Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad
Valentina diseña en la computadora el plano de una plaza en Cuenca: dos diagonales se cruzan en el centro y quiere saber qué ángulo forman, sin usar transportador. ¿Se puede calcular ese ángulo solo con las ecuaciones de las rectas? Sí: alcanza con las pendientes o con los vectores directores. Al final de la página volvemos a esta pregunta.
El ángulo entre dos rectas
El porqué de la primera fórmula: cada recta forma con el eje $x$ un ángulo $\theta_1$ y $\theta_2$ tales que $m_1=\tan\theta_1$ y $m_2=\tan\theta_2$. El ángulo entre las rectas es la diferencia $\theta_1-\theta_2$, y la tangente de una diferencia es $\dfrac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}$.
Caso particular: el ángulo que forma una recta con la dirección positiva del eje de abscisas es su ángulo de inclinación $\theta$, con $\tan\theta = m$. Por ejemplo, si $m=\sqrt{2}$ entonces $\tan\theta=\sqrt{2}$ y $\theta\approx 54{,}7^\circ$.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Rectas paralelas
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Rectas perpendiculares
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí: $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$ $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$ $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí:
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$r_1: 2x - 3y + 1 = 0$
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$r_2: 6x + 4y - 5 = 0$
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$r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Rectas con un parámetro
Cuando una recta depende de un parámetro, el paralelismo o la perpendicularidad dan una ecuación para ese parámetro. Si se fija un ángulo, se aplica la fórmula de la tangente.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o…
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
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Determina $a$ para que los raíles sean paralelos.
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Halla la ecuación de un tercer raíl transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al raíl $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.
Aplicaciones: alturas y estructuras
La perpendicularidad aparece cada vez que algo tiene que «caer en ángulo recto»: la altura de un triángulo, una viga que refuerza una estructura.
Si la recta debe pasar por el punto de corte de otras dos, primero resuelves el sistema de esas dos ecuaciones. Por ejemplo, $x - y = 0$ y $x + y - 4 = 0$ se cortan en $(2, 2)$: sumas las ecuaciones, $2x = 4$, y luego $y = x$.
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por…
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una…
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta…
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.
Reflexión en un espejo plano
Un rayo de luz que llega a un espejo plano rebota de modo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. En el plano cartesiano, esto significa que la recta del rayo reflejado es la simétrica de la recta del rayo incidente respecto de la recta del espejo. Para hallarla:
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Se busca el punto $O$ donde el rayo incide sobre el espejo (el corte de las dos rectas).
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Se toma otro punto $P$ del rayo incidente y se halla su simétrico $P'$ respecto del espejo: se traza la perpendicular al espejo por $P$, se halla el pie $M$ (corte con el espejo) y $P' = 2M - P$.
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El rayo reflejado es la recta que pasa por $O$ y $P'$.
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre…
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo y la normal al espejo) y determina la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.
Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.
Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.
Determina la ecuación general de la recta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ con respecto a la recta $s: x + y - 1 = 0$.
Determina la ecuación general de la recta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ con respecto a la recta $s: x + y - 1 = 0$.
Problemas más desafiantes
Con lo anterior se resuelven problemas de varios pasos: bisectrices, rombos, cuadrados, simetrías, familias de rectas.
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus…
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus vectores directores o sus pendientes, que ambas bisectrices son perpendiculares entre sí.
Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero…
Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero su centro y las direcciones de sus diagonales.
Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de…
Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de incidencia de los rayos sobre el panel. Si se debe reorientar el panel pivotando sobre su punto de corte con el eje $OY$ para que los rayos incidan totalmente perpendiculares a su superficie, ¿cuál será la nueva ecuación general de la recta que define el panel?
Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que…
Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliza este resultado para encontrar las ecuaciones generales de las rectas que pasan por $P(1,1)$ y forman un ángulo $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ con la recta $2x - y + 3 = 0$.
Vuelve al principio: las diagonales de la plaza de Valentina forman el ángulo que sale de $\tan\alpha = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$, sin transportador.