Distancias en el plano
Un dron que sobrevuela el río Guayas junto al Malecón 2000, el láser que corta una plancha metálica o el radar de un aeropuerto miden siempre lo mismo: a qué distancia está un punto de otro punto, o de una trayectoria recta. En el plano cartesiano las dos preguntas tienen fórmula, y las dos salen del teorema de Pitágoras.
Distancia entre dos puntos
Si dos puntos no están alineados horizontal ni verticalmente, el segmento que los une es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la diferencia de abscisas y la diferencia de ordenadas.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.
Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.
Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.
Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.
Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.
Con el punto medio
Muchas veces hay que hallar primero un punto (por ejemplo, el punto medio $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$) y después medir una distancia con él.
Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.
Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.
Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en metros. Calcula el perímetro exacto…
Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en metros. Calcula el perímetro exacto del panel.
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la menor de todas las distancias del punto a los puntos de la recta, y se mide sobre el segmento perpendicular.
¿Por qué esta fórmula? El numerador mide cuánto le falta (o le sobra) al punto para cumplir la ecuación de la recta; dividir por $\sqrt{A^2+B^2}$, la norma del vector normal $(A, B)$, convierte ese valor en una longitud real. El valor absoluto hace que la distancia nunca sea negativa.
Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.
Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.
Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.
Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.
Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.
Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.
Distancia mínima y puntos a distancia dada
La fórmula sirve para hallar la distancia mínima de un objeto que se desplaza en línea recta a un punto fijo, y también al revés: si la distancia está dada, aparece una ecuación con valor absoluto que da dos soluciones (una a cada lado de la recta).
Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las…
Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las coordenadas $S(2, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cometa del satélite.
Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de…
Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de emergencia. Determina en qué punto exacto de su trayectoria el vehículo estará a la mínima distancia de la base y calcula dicha distancia.
En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor…
En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor sobre la tubería que diste exactamente $5$ unidades del centro de la plaza. Halla las coordenadas de las dos posibles ubicaciones del aspersor.
Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.
Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.
Puntos de una recta a distancia dada de un punto
Si el punto buscado está sobre una recta, escribe sus coordenadas con un solo dato (por ejemplo $(t, 2t+1)$ si la recta es $y=2x+1$) e impón la distancia con la fórmula de dos puntos.
Distancia entre rectas paralelas
Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.
Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.
Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma…
Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma dirección. Calcula la distancia mínima que separa ambas trayectorias.
Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos…
Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos cortes paralelos de seguridad a una distancia exacta de $10$ mm a cada lado del corte principal. Halla las ecuaciones generales de las rectas de los cortes de seguridad.
Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.
Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.
Rectas paralelas a una dada, a distancia fija
Las rectas paralelas a $r: Ax+By+C=0$ son $Ax+By+C'=0$. Si deben distar $d$ de $r$, se impone $\dfrac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=d$ y salen dos soluciones, una a cada lado.
Áreas de triángulos con base y altura
La distancia de un punto a una recta permite calcular el área de un triángulo: la base es la longitud de un lado y la altura es la distancia del vértice opuesto a la recta que contiene ese lado.
Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en…
Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en kilómetros. Calcula el área exacta del terreno evaluando primero la longitud de la base $AB$ y luego la altura correspondiente desde el vértice $C$.
Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo…
Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo es de $12$ u$^2$. Calcula la longitud exacta de la base y de los dos lados iguales.
Punto simétrico respecto a una recta y diagonales del rombo
En un rombo las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Por eso, si conoces un vértice $A$ y la recta que contiene la otra diagonal, el vértice opuesto es el simétrico de $A$ respecto a esa recta. Para hallarlo: trazas por $A$ la perpendicular a la recta, buscas el pie $H$ (intersección) y $H$ es el punto medio entre $A$ y su simétrico $A'$.
Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 9 = 0$. Si el área del rombo es de…
Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 9 = 0$. Si el área del rombo es de $20$ u$^2$, halla las coordenadas de los tres vértices restantes.
Puntos equidistantes y lugares geométricos
Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma…
Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma distancia del pueblo $P(-2, 3)$ y del pueblo $Q(4, 1)$. ¿En qué coordenadas exactas debe situarse la antena?
Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril bici que equidiste de ambas…
Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril bici que equidiste de ambas avenidas en todo momento. Halla las ecuaciones de las dos posibles trayectorias del carril bici (las bisectrices) y demuestra analíticamente que son perpendiculares.
Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$,…
Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$, y su distancia al origen de coordenadas es exactamente $5$ unidades.
Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta…
Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta $d: x - y - 1 = 0$.
Distancias en razón dada
Si la condición es $d(P,r)=k\cdot d(P,Q)$, escribe ambas distancias con $P(x, y)$, eleva al cuadrado para quitar el valor absoluto y la raíz, y simplifica: sale una cónica.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto…
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto fijo $Q(0, 2)$. Simplifica la ecuación resultante.
Vuelve al principio: el dron, el láser y el radar usan estas mismas dos fórmulas, la de dos puntos y la de punto a recta.