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Realschule 10 · Physik
Energie, Anhalteweg und Strahlung · Statistischer Charakter des Zerfalls und Geschichte

Würfelmodell des radioaktiven Zerfalls

In einem Präparat im Labor der Uniklinik Köln zerfallen in jeder Sekunde Tausende Atomkerne. Kein Physiker kann sagen, welcher Kern als Nächster zerfällt. Trotzdem steht auf dem Präparat eine feste Halbwertszeit. Wie passt das zusammen? Mit Würfeln und Münzen können wir das selbst nachspielen.

Zufall im Einzelnen, Gesetz im Großen

Wirf eine Münze. Du kannst nicht vorhersagen, ob „Zahl“ oder „Kopf“ fällt. Wirfst du aber 1.000-mal, fällt sehr nahe bei 500-mal „Zahl“.

Genauso ist es beim radioaktiven Zerfall:

  • Ein einzelner Kern zerfällt zu einem nicht vorhersagbaren Zeitpunkt. Er „altert“ nicht und hat keine Uhr. Es ist reiner Zufall, ob er in der nächsten Sekunde zerfällt oder erst in einer Million Jahren.

  • Bei einer großen Anzahl von Kernen zerfällt in jedem Zeitabschnitt immer ungefähr der gleiche Anteil.

Üben★☆☆
Erkläre, warum man bei einem einzelnen radioaktiven Atom nicht vorhersagen kann, wann es zerfällt.

Erkläre, warum man bei einem einzelnen radioaktiven Atom nicht vorhersagen kann, wann es zerfällt.

Lösen

Das Würfelmodell

Wir ersetzen die Kerne durch Münzen oder Würfel:

  1. Du startest mit einer großen Anzahl von Münzen (oder Würfeln).

  2. Du wirfst alle Münzen auf einmal. Das ist ein Durchgang.

  3. Münzen mit „Zahl“ gelten als zerfallen und werden aussortiert.

  4. Die übrigen Münzen werden gezählt und im nächsten Durchgang erneut geworfen.

Bei der Münze zerfällt mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$, also im Mittel die Hälfte. Ein Durchgang entspricht dann einer Halbwertszeit.

Bei einem Würfel legst du fest, welche Augenzahlen „Zerfall“ bedeuten. Zerfällt nur die „6“, ist die Zerfallswahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$. Im Mittel zerfällt also $\frac{1}{6}$ der Würfel, und $\frac{5}{6}$ bleiben übrig.

Münzmodell: Die Anzahl der Münzen halbiert sich in jedem Durchgang im Mittel. 100 50 25 12,5 Start 1. Wurf 2. Wurf 3. Wurf
Üben★☆☆
Im Modell werfen $100$ Münzen. Münzen mit „Zahl“ gelten als zerfallen und werden aussortiert. Im Mittel zerfällt die Hälfte. a) Wie viele Münzen sind nach dem ersten…

Im Modell werfen $100$ Münzen. Münzen mit „Zahl“ gelten als zerfallen und werden aussortiert. Im Mittel zerfällt die Hälfte.

  1. a) Wie viele Münzen sind nach dem ersten Wurf im Mittel noch übrig?
  1. b) Wie viele sind nach dem dritten Wurf im Mittel noch übrig?
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Üben★☆☆
Bei einem Würfelmodell zerfallen alle Würfel, die eine „6“ zeigen. Zu Beginn sind $600$ Würfel vorhanden. Wie viele Würfel zerfallen im ersten Durchgang im Mittel?

Bei einem Würfelmodell zerfallen alle Würfel, die eine „6“ zeigen. Zu Beginn sind $600$ Würfel vorhanden.

Wie viele Würfel zerfallen im ersten Durchgang im Mittel?

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Üben★★☆
Im Würfelmodell zerfallen Würfel mit „6“. Zu Beginn sind $1.296$ Würfel vorhanden. a) Berechne die erwartete Anzahl übriger Würfel nach $1$, $2$ und $3$ Durchgängen. b)…

Im Würfelmodell zerfallen Würfel mit „6“. Zu Beginn sind $1.296$ Würfel vorhanden.

  1. a) Berechne die erwartete Anzahl übriger Würfel nach $1$, $2$ und $3$ Durchgängen.
  1. b) Erkläre, warum der Verlauf nicht linear, sondern exponentiell abnimmt.
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Abweichungen und die Größe der Probe

Wenn du das Experiment wirklich durchführst, trifft die Vorhersage nie genau zu. Beispiel: 100 Würfel, Zerfall bei „6“.

Durchgang 0 1 2 3
Theorie 100 83 69 58
Messung (Beispiel) 100 80 70 55

Die Messwerte schwanken um die Theoriewerte. Das ist normal: Es ist ja Zufall. Bei wenigen Würfeln sind die Abweichungen im Verhältnis groß, bei vielen Würfeln fast unsichtbar.

Zerfallskurve: Messpunkte schwanken um die glatte theoretische Kurve. 0 1 2 3 Durchgänge Anzahl übrig Kurve: Theorie Punkte: Messung
Üben★★☆
Eine Klasse führt das Würfelexperiment mit $100$ Würfeln durch und notiert die übrigen Würfel nach jedem Wurf (Zerfall bei „6“): $100; 84; 69; 58; 47; 40$. a) Berechne,…

Eine Klasse führt das Würfelexperiment mit $100$ Würfeln durch und notiert die übrigen Würfel nach jedem Wurf (Zerfall bei „6“): $100; 84; 69; 58; 47; 40$.

  1. a) Berechne, wie viele Würfel theoretisch nach jedem Wurf zu erwarten wären.
  1. b) Vergleiche Messung und Theorie und erkläre die Abweichungen.
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Üben★★☆
Bei dem Modell mit Münzen (Halbwertszeit entspricht einem Wurf) beginnen zwei Gruppen: Gruppe A mit $20$ Münzen, Gruppe B mit $2.000$ Münzen. a) Gib an, wie viele Münzen…

Bei dem Modell mit Münzen (Halbwertszeit entspricht einem Wurf) beginnen zwei Gruppen: Gruppe A mit $20$ Münzen, Gruppe B mit $2.000$ Münzen.

  1. a) Gib an, wie viele Münzen im Mittel nach einem Wurf übrig sind.
  1. b) Erkläre, bei welcher Gruppe die Ergebnisse prozentual näher an der Vorhersage liegen und warum.
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Vom Modell zur Halbwertszeit

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, in der im Mittel die Hälfte der Kerne zerfällt. Im Münzmodell entspricht ein Wurf genau einer Halbwertszeit.

Im Würfelmodell mit „6“ ist die Hälfte erst nach mehreren Durchgängen erreicht. Zerfallen die Augenzahlen „1“ und „2“, ist die Zerfallswahrscheinlichkeit $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Es bleiben $\frac{2}{3}$ übrig:

$216 \to 144 \to 96 \to 64 \to \dots$

Nach 2 Durchgängen sind es $96$, nach 1 Durchgang noch $144$. Die Hälfte ($108$) wird also zwischen dem 1. und 2. Durchgang unterschritten. Die Halbwertszeit entspricht ungefähr 1,7 Durchgängen, denn $\left(\frac{2}{3}\right)^{1{,}7} \approx \frac{1}{2}$. Gerundet sind das etwa 2 Durchgänge, das ist nur eine Näherung.

Warum ist die Halbwertszeit trotz Zufall fest? Weil die Zerfallswahrscheinlichkeit eines Kerns in einem Zeitabschnitt immer gleich ist, unabhängig davon, wie lange er schon existiert. Bei sehr vielen Kernen ergibt das jedes Mal fast genau die Halbierung. Und weil immer ein gleicher Anteil zerfällt, nimmt die Zahl nicht linear, sondern exponentiell ab: Die Kurve wird immer flacher, erreicht aber nie ganz null.

Üben★★★
Ein Präparat enthält zu Beginn $4{,}0\cdot 10^{6}$ radioaktive Kerne mit einer Halbwertszeit von $8\ \text{h}$. a) Berechne die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne…

Ein Präparat enthält zu Beginn $4{,}0\cdot 10^{6}$ radioaktive Kerne mit einer Halbwertszeit von $8\ \text{h}$.

  1. a) Berechne die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne nach $24\ \text{h}$.
  1. b) Erkläre, warum diese Aussage bei $4{,}0\cdot 10^{6}$ Kernen sehr zuverlässig, bei $4$ Kernen aber kaum aussagekräftig ist.
  1. c) Erkläre, warum man trotz der zufälligen Einzelzerfälle von einer festen Halbwertszeit sprechen kann.
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Üben★★★
Eine Schülerin simuliert den Zerfall mit Würfeln: Alle Würfel mit „1“ oder „2“ zerfallen. Start: $216$ Würfel. a) Gib die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Durchgang an. b)…

Eine Schülerin simuliert den Zerfall mit Würfeln: Alle Würfel mit „1“ oder „2“ zerfallen. Start: $216$ Würfel.

  1. a) Gib die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Durchgang an.
  1. b) Berechne die erwartete Zahl übriger Würfel nach $3$ Durchgängen.
  1. c) Bestimme die Anzahl der Durchgänge, die der Halbwertszeit ungefähr entsprechen, und begründe.
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Grenzen des Modells

Ein Modell ist ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit. Es lässt Unwichtiges weg und macht das Wesentliche verständlich und berechenbar.

Das Würfelmodell beschreibt gut:

  • Der Zerfall jedes Objekts ist zufällig.

  • Bei vielen Objekten ist die Abnahme vorhersagbar und exponentiell.

  • Es gibt einen festen Zeitabschnitt, in dem sich die Anzahl halbiert.

Seine Grenzen:

  • Es gibt diskrete Durchgänge, echte Kerne zerfallen aber zu jedem beliebigen Zeitpunkt.

  • Würfel verschwinden nur, Kerne wandeln sich in andere Kerne um und senden Strahlung aus.

  • Die Wahrscheinlichkeit ($\frac{1}{6}$, $\frac{1}{2}$) ist willkürlich gewählt, echte Kerne haben eigene Werte, die man nicht beeinflussen kann.

  • Die Anzahl der Würfel ist winzig im Vergleich zu $10^{21}$ Kernen in einer echten Probe.

Üben★★★
Bewerte das Würfelmodell als Modell für den radioaktiven Zerfall. a) Nenne zwei Aspekte, in denen das Modell die Realität gut beschreibt. b) Nenne zwei Grenzen des…

Bewerte das Würfelmodell als Modell für den radioaktiven Zerfall.

  1. a) Nenne zwei Aspekte, in denen das Modell die Realität gut beschreibt.
  1. b) Nenne zwei Grenzen des Modells.
  1. c) Erkläre, was man unter einem „Modell“ in der Physik versteht und warum Modelle nützlich sind.
Lösen

Zurück zum Anfang: Das Präparat in Köln hat eine feste Halbwertszeit, weil bei Milliarden Kernen die zufälligen Einzelzerfälle im Mittel immer denselben Anteil ergeben.

Auf einen Blick

  • Der Zerfall eines einzelnen Kerns ist zufällig und nicht vorhersagbar.

  • Bei sehr vielen Kernen zerfällt in jedem Zeitabschnitt etwa der gleiche Anteil. Je mehr Kerne, desto genauer die Vorhersage.

  • Münzmodell: Ein Wurf entspricht einer Halbwertszeit, es bleibt im Mittel die Hälfte übrig. Würfelmodell: Bei Zerfallswahrscheinlichkeit $p$ bleibt der Anteil $1-p$ übrig.

  • Die Abnahme ist exponentiell: gleicher Anteil, nicht gleiche Anzahl pro Zeitabschnitt.

  • Das Modell hat Grenzen (diskrete Durchgänge, keine Strahlung, keine Folgekerne), ist aber zum Verstehen nützlich.

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