Características de las funciones
Mateo patea un tiro libre en la cancha de su colegio en Cuenca y la altura de la pelota (en metros) a los $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 10t$. ¿Durante cuánto tiempo está en el aire? ¿En qué momento llega a lo más alto y cuánto vale esa altura máxima? Para responder hay que hacer un análisis completo de la función: dónde está definida, dónde corta a los ejes, dónde es positiva o negativa, qué valores toma, si es simétrica y dónde crece o decrece. Vamos una pregunta a la vez.
Dominio: qué valores de x se pueden usar
Hay tres operaciones que "se rompen" y que conviene tener presentes:
| Si aparece… | Condición |
|---|---|
| una fracción $\dfrac{\ldots}{g(x)}$ | $g(x) \neq 0$ |
| una raíz de índice par $\sqrt{g(x)}$ | $g(x) \ge 0$ |
| un logaritmo $\log_a g(x)$ o $\ln g(x)$ | $g(x) > 0$ |
¿Por qué? No se puede dividir por cero, no existe (en $\mathbb{R}$) la raíz cuadrada de un número negativo y no hay ningún exponente que dé un número negativo o cero con base positiva.
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Dominio con varias condiciones a la vez
Cuando una función mezcla fracción, raíz y logaritmo, cada ingrediente pone su condición y el dominio es la intersección de todas: tienen que cumplirse al mismo tiempo. Si una sola operación falla, toda la cuenta falla.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Puntos de corte con los ejes
¿Por qué? Un punto está sobre el eje $y$ cuando su $x$ vale $0$, y sobre el eje $x$ cuando su $y$ vale $0$.
En una función racional, los ceros son los del numerador (siempre que no anulen también el denominador). Por ejemplo, $g(x) = \dfrac{x^2-4}{x-1}$ tiene ceros en $x = \pm 2$ y ordenada al origen $g(0) = \dfrac{-4}{-1} = 4$.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Estudio del signo
Método. Se marcan en la recta los ceros y los puntos que no están en el dominio. Esos valores parten la recta en intervalos y, dentro de cada uno, el signo no cambia. Se evalúa $f$ en un valor de prueba de cada intervalo.
Funciones a trozos. Se estudia cada rama en su propio intervalo.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$ Halla sus puntos de corte con los ejes y…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$
Halla sus puntos de corte con los ejes y estudia su signo en todo su dominio.
Imagen (recorrido)
En $r(x) = x^2 + 4$, cualquier $x$ sirve ($\text{Dom} r = \mathbb{R}$), pero como $x^2 \ge 0$, siempre $y \ge 4$: $\text{Im} r = [4;\,+\infty)$.
Imagen de una función racional. Una forma algebraica de hallarla: se despeja $x$ en función de $y$ (es decir, se calcula la función inversa). Los valores de $y$ para los cuales ese despeje es posible forman la imagen.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Simetría: funciones pares e impares
Método: calcular $f(-x)$ y simplificar. Compararlo con $f(x)$ y con $-f(x)$.
Con logaritmos se usa que $\ln\dfrac{1}{A} = -\ln A$.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Crecimiento, extremos y la parábola
Los extremos relativos (máximos y mínimos) se llaman simplemente extremos. Al leer un gráfico, se recorre de izquierda a derecha: si sube, crece; si baja, decrece. Los intervalos se escriben sobre el eje $x$ y el extremo se da como punto $(x;\, y)$.
Parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$. Su vértice está en $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ y su altura es $y_v = f(x_v)$. Si $a > 0$ es un mínimo (abre hacia arriba); si $a < 0$, un máximo (abre hacia abajo). Por qué: el vértice está en el punto medio entre los dos ceros, y por eso en el eje de simetría.
Hallar la ecuación de una parábola. Con el vértice $V(x_v;\,y_v)$ se usa la forma canónica $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$ y con otro punto se obtiene $a$.
Dominio en el contexto. Si la función modela una situación, hay que restringir el dominio a lo que tiene sentido: longitudes positivas, tiempos desde cero, etc. Por ejemplo, para el área $A(x) = x(100-2x)$ de un huerto con $x$ en metros, se necesita $x > 0$ y $100 - 2x > 0$, o sea $x \in (0;\,50)$; el vértice está en $x = 25$.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina…
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es…
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determina el dominio de la función en el contexto del problema y calcula las dimensiones que maximizan el área.
Funciones periódicas
Para calcular $f(a)$ con $a$ grande: se resta el período las veces necesarias hasta caer dentro de un ciclo conocido. Por ejemplo, si $T = 6$ y $f(2) = 3$, entonces $f(20) = f(20 - 18) = f(2) = 3$, porque $20 = 2 + 3 \cdot 6$.
Modelos con funciones trigonométricas. La altura de una cabina de noria sigue una función de la forma $h(t) = c - A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\,t\right)$, donde $c$ es la altura del centro, $A$ el radio y $T$ el tiempo de una vuelta. Con el signo menos, en $t = 0$ la cabina está en el punto más bajo.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa.…
Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa. Una cabina se encuentra en su punto más bajo en el instante $t = 0\text{ min}$. Sabiendo que la altura $h(t)$ en metros de la cabina en función del tiempo $t$ en minutos se modela con una función trigonométrica, determina su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.
Análisis completo y problemas con parámetros
Para hacer el análisis completo de un gráfico se responden, en orden:
-
Dominio e imagen (proyectar sobre cada eje).
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Cortes con los ejes y signo ($C^+$, $C^-$).
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Simetría (¿se refleja sobre el eje $y$ o sobre el origen?).
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Asíntotas: una recta vertical $x = a$ donde la función "se escapa" hacia $\pm\infty$ (suele ser un valor excluido del dominio por un denominador nulo); una recta horizontal $y = b$ a la que se acerca cuando $x$ se hace muy grande o muy chico.
-
Crecimiento y extremos relativos.
Parámetros. Cuando un enunciado da datos sobre el dominio o los ceros, se traducen en ecuaciones. Si $f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x - b}$ debe tener dominio $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ y cortar al eje $x$ en $x = \pm 5$: el denominador se anula en $3$, así que $b = 3$; y como $x = 5$ es cero, $25 + a = 0$, o sea $a = -25$ (se verifica que $-5$ también anula el numerador y que el numerador no se anula en $3$).
Crecimiento demostrado algebraicamente. Para $f(x) = 2 + \dfrac{6}{x}$ con $x > 0$: tomamos $0 < x_1 < x_2$. Entonces $\dfrac{1}{x_1} > \dfrac{1}{x_2}$, y multiplicando por $6$ y sumando $2$ queda $f(x1) > f(x2)$. Como al aumentar $x$ disminuye $f$, la función es decreciente en $(0;+\infty)$. Este razonamiento sirve para costos medios del tipo $Cm(x) = \dfrac{ax + b}{x}= a + \dfrac{b}{x}$, con dominio $x > 0$ en el contexto de una producción en dólares.
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas…
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas en $x = 1$.
El costo medio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$…
El costo medio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determina el dominio en el contexto del problema, estudia su signo y demuestra analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e…
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.