Trabajo y balances energéticos en el campo gravitatorio

Una sonda se aleja de la Tierra en dirección radial.

1. a) Dibuja en tu cuaderno la fuerza gravitatoria sobre la sonda y su desplazamiento, y razona qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el alejamiento.
2. b) Escribe la relación entre ese trabajo y la variación de energía potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, y explica su significado.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una carga útil de $m = 1000\ \text{kg}$ pasa de la superficie terrestre ($r_1 = R_T$) a una posición a $r_2 = 2\times R_T$ del centro de la Tierra. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$. Observa el esquema:

1. a) Calcula la energía potencial del conjunto en cada posición, $E_p = -\frac{G\times M\times m}{r}$.
2. b) Calcula la variación de energía potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, y razona su signo.

Un fragmento de basura espacial desciende lentamente de una órbita de radio $r_1 = 7.17\times10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 6.87\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Razona, sin hacer cálculos, qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el descenso.
2. b) Indica si su energía potencial aumenta o disminuye y justifícalo con la expresión $E_p = -\frac{G\times M\times m}{r}$.

Un satélite describe una órbita circular estable alrededor de la Tierra. Observa el esquema:

1. a) Teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es perpendicular a la velocidad en cada punto de la órbita, ¿cuánto vale el trabajo realizado por el campo gravitatorio en una vuelta completa?
2. b) ¿Cambian la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica del satélite a lo largo de esa órbita? Justifícalo.

La energía que hay que comunicar a una masa $m$ en reposo en la superficie terrestre para situarla en una órbita circular de radio $r$ es $E = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\times r}\right)$. Un pequeño satélite de $m = 200\ \text{kg}$ se quiere situar en una órbita de $500\ \text{km}$ de altura ($r = 6.87\times10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula esa energía y exprésala en notación científica.
2. b) Indica en qué dos «partidas» energéticas se invierte esa energía.

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\times10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética orbital de $E_c = 4\times10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la energía total que debe suministrar el lanzador.
2. b) Explica por qué poner un satélite en órbita no consiste solo en «subirlo» hasta esa altura.

Un satélite meteorológico de $m = 1500\ \text{kg}$ se quiere situar en órbita geoestacionaria, de radio $r = 4.22\times10^{7}\ \text{m}$, partiendo del reposo en la superficie terrestre. La energía necesaria es $E = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\times r}\right)$. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula esa energía.
2. b) Calcula qué fracción de esa energía corresponde a «subir» (variación de $E_p$) y cuál a «orbitar» (energía cinética orbital), y comenta el resultado.

Un satélite de una constelación de internet, de $m = 300\ \text{kg}$, debe subir de su órbita de estacionamiento, a $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6.87\times10^{6}\ \text{m}$), a su órbita operativa, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7.17\times10^{6}\ \text{m}$). El trabajo necesario para pasar de una órbita circular a otra es $W = \frac{G\times M\times m}{2}\times\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el trabajo que deben aportar los propulsores del satélite.
2. b) Razona el signo positivo del resultado: ¿de dónde sale esa energía y adónde va a parar?

Los propulsores de un satélite de $m = 500\ \text{kg}$ lo elevan de una órbita circular de $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6.87\times10^{6}\ \text{m}$) a otra de $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7.17\times10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el trabajo aportado por los propulsores, $W = \frac{G\times M\times m}{2}\times\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula la velocidad orbital en cada órbita, $v = \sqrt{\frac{G\times M}{r}}$, y comprueba que disminuye.
3. c) Explica la aparente paradoja: los motores aportan energía al satélite y, sin embargo, este acaba moviéndose más despacio. Apoya la explicación en los balances de $E_c$, $E_p$ y $E_m$.

Al final de su vida útil, los satélites geoestacionarios se elevan unos $300\ \text{km}$ a la llamada «órbita cementerio» para no interferir con los operativos. Considera un satélite de $m = 2000\ \text{kg}$ que pasa de la órbita geoestacionaria ($r_1 = 4.22\times10^{7}\ \text{m}$) a la cementerio ($r_2 = 4.25\times10^{7}\ \text{m}$). Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el trabajo necesario para ese último empujón, $W = \frac{G\times M\times m}{2}\times\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula la energía que costó en su día ponerlo en órbita geoestacionaria desde la superficie, $E = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\times r_1}\right)$, con $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calcula la energía que costaría «bajarlo» desde la órbita geoestacionaria hasta una órbita de $300\ \text{km}$ de altura ($r_3 = 6.67\times10^{6}\ \text{m}$) para que reentrara, y razona, comparando los tres resultados, por qué se elige la órbita cementerio.

Un satélite de $m = 300\ \text{kg}$ decae por rozamiento con la alta atmósfera desde una órbita circular de $800\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 7.17\times10^{6}\ \text{m}$) hasta otra de $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6.87\times10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el trabajo realizado por el campo gravitatorio en el descenso, $W_{campo} = G\times M\times m\times\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calcula la variación de energía mecánica del satélite entre ambas órbitas circulares, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ con $E_m = -\frac{G\times M\times m}{2\times r}$.
3. c) Explica por qué los dos resultados no coinciden y qué ha pasado con la diferencia.

Un satélite de $m = 500\ \text{kg}$ pierde altura por el rozamiento con la alta atmósfera y pasa de una órbita circular de $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6.72\times10^{6}\ \text{m}$) a otra de $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6.62\times10^{6}\ \text{m}$). Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la variación de energía cinética entre ambas órbitas, $\Delta E_c$, con $E_c = \frac{G\times M\times m}{2\times r}$.
2. b) Calcula la variación de energía potencial, $\Delta E_p$.
3. c) Calcula la variación de energía mecánica, $\Delta E_m$, y explica qué ha pasado con esa energía.
4. d) Calcula la velocidad orbital en cada órbita y explica la «paradoja del satélite»: al frenar por rozamiento, el satélite acaba moviéndose más rápido.

Un meteorito de $m = 2\times10^{3}\ \text{kg}$ cae hacia la Tierra desde muy lejos, partiendo prácticamente del reposo. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservación de la energía para calcular la energía cinética con la que llegaría a la superficie si no hubiera atmósfera.
2. b) Calcula la velocidad correspondiente.
3. c) Un turismo de $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33.3\ \text{m/s}$) tiene una energía cinética de unos $6.7\times10^{5}\ \text{J}$: calcula cuántas veces mayor es la energía del meteorito.

En 2013 un meteorito de unos $20\ \text{m}$ de diámetro explotó sobre Cheliábinsk (Rusia). Considera un cuerpo de $m = 10^{7}\ \text{kg}$ que se aproxima a la Tierra con velocidad, cuando aún está lejos, de $v_\infty = 1.5\times10^{4}\ \text{m/s}$. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservación de la energía mecánica para calcular la velocidad con la que llega a la superficie terrestre.
2. b) Calcula su energía cinética en ese momento.
3. c) Un kilotón de TNT equivale a $4.18\times10^{12}\ \text{J}$: expresa la energía del meteorito en kilotones y comenta el resultado.
4. d) Explica por qué la atmósfera terrestre actúa como escudo protector pero solo de forma parcial frente a cuerpos de este tamaño.

Para alturas pequeñas frente al radio terrestre se suele aproximar la variación de energía potencial por $\Delta E_p \approx m\times g_0\times h$, con $g_0 = 9.8\ \text{m/s}^2$. Considera una carga de $m = 1000\ \text{kg}$ elevada $h = 100\ \text{km} = 10^{5}\ \text{m}$ sobre la superficie. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$. La figura compara ambas expresiones:

1. a) Calcula la variación exacta de energía potencial, $\Delta E_p = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)$.
2. b) Calcula el valor aproximado $m\times g_0\times h$.
3. c) Determina el error relativo de la aproximación, en tanto por ciento.
4. d) Repite la comparación para $h = R_T$ (una altura igual al radio terrestre) y concluye en qué rango de alturas la aproximación $m\times g_0\times h$ es aceptable.

Se quiere comparar la energía necesaria para dos misiones distintas con una carga de $m = 1000\ \text{kg}$ que parte del reposo en la superficie terrestre. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mínima para que la carga escape de la atracción terrestre, $E_{esc} = \frac{G\times M_T\times m}{R_T}$.
2. b) Calcula la energía para situarla en una órbita circular rasante ($r \approx R_T$), $E_{orb} = \frac{G\times M_T\times m}{2\times R_T}$.
3. c) Razona a partir de los resultados por qué «escapar de la Tierra» cuesta justo el doble que «ponerse en órbita baja», y qué consecuencia práctica tiene esto para las misiones interplanetarias.

Una misión lleva una carga de $m = 1000\ \text{kg}$ desde el reposo en la superficie terrestre hasta hacerla escapar de la Tierra, en dos etapas: primero se sitúa en una órbita circular de $800\ \text{km}$ de altura ($r = 7.17\times10^{6}\ \text{m}$) y desde ahí se le da el impulso final de escape. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$. La misión se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía de la primera etapa, $E_1 = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\times r}\right)$.
2. b) Calcula la energía de la segunda etapa: la que hay que aportar a un satélite en órbita circular para que escape, $E_2 = \frac{G\times M_T\times m}{2\times r}$.
3. c) Suma ambas energías y comprueba que el total coincide con la energía de escape directa desde la superficie, $E_{esc} = \frac{G\times M_T\times m}{R_T}$.
4. d) Razona por qué el total no depende de la órbita intermedia elegida, apoyándote en que la energía mecánica final (en el infinito, en reposo) es la misma en todos los casos.

Se quiere comparar el costo energético de poner en órbita baja, a $100\ \text{km}$ de altura, una misma carga de $m = 500\ \text{kg}$ desde la superficie de la Tierra y desde la superficie de la Luna. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; Tierra: $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$; Luna: $M_L = 7.35\times10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1.74\times10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía necesaria desde la Tierra, $E = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\times r}\right)$, con $r = R_T + 10^{5}\ \text{m}$.
2. b) Calcula la energía necesaria desde la Luna, con $r = R_L + 10^{5}\ \text{m}$.
3. c) Calcula el cociente entre ambas energías y comenta qué consecuencia tendría para la logística de una futura base lunar el hecho de que despegar de la Luna sea tan «barato» energéticamente.

Una nave tripulada de $m = 5\times10^{3}\ \text{kg}$ parte de una órbita circular baja terrestre ($r_1 = 6.77\times10^{6}\ \text{m}$) hacia la Luna, cuya distancia media al centro de la Tierra es $r_2 = 3.84\times10^{8}\ \text{m}$. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la energía mecánica de la nave en la órbita baja, $E_{m,1} = -\frac{G\times M_T\times m}{2\times r_1}$.
2. b) Calcula la energía mecánica mínima que tendría al llegar a la distancia lunar si llegara con velocidad nula, $E_{m,2} = -\frac{G\times M_T\times m}{r_2}$.
3. c) Calcula la energía mínima que debe aportar el impulso de salida de órbita, $\Delta E = E_{m,2} - E_{m,1}$, y compárala con la energía necesaria para escapar de la Tierra desde esa misma órbita.
4. d) Razona por qué la misión real necesita energía adicional: la nave no puede quedarse en ese punto con velocidad nula, sino que debe insertarse en órbita lunar o regresar.

Para viajar a la Luna hay que superar el «punto neutro», situado aproximadamente a $d = 3.46\times10^{8}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, donde las atracciones de la Tierra y de la Luna se compensan. La distancia media Tierra-Luna es $r_{TL} = 3.84\times10^{8}\ \text{m}$. Una nave de $m = 5\times10^{3}\ \text{kg}$ parte del reposo en la superficie terrestre. Datos: $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$ y $M_L = 7.35\times10^{22}\ \text{kg}$. Observa el esquema:

1. a) Calcula la variación de energía potencial debida a la Tierra al ir de la superficie terrestre al punto neutro, $\Delta E_{p,T} = G\times M_T\times m\times\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{d}\right)$.
2. b) Calcula la variación de energía potencial debida a la Luna en el mismo trayecto, teniendo en cuenta que la nave pasa de estar a $r_{TL}$ de la Luna a estar a $r_{TL} - d$: $\Delta E_{p,L} = G\times M_L\times m\times\left(\frac{1}{r_{TL}} - \frac{1}{r_{TL} - d}\right)$.
3. c) Suma ambas contribuciones para obtener la energía mínima total del viaje al punto neutro y compárala con la energía de escape de la Tierra desde la superficie, $\frac{G\times M_T\times m}{R_T}$. ¿Qué conclusión extraes sobre el «precio» energético de llegar a la Luna?