Loi de décroissance radioactive, demi-vie, activité et datation
Dans un hôpital de Marseille, un patient passe une scintigraphie avec du technétium 99m. Le service de médecine nucléaire reçoit la dose le matin et doit l'utiliser dans la journée : le lendemain, elle serait presque inutilisable. Pourquoi ? Comment prévoir précisément combien de noyaux radioactifs restent au bout d'une durée donnée ? C'est ce que permet la loi de décroissance, que tu vas établir puis utiliser, jusqu'à la datation.
La loi de décroissance radioactive
Un noyau radioactif se désintègre au hasard : on ne peut pas prévoir quand un noyau précis se désintégrera. Mais avec un très grand nombre de noyaux, le comportement global est parfaitement régulier. Observe la simulation : chaque noyau a la même probabilité de se désintégrer pendant une durée donnée.
Relance plusieurs fois : la courbe varie un peu (hasard), mais le nombre de noyaux est divisé par 2 à intervalles de temps réguliers.
Modèle. Entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$, le nombre de désintégrations est proportionnel au nombre $N$ de noyaux présents (deux fois plus de noyaux, deux fois plus de désintégrations) et à la durée $\mathrm{d}t$. On note $\lambda$ le coefficient de proportionnalité :
$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$$Le signe « − » traduit que $N$ diminue.
C'est une équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants, sans second membre : ses solutions sont de la forme $N(t) = K\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$. À $t = 0$ on a $N(0) = K = N_0$ (nombre initial de noyaux).
La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$. a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$. b)…
La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$.
- a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$.
- b) Donner l'unité de la constante radioactive $\lambda$.
- c) Établir la relation entre $\lambda$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$.
Temps de demi-vie
Sur la simulation, le nombre de noyaux est divisé par 2 toutes les 8 jours, puis encore par 2, etc. Cette durée caractéristique est le temps de demi-vie.
Établir la relation avec $\lambda$. On écrit $N(t_{1/2}) = N_0/2$ avec la loi de décroissance :
$$N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \iff \mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \frac12 \iff -\lambda t_{1/2} = -\ln 2$$L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux. a) Calculer le…
L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux.
- a) Calculer le nombre de noyaux restants après $8,02$ jours.
- b) Calculer le nombre de noyaux restants après $24,06$ jours.
Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$. a) Calculer…
Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.
- a) Calculer l'activité surfacique après $60,4$ ans.
- b) Calculer la durée nécessaire pour que cette activité soit inférieure à $10\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.
Activité d'un échantillon
On ne compte pas directement les noyaux : on détecte les désintégrations avec un compteur. La grandeur mesurable est l'activité.
Les désintégrations par seconde sont $-\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N$ (on prend l'opposé pour avoir une grandeur positive). D'où :
Multiples utiles : $1\ \mathrm{kBq} = 10^3\ \mathrm{Bq}$, $1\ \mathrm{MBq} = 10^6\ \mathrm{Bq}$, $1\ \mathrm{GBq} = 10^9\ \mathrm{Bq}$.
Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$. a) Donner la…
Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$.
- a) Donner la définition de l'activité $A$ et son unité.
- b) Calculer l'activité de l'échantillon.
Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est…
Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est $A_0 = 600\ \text{MBq}$.
- a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$.
- b) Calculer l'activité de la dose à $14\,\text{h}$, puis à $20\,\text{h}$.
- c) Déterminer à quelle heure l'activité sera de $75\ \text{MBq}$.
Datation par radioactivité
Comme la décroissance suit une loi exacte, un échantillon contient une « horloge ». Si on connaît l'état initial et qu'on mesure l'état actuel, on en déduit le temps écoulé.
Le carbone 14
Dans un organisme vivant, le carbone 14 est renouvelé en permanence (alimentation, respiration) : son activité par gramme de carbone reste égale à $A_0$. À la mort, plus aucun renouvellement : l'activité décroît avec $t_{1/2} = 5\,730$ ans. Mesurer $A$ permet de dater la mort, sur des durées de l'ordre de quelques milliers à quelques dizaines de milliers d'années.
Établir l'âge. À partir de $A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ :
$$\frac{A}{A_0} = \mathrm{e}^{-\lambda t} \iff \ln\frac{A}{A_0} = -\lambda t \iff t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{A_0}{A}$$Datation avec deux éléments : uranium et plomb
Pour des roches très anciennes, on utilise un radionucléide de demi-vie très longue (par exemple l'uranium 238, $4{,}47 \times 10^{9}$ ans). Chaque noyau d'uranium désintégré donne finalement un noyau de plomb stable. Si la roche ne contenait pas de plomb à l'origine, et en négligeant les noyaux intermédiaires :
-
$N_U(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ;
-
$N_{Pb}(t) = N_0 - N_U(t)$, car tout noyau désintégré est devenu un noyau de plomb ;
-
la mesure donne $N_U$ et $N_{Pb}$, donc $N_0 = N_U + N_{Pb}$ : on peut ensuite appliquer la même méthode que ci-dessus, avec $N_0/N_U$ à la place de $A_0/A$.
On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est…
On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est $\dfrac{A}{A_0} = 0,30$. Le carbone 14 a une demi-vie $t_{1/2} = 5\,730$ ans.
- a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$.
- b) Établir l'expression de l'âge $t$ de l'échantillon en fonction de $\lambda$ et de $A/A_0$.
- c) Calculer l'âge de l'échantillon.
Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux…
Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux intermédiaires. On mesure dans la roche $N_U = 3,0 \times 10^{18}$ noyaux d'uranium et $N_{Pb} = 1,0 \times 10^{18}$ noyaux de plomb. On suppose qu'à l'origine la roche ne contenait pas de plomb.
- a) Exprimer $N_U(t)$ en fonction de $N_0$, puis $N_{Pb}$ en fonction de $N_0$ et $N_U$.
- b) Établir l'expression de l'âge $t$ en fonction de $t_{1/2}$ et du rapport $\dfrac{N_{Pb}}{N_U}$.
- c) Calculer l'âge de la roche.
- d) Discuter les limites de cette méthode de datation.
Exploiter des mesures et des processus combinés
Vérifier une décroissance exponentielle
En prenant le logarithme népérien de $A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ :
$$\ln A = \ln A_0 - \lambda t$$$\ln A$ est une fonction affine de $t$, de coefficient directeur $-\lambda$. Si les points $(t\ ;\ \ln A)$ sont alignés, la décroissance est exponentielle et la pente donne $\lambda$. Une autre vérification : à intervalles de temps égaux, le rapport de deux valeurs successives de $A$ est constant.
En Python, on peut obtenir $\lambda$ par régression linéaire :
import numpy as np
t = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) # temps (h)
A = np.array([100, 74, 55, 41, 30]) # activité (kBq)
pente, ordonnee = np.polyfit(t, np.log(A), 1)
lam = -pente # constante radioactive (h^-1)
t_demi = np.log(2) / lam
print(lam, t_demi)
Deux processus qui s'additionnent
Un radionucléide dans l'organisme peut disparaître de deux façons indépendantes : par désintégration (constante $\lambda_{phys}$) et par élimination biologique ($\lambda_{bio}$). Chaque noyau a alors une probabilité de disparaître par unité de temps égale à la somme :
$$\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio}$$Puisque $\lambda = \ln 2/t_{1/2}$, on en déduit $\dfrac{1}{t_{eff}} = \dfrac{1}{t_{phys}} + \dfrac{1}{t_{bio}}$ : la demi-vie effective est plus courte que chacune des deux.
On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers : | $t$ (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | |---|---|---|---|---|---| | $A$ (kBq) | 80,0 | 63,5 | 50,4 | 40,0…
On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers :
| $t$ (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| $A$ (kBq) | 80,0 | 63,5 | 50,4 | 40,0 | 31,7 |
- a) Montrer que ces données sont compatibles avec une décroissance exponentielle $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
- b) Déterminer $\lambda$ en traçant ou en calculant $\ln(A)$ en fonction de $t$ ; en déduire $t_{1/2}$.
- c) Calculer le nombre initial de noyaux $N_0$.
- d) Proposer un programme Python (en quelques lignes) permettant d'obtenir $\lambda$ par régression linéaire sur $\ln A$.
Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours.…
Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours. Les deux processus sont indépendants et leurs constantes s'additionnent : $\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio}$.
- a) Calculer $\lambda_{phys}$ et $\lambda_{bio}$ en $\text{jour}^{-1}$.
- b) En déduire la demi-vie effective $t_{eff}$.
- c) L'activité initiale dans l'organisme est de $370\ \text{MBq}$. Calculer l'activité restante au bout de $30$ jours.
- d) Justifier pourquoi la demi-vie effective est inférieure aux deux demi-vies individuelles.
L'essentiel
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Loi de décroissance : $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$, donc $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ; $\lambda$ est en $\mathrm{s^{-1}}$ (inverse d'un temps).
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Temps de demi-vie : $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ; après $k$ demi-vies, $N = N_0/2^k$.
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Activité : $A = \lambda N = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, en becquerels ($1\ \mathrm{Bq} = 1\ \mathrm{s^{-1}}$).
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Datation : $t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}$ ; on choisit un radionucléide dont $t_{1/2}$ est comparable à l'âge cherché.
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Exploiter des mesures : $\ln A$ est affine en $t$, de coefficient directeur $-\lambda$ ; deux processus indépendants : $\lambda_{eff} = \lambda_1 + \lambda_2$.
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Retour au début : le technétium 99m a $t_{1/2} = 6$ h ; au bout de 24 h, soit 4 demi-vies, il n'en reste que $1/2^4 = 1/16$, soit environ 6 % de l'activité initiale. La dose du lendemain serait trop faible : il faut l'utiliser dans la journée.