Charge et décharge d'un condensateur
Tu prends une photo avec flash dans une pièce sombre : le flash met quelques secondes à « se recharger », puis éclaire en une milliseconde. Comment un même composant peut-il se charger lentement et se décharger si vite ? La réponse tient en une grandeur : le temps caractéristique $\tau = RC$.
Le condensateur : charge et énergie
Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Quand on le soumet à une tension $u_C$, l'armature reliée au pôle $+$ porte une charge $+q$ et l'autre une charge $-q$.
Le farad est une très grande unité : on utilise le mF, le $\mu$F, le nF et le pF ($1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$).
L'énergie emmagasinée dans le condensateur est
$$E_C = \dfrac{1}{2}\,C\,u_C^2$$Un condensateur de capacité $C = 470\ \mu\text{F}$ est soumis à une tension $u_C = 12\ \text{V}$. a) Rappeler la relation entre la charge $q$, la capacité $C$ et la…
Un condensateur de capacité $C = 470\ \mu\text{F}$ est soumis à une tension $u_C = 12\ \text{V}$.
- a) Rappeler la relation entre la charge $q$, la capacité $C$ et la tension $u_C$.
- b) Calculer la charge $q$ portée par l'armature positive.
- c) Calculer l'énergie emmagasinée $E = \dfrac{1}{2}Cu_C^2$.
Charge d'un condensateur à travers une résistance
On branche un condensateur initialement déchargé, en série avec un conducteur ohmique $R$, aux bornes d'un générateur idéal de tension $E$. À $t = 0$ on ferme l'interrupteur.
Au début, $u_C = 0$ : le courant est maximal. Puis le condensateur se charge, $u_C$ augmente, le courant diminue. À la fin, $u_C = E$ et $i = 0$.
On en déduit l'intensité : $i(t) = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$.
Un condensateur de capacité $C$ est chargé par un générateur idéal de tension $E$ à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À $t = 0$, $u_C = 0$. a) Établir…
Un condensateur de capacité $C$ est chargé par un générateur idéal de tension $E$ à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À $t = 0$, $u_C = 0$.
- a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
- b) Vérifier que $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ est solution et exprimer $\tau$.
- c) Calculer $\tau$ pour $R = 10\ \text{k}\Omega$ et $C = 47\ \mu\text{F}$.
Le temps caractéristique τ
$\tau = RC$ s'exprime en secondes : $\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$. Plus $\tau$ est grand, plus la charge est lente.
Valeurs à connaître :
| $t$ | $\tau$ | $2\tau$ | $3\tau$ | $5\tau$ |
|---|---|---|---|---|
| $u_C / E$ | 63 % | 86 % | 95 % | 99,3 % |
On considère donc le condensateur chargé au bout de $5\tau$.
Un circuit comporte un conducteur ohmique de résistance $R = 2,2\ \text{k}\Omega$ en série avec un condensateur de capacité $C = 100\ \mu\text{F}$. a) Donner…
Un circuit comporte un conducteur ohmique de résistance $R = 2,2\ \text{k}\Omega$ en série avec un condensateur de capacité $C = 100\ \mu\text{F}$.
- a) Donner l'expression du temps caractéristique $\tau$ du circuit.
- b) Calculer $\tau$ en secondes.
- c) Donner la durée approximative au bout de laquelle le condensateur est considéré comme chargé (environ $5\tau$).
Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers une résistance par un générateur de tension constante $E = 6,0\ \text{V}$. La tension à ses bornes vaut…
Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers une résistance par un générateur de tension constante $E = 6,0\ \text{V}$. La tension à ses bornes vaut $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau = 0,50\ \text{s}$.
- a) Calculer $u_C$ à $t = \tau$.
- b) Calculer $u_C$ à $t = 5\tau$.
On étudie la charge d'un condensateur par un générateur de $E = 5,0\ \text{V}$ à travers $R = 4,7\ \text{k}\Omega$. On relève $u_C = 3,16\ \text{V}$ à…
On étudie la charge d'un condensateur par un générateur de $E = 5,0\ \text{V}$ à travers $R = 4,7\ \text{k}\Omega$. On relève $u_C = 3,16\ \text{V}$ à $t = 0,10\ \text{s}$.
- a) Établir l'expression de $u_C(t)$ puis celle de $i(t)$.
- b) Déterminer $\tau$ à partir de la mesure, puis la capacité $C$.
- c) Calculer l'intensité du courant à $t = 0,10\ \text{s}$.
- d) Montrer que la tangente à l'origine de $u_C(t)$ coupe l'asymptote $u_C = E$ en $t = \tau$.
Décharge d'un condensateur
Le condensateur, chargé sous la tension $U_0$, est relié à la seule résistance $R$ (le générateur est déconnecté). Loi des mailles : $u_R + u_C = 0$, soit $RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0$, c'est-à-dire
$$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{\tau}\,u_C = 0$$Solution : $u_C = A\,e^{-t/\tau}$. Comme $u_C(0) = U_0$, on a $A = U_0$.
Un condensateur de $2,2\ \text{mF}$ chargé sous $9,0\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance $R = 1,5\ \text{k}\Omega$. À $t = 0$, $u_C = 9,0\ \text{V}$. a)…
Un condensateur de $2,2\ \text{mF}$ chargé sous $9,0\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance $R = 1,5\ \text{k}\Omega$. À $t = 0$, $u_C = 9,0\ \text{V}$.
- a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ pendant la décharge et donner sa solution.
- b) Calculer $\tau$.
- c) Calculer la tension à $t = 5,0\ \text{s}$.
- d) Calculer l'instant où $u_C = 1,0\ \text{V}$.
Aspects énergétiques et applications
Pendant la décharge, l'énergie stockée $E_C(t) = \dfrac12 C\,u_C^2 = \dfrac12 C U_0^2\,e^{-2t/\tau}$ diminue. Elle est dissipée par effet Joule dans $R$ : la puissance $p = R\,i^2 = \dfrac{u_C^2}{R}$ intégrée de $0$ à l'infini redonne exactement $\dfrac12 C U_0^2$.
Cette décroissance est deux fois plus rapide que celle de $u_C$ (constante de temps $\tau/2$).
Pour tracer $u_C(t)$ avec Python :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
R, C, U0 = 100, 1.0e-3, 10
tau = R * C
t = np.linspace(0, 5 * tau, 200)
uC = U0 * np.exp(-t / tau)
plt.plot(t, uC)
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("u_C (V)")
plt.show()
Le flash d'un appareil photo est alimenté par un condensateur de $C = 150\ \mu\text{F}$ chargé sous $300\ \text{V}$. Le flash décharge le condensateur à travers la lampe…
Le flash d'un appareil photo est alimenté par un condensateur de $C = 150\ \mu\text{F}$ chargé sous $300\ \text{V}$. Le flash décharge le condensateur à travers la lampe en $1,0\ \text{ms}$ environ, assimilée à un conducteur ohmique de résistance $R$, avec $5\tau \approx 1,0\ \text{ms}$.
- a) Calculer l'énergie stockée dans le condensateur.
- b) Estimer la résistance équivalente $R$ de la lampe.
- c) Calculer la puissance moyenne délivrée pendant le flash.
Un capteur capacitif d'humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité varie avec l'humidité : $C = 180\ \text{pF}$ à $30\ \%$ et $C = 220\ \text{pF}$ à…
Un capteur capacitif d'humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité varie avec l'humidité : $C = 180\ \text{pF}$ à $30\ \%$ et $C = 220\ \text{pF}$ à $70\ \%$. Il est monté en série avec $R = 1,0\ \text{M}\Omega$ et alimenté par un échelon de tension de $E = 3,3\ \text{V}$.
- a) Calculer le temps caractéristique pour chaque humidité.
- b) Calculer, pour chacun des deux cas, la durée $t_{90}$ nécessaire pour que $u_C$ atteigne $90\ \%$ de $E$.
- c) Expliquer comment un microcontrôleur peut en déduire l'humidité.
- d) Discuter l'influence de la résistance $R$ sur la précision de la mesure.
Un condensateur de capacité $C = 1,0\ \text{mF}$ est chargé sous $E = 10\ \text{V}$ puis déconnecté du générateur et relié à un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$. a)…
Un condensateur de capacité $C = 1,0\ \text{mF}$ est chargé sous $E = 10\ \text{V}$ puis déconnecté du générateur et relié à un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$.
- a) Établir l'expression de l'énergie $E_C(t)$ stockée dans le condensateur au cours de la décharge.
- b) Montrer que l'énergie dissipée par effet Joule entre $t = 0$ et $t \to \infty$ est égale à l'énergie initialement stockée.
- c) Calculer la durée au bout de laquelle l'énergie stockée est divisée par $10$.
- d) Écrire un programme Python simple qui trace $u_C(t)$ pour $t$ de $0$ à $5\tau$.