Tableaux à double entrée et séries chronologiques

Lire un tableau à double entrée

Un tableau à double entrée croise deux variables : l'une est lue en lignes, l'autre en colonnes. Chaque case contient un effectif, c'est-à-dire un nombre d'individus qui possèdent à la fois les deux caractères.

Les totaux placés en bout de ligne et en bas de colonne s'appellent les marges. La case en bas à droite donne l'effectif total.

Exemple : 200 lycéens sont classés selon leur niveau et leur régime de restauration.

Remarque : ici les deux niveaux ont le même effectif, donc la comparaison est simple ; dans un lycée réel, les effectifs sont presque toujours inégaux et les effectifs bruts deviennent trompeurs (voir la section suivante, avec 150 élèves de première).

Pour lire une case, on se place à l'intersection d'une ligne et d'une colonne : 60 élèves de première sont demi-pensionnaires.

Pour vérifier un tableau, on fait la somme des marges de lignes, puis la somme des marges de colonnes. Les deux doivent donner l'effectif total : $100 + 100 = 130 + 70 = 200$.

Parts, proportions : dans quel sens lire ?

Un effectif seul ne permet pas de comparer des groupes de tailles différentes. On calcule alors une part (ou proportion) :

Tout le travail consiste à choisir l'ensemble de référence, c'est-à-dire le dénominateur. Dans un tableau à double entrée, il y a trois choix possibles.

• Part en ligne : on divise par le total de la ligne. Exemple : parmi les élèves de seconde, $\dfrac{70}{100} = 70\,\%$ sont demi-pensionnaires.

• Part en colonne : on divise par le total de la colonne. Exemple : parmi les demi-pensionnaires, $\dfrac{70}{130} \approx 53{,}8\,\%$ sont en seconde.

• Part dans l'ensemble : on divise par l'effectif total. Exemple : $\dfrac{70}{200} = 35\,\%$ des lycéens sont des élèves de seconde demi-pensionnaires.

Ces trois phrases ne disent pas la même chose, et les trois sont exactes. Un énoncé précis indique toujours « parmi… » : c'est lui qui désigne le dénominateur.

Pour comparer deux groupes, il faut utiliser les parts. Parmi les élèves de seconde, 70 % sont demi-pensionnaires, contre 60 % ($\frac{60}{100}$) en première. La demi-pension est donc proportionnellement plus fréquente en seconde. Ici les deux niveaux ont le même effectif, donc effectifs et parts classent les niveaux de la même façon. Avec 150 élèves de première dont 75 demi-pensionnaires, il y aurait plus de demi-pensionnaires en première (75 contre 70), mais une part plus faible (50 % contre 70 %) : comparer les effectifs bruts serait trompeur.

Une répartition (par exemple celle des ménages selon la PCS) est un ensemble de parts dont la somme vaut 100 %.

Séries chronologiques : variation et points de pourcentage

Une série chronologique est une suite de valeurs d'une même grandeur relevées à des dates successives (PIB, taux de chômage, prix…). On la lit en comparant des dates.

Le taux de variation entre une valeur de départ $V_i$ et une valeur d'arrivée $V_f$ est :

Pour un PIB, on parle de taux de croissance. Le coefficient multiplicateur vaut $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$ : une hausse de 10 % correspond à $CM = 1{,}1$ et une baisse de 10 % à $CM = 0{,}9$.

Quand la grandeur est elle-même un pourcentage (taux de chômage, part d'une catégorie), il y a deux façons de mesurer son évolution :

• la variation en points de pourcentage est la simple différence des deux taux ;

• la variation en pourcentage est le taux de variation calculé sur ces taux.

Exemple : un taux de chômage passe de 8 % à 10 %. La variation est de $+2$ points de pourcentage, mais aussi de $\dfrac{10-8}{8} \times 100 = +25\,\%$.

Effet de base et taux cumulé

Soit un indice qui vaut 100 en 2019, 90 en 2020 et 99 en 2021.

De 2019 à 2020, la baisse est de $-10\,\%$. De 2020 à 2021, la hausse est de $\dfrac{99-90}{90} \times 100 = +10\,\%$. Pourtant, l'indice de 2021 (99) reste inférieur à celui de 2019 (100).

Les deux taux ne s'ajoutent pas : on multiplie les coefficients multiplicateurs. Le coefficient global est $0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99$, soit un taux de variation global de $-1\,\%$. Cela s'explique par l'effet de base : la hausse de 10 % s'applique à une valeur plus basse (90) que la baisse de 10 % (100).

Part et effectif : deux évolutions à ne pas confondre

Une part peut baisser alors que l'effectif correspondant augmente, et inversement. Cela arrive dès que l'ensemble de référence évolue plus vite que le sous-groupe.

Exemple : dans une commune, la population active passe de 10 000 à 12 000 personnes. Les ouvriers représentent 30 % des actifs au début, 27 % à la fin.

• Au début : $10\,000 \times 0{,}30 = 3\,000$ ouvriers.

• À la fin : $12\,000 \times 0{,}27 = 3\,240$ ouvriers.

La part des ouvriers a diminué de 3 points de pourcentage, mais leur nombre a augmenté de $\dfrac{3\,240 - 3\,000}{3\,000} \times 100 = +8\,\%$. Il y a plus d'ouvriers, mais ils pèsent moins dans la population active, car le total des actifs a progressé de 20 %.

Pour étudier la structure sociale, ce sont les parts qui comptent : elles montrent le poids relatif de chaque catégorie. Les effectifs, eux, montrent l'évolution en volume.

Retour au début : pour savoir si la demi-pension est plus fréquente en seconde ou en première, on compare les parts, pas les effectifs bruts. Avec 100 élèves de seconde dont 70 demi-pensionnaires et 150 élèves de première dont 75 demi-pensionnaires, il y a plus de demi-pensionnaires en première (75 contre 70), mais la demi-pension est plus fréquente en seconde (70 % contre 50 %).

L'essentiel

• Un tableau à double entrée croise deux variables ; les marges sont les totaux des lignes et des colonnes, et leur somme donne l'effectif total.

• Une part est un effectif divisé par l'ensemble de référence : lis bien « parmi… » pour choisir le bon dénominateur (ligne, colonne ou total).

• Pour comparer des groupes de tailles différentes, compare des proportions, jamais des effectifs bruts.

• Taux de variation : $\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$ ; coefficient multiplicateur : $1 + \dfrac{t}{100}$ ; les coefficients se multiplient, les taux ne s'additionnent pas.

• Pour un taux exprimé en %, distingue la variation en points de pourcentage et la variation en pourcentage.

• Attention à l'effet de base, surtout en période de crise, et à la différence entre l'évolution d'une part et celle d'un effectif.