Incertitudes-types, écriture du résultat et écart normalisé

La variabilité d'une mesure

Quand on répète une mesure dans les mêmes conditions, on n'obtient presque jamais deux fois la même valeur : le geste de l'opérateur, la lecture de l'instrument, les petites fluctuations du milieu changent un peu à chaque fois. C'est la variabilité de la mesure.

Pour une série de $n$ mesures indépendantes $x_1, x_2, \dots, x_n$, on calcule :

• la moyenne $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ ;

• l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1} = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$, qui mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.

La moyenne est la meilleure estimation de la grandeur : les écarts positifs et négatifs tendent à se compenser quand on moyenne plusieurs mesures.

Incertitude-type de type A

Une évaluation de type A repose sur la statistique d'une série de mesures répétées. L'incertitude-type $u(x)$ est un nombre qui quantifie le doute sur la valeur de la grandeur. Elle est l'écart-type de la moyenne, pas des mesures :

Pourquoi $\sqrt{n}$ ? Plus on moyenne de mesures, plus la moyenne est précise. Mais le gain est lent : pour diviser $u$ par 2, il faut quatre fois plus de mesures.

Écrire le résultat

On donne l'incertitude-type avec un seul chiffre significatif (parfois deux), puis on arrondit la valeur au même rang décimal :

Incertitude-type de type B

On n'a pas toujours le temps de répéter 10 fois une mesure. Une évaluation de type B utilise une autre approche : la précision de l'instrument, la graduation, la notice du constructeur.

Si la valeur lue est située dans un intervalle de demi-étendue $\Delta$ autour de la valeur affichée, avec une probabilité uniforme (rectangulaire) dans cet intervalle :

Pour une lecture sur une règle graduée, $\Delta$ vaut souvent une demi-graduation. Pour un appareil numérique, c'est la précision donnée par le constructeur.

Incertitudes composées

Souvent, on calcule une grandeur $G$ à partir de plusieurs mesures : $\rho = m/V$, $v = d/\Delta t$. Chaque mesure apporte son incertitude, qui se compose. Pour un produit ou un quotient de grandeurs indépendantes, la formule est (le sujet la fournit en général) :

Ce sont les incertitudes relatives $u(a)/a$ qui se combinent « en quadrature » (les carrés s'additionnent). On ne les additionne pas simplement : il est peu probable que toutes les erreurs jouent dans le même sens en même temps.

Remarque : l'incertitude relative la plus grande domine. Ici, celle du volume est près de quatre fois plus grande que celle de la masse : améliorer la balance ne servirait à rien, il faut mesurer le volume avec une verrerie plus précise.

Comparer à une valeur de référence : l'écart normalisé

Une mesure est-elle correcte ? On la compare à une valeur de référence $x_{ref}$ (table, constructeur, autre groupe). Le simple écart $|x_{mes} - x_{ref}|$ ne suffit pas : un écart de $0{,}1$ est énorme si $u = 0{,}01$ et négligeable si $u = 1$. On le compare donc à l'incertitude :

C'est l'écart normalisé (sans unité). Critère usuel :

• $z < 2$ : la mesure est compatible avec la valeur de référence ;

• $z \geqslant 2$ : elle n'est pas compatible : il faut chercher une cause (erreur systématique, protocole, incertitude sous-estimée).

Pour comparer deux mesures $a$ et $b$ entre elles, on utilise $z = \dfrac{|a - b|}{\sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}}$.

Simuler une série de mesures avec Python

Le programme demande de simuler un processus aléatoire. Avec numpy, on génère des mesures fluctuant autour d'une valeur vraie :

import numpy as np

mesures = np.random.normal(10.0, 0.2, 50)   # 50 mesures autour de 10, dispersion 0,2 (en Python, on écrit le point décimal : 10.0)

moy = np.mean(mesures)

s = np.std(mesures, ddof=1)                 # écart-type expérimental σ(n-1)

u = s/np.sqrt(50)                           # incertitude-type de type A

Remarque : ddof=1 demande de diviser par $n-1$ et non par $n$. Pour 50 mesures, on attend s proche de $0{,}2$ et u proche de $0{,}2/\sqrt{50} \approx 0{,}03$.

En répétant la simulation, l'intervalle $[\,moy - 2u\ ;\ moy + 2u\,]$ contient la valeur vraie dans environ 95 % des cas : c'est ce qui justifie le critère $z < 2$.

import numpy as np

mesures = np.random.normal(10.0, 0.2, 50)

moy = np.mean(mesures)

s = np.std(mesures, ddof=1)

u = s/np.sqrt(50)

Retour au début : Lucas ($15{,}8$ s) et Emma ($16{,}2$ s) ne peuvent être départagés sans incertitude. Avec $u = 0{,}2$ s pour chacun, $z = \dfrac{0{,}4}{\sqrt{0{,}2^2 + 0{,}2^2}} \approx 1{,}4 < 2$ : leurs mesures sont compatibles.

L'essentiel

• Une mesure est variable : on la résume par la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type $\sigma_{n-1}$.

• Type A : $u(x) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}$. Type B : $u = \dfrac{\Delta}{\sqrt{3}}$ (loi rectangulaire).

• Composition (produit ou quotient) : les incertitudes relatives s'additionnent en quadrature, la plus grande domine.

• Résultat : $x = \bar{x} \pm u(x)$, $u$ avec un chiffre significatif, valeur arrondie au même rang.

• Écart normalisé : $z = \dfrac{|x_{mes} - x_{ref}|}{u(x)}$ ; $z < 2$ : compatible.