tienda de electrónica tiene una lista de precios para 20 modelos de auriculares. Se sabe que el primer cuartil de los precios es $240$ quetzales, la mediana es $360$ quetzales y el tercer cuartil es $480$ quetzales. Por la semana del "Black Friday", la tienda aplica un descuento del $20\%$ a todos los auriculares y, además, descuenta $40$ quetzales extra en caja. Determina cuáles serán los nuevos valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ tras aplicar la promoción, justificando matemáticamente tu respuesta.