Rectas y puntos notables de un triángulo
Camila, Mateo y Santiago viven en tres esquinas de una plaza triangular de Cuenca. Quieren juntarse en un punto de la plaza al que los tres lleguen caminando la misma distancia. ¿Existe ese punto? ¿Cómo se calcula con coordenadas? Todo el apartado gira alrededor de preguntas así: cada triángulo tiene cuatro puntos especiales y los vas a calcular con las rectas que ya conoces.
Herramientas que vamos a usar
Todo lo que sigue se reduce a cuatro herramientas de rectas.
La ecuación cartesiana de una recta tiene varias formas. La continua, para una recta que pasa por $P(x_0, y_0)$ con vector dirección $(v_1, v_2)$, es $\dfrac{x-x_0}{v_1} = \dfrac{y-y_0}{v_2}$. Si ya tienes la pendiente, $(v_1, v_2) = (1, m)$ sirve. La punto-pendiente es $y - y_0 = m(x-x_0)$. La explícita es $y = mx + b$, con $b$ la ordenada en el origen.
Medianas y baricentro
La fórmula sale de promediar las coordenadas, como un centro de masas de tres puntos iguales. Por eso el baricentro siempre queda dentro del triángulo.
Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.
Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.
Halla la ecuación explícita de la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ y $C(2, 6)$.
Halla la ecuación explícita de la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ y $C(2, 6)$.
Comprueba analíticamente si el punto $P(1, 2)$ es el baricentro del triángulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ y $C(5, 1)$.
Comprueba analíticamente si el punto $P(1, 2)$ es el baricentro del triángulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ y $C(5, 1)$.
Alturas y ortocentro
Determina la ecuación general de la altura trazada desde el vértice $B$ en el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, -5)$.
Determina la ecuación general de la altura trazada desde el vértice $B$ en el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, -5)$.
Halla las coordenadas del ortocentro del triángulo rectángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(0, 4)$.
Halla las coordenadas del ortocentro del triángulo rectángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(0, 4)$.
Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.
Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.
Mediatrices y circuncentro
Con coordenadas, hay dos caminos: cortar dos mediatrices, o plantear $d(O, A) = d(O, B) = d(O, C)$ con $O(x, y)$ y resolver.
Vuelve al principio: el punto de la plaza que está a igual distancia de las tres esquinas es el circuncentro del triángulo que forman. Si Camila, Mateo y Santiago están en $A$, $B$ y $C$, se juntan en $O$.
Calcula la ecuación general de la mediatriz del lado $AB$ de un triángulo sabiendo que sus vértices correspondientes son $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.
Calcula la ecuación general de la mediatriz del lado $AB$ de un triángulo sabiendo que sus vértices correspondientes son $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.
Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ y $C(0, 6)$.
Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ y $C(0, 6)$.
Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar…
Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar un aspersor que equidiste de los tres árboles. Calcula las coordenadas del punto donde debe colocarse (circuncentro) y el radio de alcance del agua necesario para regarlos.
Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo…
Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo estacionario en el circuncentro del triángulo formado por los refugios. Calcula las coordenadas del helicóptero y el radio de la circunferencia que abarca a los tres refugios.
Bisectrices e incentro
Dos rectas que se cortan determinan dos bisectrices (perpendiculares entre sí). Para hallarlas se iguala la distancia de un punto $P(x, y)$ a cada recta, con la fórmula de las herramientas:
$$\frac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}} = \frac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$$El valor absoluto se resuelve con los dos signos, $\pm$, y cada signo da una bisectriz.
Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y…
Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y $4x+3y-5=0$.
Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda…
Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda tangente a las tres vías, y el radio de dicha rotonda.
La recta de Euler
Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para…
Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para colocar un transmisor central, y determina la distancia exacta desde dicho transmisor hasta la antena $C$.
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de…
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de la recta de Euler que pasa por ambos puntos.
Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra…
Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra analíticamente que la distancia entre el ortocentro y el baricentro es el doble de la distancia entre el baricentro y el circuncentro ($HG = 2GO$).
Hallar un vértice con baricentro, ortocentro o alturas
A veces el dato es un punto notable y la incógnita es un vértice. La idea es siempre la misma: traducir cada dato a una ecuación.
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Dado $G$ y dos vértices: de $x_G = \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}$ se despeja $x_3 = 3x_G - x_1 - x_2$, y lo mismo con $y$.
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Dado $H$ y dos vértices: el lado que sale del tercer vértice $C$ es perpendicular a la altura que pasa por el otro vértice. Se plantean dos rectas por $C$ y se las corta.
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Dadas dos alturas y un vértice: cada lado es perpendicular a una altura. Se trazan los lados que salen del vértice conocido y se cortan con las alturas.
En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación…
En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación continua de la mediana que parte de dicho vértice.
El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.
El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.
En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones…
En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones $x-y+1=0$ y $2x+y-4=0$ respectivamente. Determina las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Hallar vértices con medianas, mediatrices y circuncentro
Acá los datos son rectas completas. Algunas ideas útiles:
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Si $A$ no está en una mediana dada, esa mediana sale de $B$ o de $C$. Dos medianas se cortan en el baricentro $G$, y el punto medio $M$ de $BC$ cumple $M = \dfrac{3G - A}{2}$. Con $B$ en una mediana y $C$ en la otra, las coordenadas de $M$ dan un sistema.
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Una mediatriz de $AB$ actúa como espejo: $B$ es el simétrico de $A$ respecto de esa recta. El punto medio de $AB$ está sobre la mediatriz y $AB$ es perpendicular a ella.
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Con $O$ y $G$ se halla $H = 3G - 2O$. Además, los vértices están a distancia $R = d(O, A)$ de $O$.
De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las…
Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es…
Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es $G(4, 2)$.
Triángulos particulares y lugares geométricos
En un triángulo isósceles (lado desigual $AB$), el vértice $C$ está sobre la mediatriz de $AB$, y la mediana, la altura y la bisectriz desde $C$ son la misma recta. El circuncentro y el baricentro también están sobre ella. En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
Cuando un vértice depende de un parámetro $t$, el baricentro también. Para hallar el lugar geométrico que recorre se escriben $x$ e $y$ en función de $t$ y se elimina $t$.
Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado…
Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado desigual es $AB$, halla las coordenadas del vértice $C$ y de su circuncentro.
Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con…
Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con el origen de coordenadas y su circuncentro es exactamente el punto medio de la hipotenusa.
Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra…
Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo al variar $t$.