Aufgaben: Würfelmodell des radioaktiven Zerfalls

Im Modell werfen $100$ Münzen. Münzen mit „Zahl“ gelten als zerfallen und werden aussortiert. Im Mittel zerfällt die Hälfte.

1. a) Wie viele Münzen sind nach dem ersten Wurf im Mittel noch übrig?

1. b) Wie viele sind nach dem dritten Wurf im Mittel noch übrig?

Bei einem Würfelmodell zerfallen alle Würfel, die eine „6“ zeigen. Zu Beginn sind $600$ Würfel vorhanden.

Wie viele Würfel zerfallen im ersten Durchgang im Mittel?

Erkläre, warum man bei einem einzelnen radioaktiven Atom nicht vorhersagen kann, wann es zerfällt.

Im Würfelmodell zerfallen Würfel mit „6“. Zu Beginn sind $1.296$ Würfel vorhanden.

1. a) Berechne die erwartete Anzahl übriger Würfel nach $1$, $2$ und $3$ Durchgängen.

1. b) Erkläre, warum der Verlauf nicht linear, sondern exponentiell abnimmt.

Eine Klasse führt das Würfelexperiment mit $100$ Würfeln durch und notiert die übrigen Würfel nach jedem Wurf (Zerfall bei „6“): $100; 84; 69; 58; 47; 40$.

1. a) Berechne, wie viele Würfel theoretisch nach jedem Wurf zu erwarten wären.

1. b) Vergleiche Messung und Theorie und erkläre die Abweichungen.

Bei dem Modell mit Münzen (Halbwertszeit entspricht einem Wurf) beginnen zwei Gruppen: Gruppe A mit $20$ Münzen, Gruppe B mit $2.000$ Münzen.

1. a) Gib an, wie viele Münzen im Mittel nach einem Wurf übrig sind.

1. b) Erkläre, bei welcher Gruppe die Ergebnisse prozentual näher an der Vorhersage liegen und warum.

Ein Präparat enthält zu Beginn $4{,}0\cdot 10^{6}$ radioaktive Kerne mit einer Halbwertszeit von $8\ \text{h}$.

1. a) Berechne die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne nach $24\ \text{h}$.

1. b) Erkläre, warum diese Aussage bei $4{,}0\cdot 10^{6}$ Kernen sehr zuverlässig, bei $4$ Kernen aber kaum aussagekräftig ist.

1. c) Erkläre, warum man trotz der zufälligen Einzelzerfälle von einer festen Halbwertszeit sprechen kann.

Eine Schülerin simuliert den Zerfall mit Würfeln: Alle Würfel mit „1“ oder „2“ zerfallen. Start: $216$ Würfel.

1. a) Gib die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Durchgang an.

1. b) Berechne die erwartete Zahl übriger Würfel nach $3$ Durchgängen.

1. c) Bestimme die Anzahl der Durchgänge, die der Halbwertszeit ungefähr entsprechen, und begründe.

Bewerte das Würfelmodell als Modell für den radioaktiven Zerfall.

1. a) Nenne zwei Aspekte, in denen das Modell die Realität gut beschreibt.

1. b) Nenne zwei Grenzen des Modells.

1. c) Erkläre, was man unter einem „Modell“ in der Physik versteht und warum Modelle nützlich sind.