Exercices: Incertitudes-types, écriture du résultat et écart normalisé

Un élève mesure la durée de dix oscillations d'un pendule et répète la mesure 8 fois. Il obtient, en secondes : $15,8$ ; $16,1$ ; $15,9$ ; $16,0$ ; $16,2$ ; $15,9$ ; $16,0$ ; $16,1$.

1. a) Calculer la moyenne $\bar{t}$ de ces mesures.
2. b) Expliquer pourquoi la moyenne est une meilleure estimation de la durée que chacune des mesures prise isolément.

Une série de $n = 10$ mesures de la masse d'un échantillon donne une moyenne $\bar{m} = 25,43\ \text{g}$ et un écart-type $\sigma_{n-1} = 0,06\ \text{g}$.

1. a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A, $u(m)$, en fonction de $\sigma_{n-1}$ et de $n$.
2. b) Calculer $u(m)$.
3. c) Écrire le résultat de la mesure sous la forme $m = \bar{m} \pm u(m)$, avec une incertitude-type à un chiffre significatif.

Une règle graduée en millimètres sert à mesurer la longueur d'une table. On estime que la lecture est possible à une demi-graduation près, soit une demi-étendue $\Delta = 0,5\ \text{mm}$, avec une loi de probabilité rectangulaire.

1. a) Donner l'expression de l'incertitude-type de type B : $u = \dfrac{\Delta}{\sqrt{3}}$.
2. b) Calculer $u$ en millimètres.

Au laboratoire d'un lycée de Lyon, on détermine la concentration d'une solution par dosage. Le volume équivalent est mesuré 6 fois : $12,3$ ; $12,5$ ; $12,4$ ; $12,2$ ; $12,4$ ; $12,4$ (en mL).

1. a) Calculer la moyenne et l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.
2. b) En déduire l'incertitude-type $u(V_E)$.
3. c) Écrire le résultat de $V_E$ avec son incertitude-type.

On détermine une masse volumique $\rho = \dfrac{m}{V}$ pour un liquide. On mesure $m = 45,20\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,05\ \text{g}$ et $V = 50,0\ \text{mL}$ avec $u(V) = 0,2\ \text{mL}$.

1. a) Calculer $\rho$ en $\text{g}\cdot\text{mL}^{-1}$.
2. b) Calculer l'incertitude-type composée $u(\rho)$ à l'aide de la relation $\dfrac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{\left(\dfrac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{u(V)}{V}\right)^2}$.
3. c) Écrire le résultat $\rho$ avec une incertitude-type à un chiffre significatif.

Un élève mesure l'accélération de la pesanteur à Toulouse avec un pendule et trouve $g_{mes} = 9,76\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ avec $u(g) = 0,05\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. La valeur de référence est $g_{ref} = 9,80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

1. a) Calculer l'écart normalisé $z = \dfrac{|g_{mes} - g_{ref}|}{u(g)}$.
2. b) Conclure sur la compatibilité de la mesure avec la valeur de référence, en précisant le critère utilisé (par exemple $z < 2$).

Pour mesurer la célérité du son dans l'air, un groupe d'élèves mesure la distance $d = 3,000\ \text{m}$ avec $u(d) = 0,005\ \text{m}$ et la durée de propagation $\Delta t = 8,70\ \text{ms}$ avec $u(\Delta t) = 0,15\ \text{ms}$. La valeur de référence à $20\ °\text{C}$ est $343\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

1. a) Calculer la célérité $v = \dfrac{d}{\Delta t}$.
2. b) Calculer l'incertitude-type $u(v)$ et écrire le résultat.
3. c) Calculer l'écart normalisé et conclure.
4. d) Indiquer quelle grandeur contribue le plus à l'incertitude et proposer une amélioration du protocole.

Deux groupes mesurent la concentration d'une même solution de diiode. Le groupe A trouve $c_A = 5,2\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$ avec $u(c_A) = 0,2\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$. Le groupe B trouve $c_B = 4,7\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$ avec $u(c_B) = 0,1\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.

1. a) Calculer l'écart normalisé entre les deux mesures, défini par $z = \dfrac{|c_A - c_B|}{\sqrt{u(c_A)^2 + u(c_B)^2}}$.
2. b) On considère que deux résultats sont compatibles si $z \le 2$. Les deux résultats sont-ils compatibles ? Justifier.
3. c) Le groupe B affirme que sa mesure est « meilleure ». Discuter cette affirmation.
4. d) Proposer deux actions pour réduire l'incertitude-type de type A.

On souhaite simuler en Python une série de mesures. Le programme suivant est écrit :

import numpy as np

mesures = np.random.normal(10.0, 0.2, 50)

moy = np.mean(mesures)

s = np.std(mesures, ddof=1)

u = s/np.sqrt(50)

1. a) Expliquer le rôle de l'option ddof=1.
2. b) Donner l'ordre de grandeur attendu de s et de u.
3. c) Si l'on passe à 200 mesures, par quel facteur est divisée u ? Justifier.
4. d) Expliquer pourquoi, sur plusieurs exécutions, l'intervalle $[moy - 2u ; moy + 2u]$ contient la valeur 10,0 dans environ 95 % des cas.