Punto medio de un segmento
Mateo vive en la esquina que tomamos como origen del plano y Camila, a 8 cuadras hacia el este y 6 hacia el norte, en el Centro Histórico de Quito. Quieren encontrarse justo a mitad de camino para tomar un helado de paila. ¿En qué esquina tienen que quedar? Eso es un punto medio, y vas a ver que aparece escondido en muchos problemas de geometría analítica: centros, diagonales, simetrías.
La fórmula del punto medio
¿Por qué funciona? Para ir de $A$ a $M$ se recorre la mitad del camino en horizontal y la mitad en vertical. Quedar a mitad de camino entre dos números es tomar su promedio, y eso se hace en cada coordenada por separado.
Con Mateo y Camila: $\left(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{0+6}{2}\right)=(4, 3)$. Se encuentran 4 cuadras al este y 3 al norte. Así se cierra la pregunta del principio.
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.
El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.
El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.
El punto medio en figuras geométricas
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.
Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.
Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.
Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.
Diagonales de un paralelogramo
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su…
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$.
Los puntos medios de un cuadrilátero
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo…
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo de Varignon) y calcula su área.
El triángulo, la mediana y el baricentro
Aquí $M$ es el punto medio del lado $AB$.
Reconstruir un triángulo desde los puntos medios de sus lados
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres…
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres vértices del triángulo $A, B$ y $C$.
Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.
Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la…
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la propiedad del baricentro respecto a los puntos medios de los lados.
Puntos medios con parámetros y lugares geométricos
Si las coordenadas de un extremo dependen de un parámetro, el punto medio también, y puedes imponerle una condición.
Otro tipo de problema: ¿qué recorre el punto medio cuando un extremo se mueve sobre una recta? Es un lugar geométrico.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
El punto simétrico respecto de una recta
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto…
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto medio del segmento $ST$ coincide con el punto de impacto en el espejo.
Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.
Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.