Moyenne, médiane et indices

Moyenne et moyenne pondérée

La moyenne arithmétique simple de $n$ valeurs est leur somme divisée par $n$. Elle suppose que chaque valeur compte autant que les autres.

Mais parfois, certaines valeurs « pèsent » plus que d'autres : un coefficient au lycée, un effectif dans une entreprise. On utilise alors la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son poids (coefficient ou effectif), puis on divise par la somme des poids.

Médiane : la valeur du milieu

La médiane partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif : la moitié des valeurs lui est inférieure ou égale, l'autre moitié supérieure ou égale.

Quand les données sont données avec des effectifs, on cumule les effectifs pour trouver la médiane.

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane y est résistante. Quand une distribution est très inégalitaire (revenus, patrimoines), la moyenne est supérieure à la médiane.

Taux de variation, coefficient multiplicateur et indice simple

Pour suivre une évolution, on compare une valeur finale $V_f$ à une valeur initiale $V_i$.

Pourquoi un indice ? Il permet de comparer des grandeurs d'unités différentes (prix, production, salaire) en les ramenant toutes à 100 à la même date.

Valeur nominale, valeur réelle et pouvoir d'achat

Un salaire de 1 800 € « vaut » moins si les prix augmentent. On distingue donc :

• la valeur nominale : la valeur exprimée en euros courants, au prix de la date considérée ;

• la valeur réelle : la valeur corrigée de l'évolution des prix, exprimée en euros constants d'une année de référence.

Le pouvoir d'achat évolue comme le rapport entre le revenu nominal et les prix : il augmente si le revenu progresse plus vite que les prix. Le taux d'inflation est le taux de variation de l'indice des prix. Le taux d'intérêt réel s'obtient de la même façon : il est approximativement égal au taux nominal moins le taux d'inflation. Exactement, $r = \dfrac{1 + i}{1 + \pi} - 1$, où $i$ est le taux nominal et $\pi$ le taux d'inflation.

Indices synthétiques

Comment comparer le bien-être, ou le développement, de deux pays avec un seul nombre ? On construit un indice synthétique : on combine plusieurs indicateurs (santé, éducation, revenu…), chacun ramené à une même échelle (sur 100 ou entre 0 et 1), puis on calcule une moyenne.

Certains indices (l'IDH depuis 2010) utilisent une moyenne géométrique : $\sqrt[3]{I_1 \times I_2 \times I_3}$. Elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique, avec égalité si les trois indices sont identiques. Un faible score dans une composante est donc moins « compensé » par les autres : c'est ce que l'on appelle une compensation imparfaite.

Exemple : indices 0,9 ; 0,9 ; 0,3. Moyenne arithmétique : 0,7. Moyenne géométrique : $\sqrt[3]{0{,}243} \approx 0{,}624$.

Retour au début : le « salaire moyen de 2 400 € » n'est pas celui du salarié typique. Quand quelques salaires très élevés tirent la moyenne vers le haut, la médiane est un meilleur résumé, et il faut toujours préciser l'indicateur utilisé.

L'essentiel

• La moyenne pondérée multiplie chaque valeur par son poids puis divise par la somme des poids.

• La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés égales ; elle est résistante aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.

• Taux de variation : $\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$ ; coefficient multiplicateur : $1 + \dfrac{t}{100}$ ; indice simple : $\dfrac{V_t}{V_0} \times 100$. Une différence d'indices est en points, pas en %.

• Valeur réelle = valeur nominale ÷ indice des prix × 100 : elle permet de juger l'évolution du pouvoir d'achat.

• Un indice synthétique résume plusieurs indicateurs, mais cache les écarts entre composantes ; la moyenne géométrique pénalise davantage ces écarts.