Razones trigonométricas recíprocas
Mateo, un técnico de Cuenca, apoya una escalera contra una pared para arreglar una antena. La base de la escalera está a 4 m de la pared y él quiere saber cuánto mide la escalera según el ángulo con el que la inclina. Esa longitud resulta ser $4 \cdot \sec \alpha$. La secante, la cosecante y la cotangente son las tres "parejas" del coseno, el seno y la tangente. Son solo fracciones invertidas, pero ahorran muchos pasos al simplificar expresiones, resolver ecuaciones y trabajar con modelos de la física.
Tres razones nuevas: secante, cosecante y cotangente
Cada una de las tres razones nuevas es, por definición, el inverso multiplicativo de una de las que ya conoces. En un triángulo rectángulo, con $\alpha$ uno de los ángulos agudos:
Con ese triángulo, $\cos\alpha = \dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$, así que su inverso es $\sec\alpha = \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}$. Lo mismo pasa con las otras dos.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Valores notables de las razones recíprocas
Los valores notables de secante, cosecante y cotangente salen de invertir la tabla de seno, coseno y tangente.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Identidades pitagóricas con las recíprocas
La identidad fundamental $\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ tiene dos versiones "recíprocas". Se obtienen dividiendo toda la igualdad entre $\cos^2\alpha$ o entre $\sen^2\alpha$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
Signo y existencia según el cuadrante
La secante tiene el mismo signo que el coseno, la cosecante el mismo que el seno, y la cotangente el mismo que la tangente. Entonces la tabla de signos que ya conoces sirve para las recíprocas.
Para ángulos de otros cuadrantes se usa la reducción al primer cuadrante: se calcula con el ángulo de referencia y se le pone el signo del cuadrante.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Simplificar expresiones y demostrar identidades
Para simplificar expresiones con recíprocas conviene pasar todo a seno y coseno: suele ser el camino más corto para que se cancelen factores.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad:…
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios: $\frac{\csc \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \tan \alpha} = \frac{\sec \alpha - \tan \alpha}{\csc \alpha - \cot \alpha}$.
Ecuaciones con razones recíprocas
Para resolver una ecuación con recíprocas, primero se busca dejarla con una sola razón, usando las identidades. Después se despeja esa razón y se buscan los ángulos del intervalo pedido, teniendo en cuenta el signo y el cuadrante.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$: $$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases}…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:
$$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases} $$Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Gráficas de la secante, la cosecante y la cotangente
Las gráficas de estas razones salen de las de coseno, seno y tangente: donde la razón original vale $0$, la recíproca no existe y aparece una asíntota vertical. Puedes dibujarlas con GeoGebra o una calculadora gráfica y comprobarlo.
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$y=\sec x$: dominio $\mathbb{R}$ menos $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$; asíntotas en esos valores; recorrido $(-\infty, -1]\cup[1, +\infty)$; periodo $2\pi$.
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$y=\csc x$: dominio $\mathbb{R}$ menos $k\pi$; asíntotas en $x=k\pi$; recorrido $(-\infty, -1]\cup[1, +\infty)$; periodo $2\pi$.
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$y=\cot x$: dominio $\mathbb{R}$ menos $k\pi$; asíntotas en $x=k\pi$; recorrido $\mathbb{R}$; periodo $\pi$.
Estas funciones se estudian con amplitud, desfase y periodo en la página de funciones trigonométricas (TP-TRG).
Aplicaciones: escaleras, rayos de luz y vigas
La secante y la cosecante aparecen cuando se pregunta por una hipotenusa. Si se conoce un cateto y el ángulo:
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Si el cateto conocido es el adyacente $c$: hipotenusa $=c\cdot\sec\alpha$.
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Si el cateto conocido es el opuesto $c$: hipotenusa $=c\cdot\csc\alpha$.
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el…
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \cdot \sec \theta_r$, donde $h = 5$ cm es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \cdot \sin \theta_r$).
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la…
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcula el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.
Vuelve al principio: la escalera de Mateo mide $L=4\cdot\sec\alpha$. Con $\alpha=60^\circ$ llega a 8 m, y cuanto más se inclina hacia la vertical, más larga tiene que ser.