Reglas de derivación

Calcula la función derivada de las siguientes funciones polinómicas básicas utilizando la regla de la potencia y la suma:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 2$

1. b) $g(x) = \frac{x^4}{2} - 3x^2 + 10$

1. c) $h(x) = -x^5 + \frac{2x^3}{3} + x$

Para derivar funciones con raíces, primero debemos transformarlas en potencias. Expresa las siguientes funciones como potencias de $x$ y calcula después su derivada:

1. a) $f(x) = 4\sqrt{x}$

1. b) $g(x) = \sqrt[3]{x^2}$

1. c) $h(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Una tienda de ropa en línea ha comprobado que sus ganancias diarias en dólares siguen la función $B(t) = -t^2 + 20t + 150$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura del servidor. Calcula la función $B'(t)$, que representa el ritmo al que varían las ganancias, y halla su valor cuando han pasado 4 horas ($t = 4$).

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el punto de abscisa $x = 1$. En la figura se ve la gráfica de $f$ (azul) y la recta tangente (naranja) en el punto $P$ de abscisa $x = 1$. ¿La función es creciente o decreciente en ese punto? Justifica tu respuesta basándote en el signo de la derivada.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ en el punto de abscisa $x = 4$. Para ello, obtén primero la pendiente mediante la derivada y luego utiliza la forma punto-pendiente.

La figura muestra la parábola y el punto de su gráfica cuya abscisa es $x = 4$.

Determina los puntos de la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 - 7x + 10$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 2x - 5$.

Ayuda: Recuerda que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

Halla los puntos de la gráfica de la función $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x - 3$. Expresa las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

Aplica la regla del producto para hallar la derivada de las siguientes funciones (no multipliques los paréntesis antes de derivar):

1. a) $f(x) = (x^2 + 3) \cdot (5x - 1)$

1. b) $g(x) = (x + 2) \cdot (x^3 - 4x)$

Calcula la derivada de estas funciones racionales utilizando la regla del cociente:

1. a) $f(x) = \frac{3x - 5}{x + 2}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2}{2x + 1}$

1. c) $h(x) = \frac{10}{x^2 + 4}$

Calcula la función derivada de la siguiente función racional utilizando las reglas del cociente y de la potencia:

$f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{2x + 4}$

Simplifica el numerador de la expresión resultante tanto como sea posible.

Un estudio sociológico indica que el número de usuarios de una nueva red social (en millones) viene dado por la función $U(t) = \frac{40t}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Aplica la regla del cociente para hallar la función derivada $U'(t)$ y determina en qué mes el crecimiento de usuarios se detiene para empezar a decrecer. ¿Cuál es la velocidad de pérdida de usuarios al cabo de un año ($t=12$)?

Aplica la regla de la cadena para calcular la función derivada de estas funciones compuestas:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = (1 - x)^5$

Dada la función $g(x) = (x^2 - k)^3$, determina el valor o valores del parámetro real $k$ sabiendo que la segunda derivada de la función en el punto $x=1$ es igual a $0$, es decir, $g''(1) = 0$. Ten especial cuidado al aplicar la regla de la cadena de forma sucesiva.

Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ en el punto donde dicha curva corta a la recta $y = 3$ (considera solo la solución en el primer cuadrante). Una vez hallada la recta, determina el área del triángulo que forma esta recta tangente con los ejes de coordenadas.

El número de visualizaciones de un video viral (en miles) viene dado por la función $V(t) = 2 \cdot e^{0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en días. Sabiendo que la derivada de $e^{u}$ es $u' \cdot e^u$, calcula la velocidad de crecimiento de las visualizaciones el segundo día ($t = 2$).

Aplica la regla de la cadena para calcular la derivada de la siguiente función compuesta, que combina un logaritmo neperiano con un polinomio:

$f(x) = \ln(x^3 - 4x^2 + 8)$

Indica el dominio de la función derivada resultante.

Dada la función $f(x) = ax^2 + bx + 3$, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la derivada de la función en $x = 1$ vale $7$ ($f'(1) = 7$) y que la derivada en $x = 0$ vale $-2$ ($f'(0) = -2$).

Se sabe que la función de beneficios de una empresa tecnológica sigue la expresión $B(x) = ax^2 + \frac{b}{x}$, donde $x$ es la inversión en publicidad en miles de dólares. Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que cuando la inversión es de $1$ mil dólares ($x=1$), el beneficio es de $5$ mil dólares y, además, en ese mismo punto, la tasa de variación instantánea del beneficio es de $1$ mil dólares por cada mil dólares invertidos.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en todo su dominio. Para ello, recuerda que la derivabilidad implica necesariamente la continuidad en el punto de salto.

Calcula la derivada de la siguiente función que contiene una raíz cuadrada, simplificando el resultado final:

$f(x) = \sqrt{x^2 + e^x}$

Utiliza la regla de la cadena para funciones del tipo $\sqrt{u}$.

Obtén la función derivada de la siguiente función utilizando la regla del producto y la derivada de la función exponencial:

$f(x) = (x^2 + 3x - 1) \cdot e^{2x}$

Factoriza la expresión de $f'(x)$ sacando factor común el término exponencial.

Calcula la derivada de la siguiente función compuesta, simplificando el resultado final tanto como sea posible:

$f(x) = \ln \left( \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \right)$

Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar para facilitar el cálculo y utiliza la regla de la cadena para las funciones exponenciales.

Una empresa de telefonía ha determinado que sus beneficios mensuales (en miles de dólares) siguen la función $B(x) = -x^2 + 48x - 150$, donde $x$ es el número de cientos de nuevos clientes captados. En la figura se ve la gráfica de $B$ y el punto correspondiente a $x = 20$.

Calcula la tasa de variación instantánea del beneficio (beneficio marginal) cuando han captado $2000$ clientes (es decir, para $x = 20$). Interpreta si el beneficio está aumentando o disminuyendo en ese momento.

Una empresa de mensajería ha comprobado que el costo diario de combustible de su flota (en dólares) depende de la velocidad media $v$ (en km/h) según la función $C(v) = 0,5v + \frac{2000}{v}$. Utilizando las reglas de derivación, calcula la tasa de variación del costo cuando la velocidad aumenta de $80$ km/h a $81$ km/h de forma aproximada mediante la derivada. ¿A qué velocidad el costo deja de disminuir y empieza a aumentar?