Distances en km et en unités astronomiques
Thomas Pesquet voyage à 400 km au-dessus de nos têtes : c'est à peu près la distance Paris-Lyon en ligne droite… à la verticale ! Mais pour atteindre Neptune, il faudrait parcourir 4 500 000 000 km. Comment écrire et comparer de si grands nombres sans se perdre dans les zéros ?
L'écriture scientifique
Écrire « 150 000 000 km » est long et on peut facilement oublier un zéro. Les astronomes utilisent donc l'écriture scientifique, un simple outil de calcul, que nous allons voir pas à pas : un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.
Pourquoi ça marche ? Multiplier par $10^{n}$ revient à décaler la virgule de $n$ rangs vers la droite. Pour passer de $1{,}5$ à $150\,000\,000$, on décale la virgule de 8 rangs vers la droite. Dans l'autre sens, pour écrire $150\,000\,000$ en écriture scientifique, on décale la virgule de 8 rangs vers la gauche, jusqu'à la placer après le premier chiffre.
Convertir en notation scientifique : a) 150 000 000 km ; b) 384 400 km (distance Terre-Lune) ; c) 12 756 km (diamètre de la Terre).
Convertir en notation scientifique :
- a) 150 000 000 km ;
- b) 384 400 km (distance Terre-Lune) ;
- c) 12 756 km (diamètre de la Terre).
L'unité astronomique
L'écriture scientifique est un outil pratique pour calculer, mais les nombres restent peu parlants. Dans le Système solaire, on choisit donc une unité mieux adaptée : l'unité astronomique, comme on mesure une randonnée en km et non en mm.
Pour convertir, on utilise la proportionnalité, comme pour les euros et les centimes.
| Planète | Distance au Soleil (ua) |
|---|---|
| Mercure | 0,39 |
| Vénus | 0,72 |
| Terre | 1 |
| Mars | 1,5 |
| Jupiter | 5,2 |
| Neptune | 30 |
Pour passer des km aux ua, on fait l'opération inverse : on divise par $1{,}5 \times 10^{8}$.
La distance moyenne Terre-Soleil est de $150 \times 10^6\ \text{km}$ et elle définit l'unité astronomique (ua). a) Donner la valeur de 1 ua en km. b) Exprimer 3 ua en km.
La distance moyenne Terre-Soleil est de $150 \times 10^6\ \text{km}$ et elle définit l'unité astronomique (ua).
- a) Donner la valeur de 1 ua en km.
- b) Exprimer 3 ua en km.
La distance Soleil-Jupiter est d'environ 5,2 ua. Calculer cette distance en km, sachant que 1 ua $= 1{,}5 \times 10^8$ km.
La distance Soleil-Jupiter est d'environ 5,2 ua. Calculer cette distance en km, sachant que 1 ua $= 1{,}5 \times 10^8$ km.
Les distances moyennes au Soleil sont : Mercure 0,39 ua, Vénus 0,72 ua, Terre 1,0 ua, Mars 1,5 ua. a) Ranger ces planètes par distance croissante. b) Calculer la…
Les distances moyennes au Soleil sont : Mercure 0,39 ua, Vénus 0,72 ua, Terre 1,0 ua, Mars 1,5 ua.
- a) Ranger ces planètes par distance croissante.
- b) Calculer la distance Soleil-Mars en km (1 ua $= 1{,}5 \times 10^8$ km).
- c) Calculer la distance moyenne entre la Terre et Mars lorsqu'elles sont alignées du même côté du Soleil, en ua puis en km.
La distance Soleil-Neptune est de $4{,}5 \times 10^9$ km. On rappelle que $1$ ua $= 1{,}5 \times 10^8$ km. a) Convertir cette distance en ua. b) Calculer combien de fois…
La distance Soleil-Neptune est de $4{,}5 \times 10^9$ km. On rappelle que $1$ ua $= 1{,}5 \times 10^8$ km.
- a) Convertir cette distance en ua.
- b) Calculer combien de fois Neptune est plus éloignée du Soleil que la Terre.
Durées de trajet : sondes et lumière
Pour un mouvement uniforme, on retrouve la relation vue en physique : $v = \dfrac{d}{t}$, donc $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$. Il faut juste que les unités soient cohérentes : si $v$ est en km/s, alors $d$ est en km et $t$ en s.
La lumière se propage à $3{,}0 \times 10^{5}$ km/s. Elle met donc un temps mesurable pour traverser le Système solaire.
Une sonde se déplace à $17\ \text{km/s}$. a) Calculer la distance parcourue en 1 jour (86 400 s), en km. b) Convertir cette distance en ua (1 ua $= 1{,}5 \times 10^8$…
Une sonde se déplace à $17\ \text{km/s}$.
- a) Calculer la distance parcourue en 1 jour (86 400 s), en km.
- b) Convertir cette distance en ua (1 ua $= 1{,}5 \times 10^8$ km).
- c) Estimer le temps nécessaire pour parcourir 1 ua, en jours.
La lumière se propage à $3{,}0 \times 10^5$ km/s. La Terre est à $1{,}5 \times 10^8$ km du Soleil et Saturne à $9{,}6$ ua. a) Calculer la durée mise par la lumière pour…
La lumière se propage à $3{,}0 \times 10^5$ km/s. La Terre est à $1{,}5 \times 10^8$ km du Soleil et Saturne à $9{,}6$ ua.
- a) Calculer la durée mise par la lumière pour aller du Soleil à la Terre.
- b) Calculer la distance Soleil-Saturne en km.
- c) Calculer la durée mise par la lumière du Soleil à Saturne, en minutes puis en heures.
La sonde Voyager 1 est à environ 24 milliards de km du Soleil et s'éloigne à $17\ \text{km/s}$. a) Exprimer cette distance en notation scientifique, puis en ua (on donne…
La sonde Voyager 1 est à environ 24 milliards de km du Soleil et s'éloigne à $17\ \text{km/s}$.
- a) Exprimer cette distance en notation scientifique, puis en ua (on donne $1\ \text{ua} \approx 1{,}5\times10^8$ km).
- b) Calculer le temps que met un signal radio (à la vitesse de la lumière $3{,}0\times10^5$ km/s) pour atteindre la Terre, en heures (on néglige la distance Terre-Soleil).
- c) Calculer la distance supplémentaire parcourue par Voyager 1 en une année de 365 jours, en milliards de km et en ua.
Un Système solaire à l'échelle
Dessiner le Système solaire à l'échelle est impossible sur une feuille. Dans la cour d'un collège, en choisissant 1 ua = 1 m, on peut placer les planètes : Jupiter à 5,2 m du Soleil, Neptune à 30 m.
À cette échelle, 1 m représente $1{,}5 \times 10^{8}$ km. Le diamètre de la Terre ($12\,756$ km) devient :
$\dfrac{12\,756}{1{,}5 \times 10^{8}} \approx 8{,}5 \times 10^{-5}$ m $= 0{,}085$ mm.
La Terre est plus petite qu'un grain de poussière, et il y a des mètres de vide entre les planètes : le Système solaire est essentiellement vide.
On modélise le Système solaire à l'échelle 1 ua = 1 m dans la cour d'un collège de Bordeaux. Le Soleil est placé à l'origine. a) Où placer Jupiter (5,2 ua) et Neptune…
On modélise le Système solaire à l'échelle 1 ua = 1 m dans la cour d'un collège de Bordeaux. Le Soleil est placé à l'origine.
- a) Où placer Jupiter (5,2 ua) et Neptune (30 ua) ?
- b) À cette échelle, la Terre mesure environ 0,085 mm de diamètre ($12\ 756$ km). Vérifier ce résultat avec 1 m $\leftrightarrow 1{,}5 \times 10^8$ km.
- c) Commenter ce que cela montre sur la structure du Système solaire.
L'essentiel
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Écriture scientifique : $a \times 10^{n}$ avec $1 \le a < 10$ ; ex. $150\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^{8}$.
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1 ua $= 1{,}5 \times 10^{8}$ km (distance Terre-Soleil). Ua → km : on multiplie ; km → ua : on divise.
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Mouvement uniforme : $v = \dfrac{d}{t}$, avec des unités cohérentes (km, s, km/s).
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La lumière (3,0 × 10⁵ km/s) met 8 min 20 s pour aller du Soleil à la Terre.
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Vue à l'échelle, le Système solaire est surtout fait de vide.
Retour au début : Neptune est à 4 500 millions de km du Soleil, soit 30 ua : un nombre bien plus facile à manipuler.