Conceptos de probabilidad
¿Saldrá cara? ¿Llegará el bus a tiempo a la parada frente al colegio? ¿Le tocará la ficha que le falta para completar el álbum de la Selección? Hay situaciones en las que, por mucho que usted sepa, no puede predecir el resultado. La probabilidad no adivina el futuro, pero sí le dice cuán posible es cada cosa. Primero hay que aprender su vocabulario y después aprender a calcular.
Experimentos aleatorios
Clasifique los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas, justificando brevemente su respuesta en cada caso: a) Observar si el próximo bus que pase por la…
Clasifique los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas, justificando brevemente su respuesta en cada caso:
- a) Observar si el próximo bus que pase por la parada frente al colegio es de la línea 5.
- b) Medir el tiempo que tarda un objeto en caer al suelo desde una altura de 2 metros en condiciones de vacío.
- c) Predecir el ganador del próximo sorteo del Gordo Navideño.
- d) Calcular el costo de 3 kg de manzanas si sabemos que el precio es de $750 \text{ \text{₡}\ /kg}$.
Estamos jugando con una ruleta dividida en ocho sectores iguales, numerados del 1 al 8. Escriba el espacio muestral $E$ de este experimento y describa los elementos de…
Estamos jugando con una ruleta dividida en ocho sectores iguales, numerados del 1 al 8. Escriba el espacio muestral $E$ de este experimento y describa los elementos de los siguientes eventos:
- a) $A =$ "Obtener un número mayor que 5".
- b) $B =$ "Obtener un número par".
- c) $C =$ "Obtener un múltiplo de 3".
En su teléfono celular tiene instaladas 3 apps de redes sociales, 2 de juegos y 1 de música. Al recibir una notificación, esta puede provenir de cualquiera de estas apps…
En su teléfono celular tiene instaladas 3 apps de redes sociales, 2 de juegos y 1 de música. Al recibir una notificación, esta puede provenir de cualquiera de estas apps con la misma probabilidad.
- a) Defina el espacio muestral $E$ de este experimento aleatorio.
- b) Describa el evento $A$ = "La notificación no es de una red social".
- c) Escriba un evento imposible relacionado con este contexto.
Eventos
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral: «sacar par» $= \{2, 4, 6\}$.
| Evento | Qué es | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Elemental | Un solo resultado | «sacar un 3» $= \{3\}$ |
| Compuesto | Más de un resultado | «sacar par» $= \{2, 4, 6\}$ |
| Seguro | Ocurre siempre ($= E$) | «sacar menos de 7» |
| Imposible | No ocurre nunca ($= \varnothing$) | «sacar un 8» |
| Contrario (o complementario) de $A$: $A^c$ o $\overline{A}$ | Ocurre cuando no ocurre $A$ | contrario de «par» = «impar» $= \{1, 3, 5\}$ |
Consideramos el experimento aleatorio de elegir al azar una letra de la palabra MATEMATICAS. Defina los siguientes conceptos asociados a este experimento: a) El espacio…
Consideramos el experimento aleatorio de elegir al azar una letra de la palabra MATEMATICAS. Defina los siguientes conceptos asociados a este experimento:
- a) El espacio muestral $E$.
- b) El evento $V =$ "Elegir una vocal".
- c) El evento $C =$ "Elegir una consonante".
- d) Compruebe si $V$ y $C$ son eventos complementarios.
En una tómbola de lotería hay bolas numeradas del 1 al 20. Si extraemos una bola al azar, clasifique los siguientes eventos en elementales o compuestos: a) $S_1 =$…
En una tómbola de lotería hay bolas numeradas del 1 al 20. Si extraemos una bola al azar, clasifique los siguientes eventos en elementales o compuestos:
- a) $S_1 =$ {obtener el número 13}.
- b) $S_2 =$ {obtener un número primo menor que 10}.
- c) $S_3 =$ {obtener un múltiplo de 7}.
- d) $S_4 =$ {obtener el mayor número par de la bolsa}.
Unión e intersección
Con dos eventos $A$ y $B$:
-
Unión $A \cup B$: ocurre $A$ o $B$ (o los dos).
-
Intersección $A \cap B$: ocurren $A$ y $B$ a la vez.
-
Si $A \cap B = \varnothing$, los eventos son incompatibles (o excluyentes): no pueden ocurrir juntos. Si $A \cap B \neq \varnothing$, son compatibles.
Con el dado: $A = \{2, 4, 6\}$ (par) y $B = \{4, 5, 6\}$ (mayor que 3).
-
$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$
-
$A \cap B = \{4, 6\}$
-
$A^c = \{1, 3, 5\}$
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Dados los eventos $A =$ "Sacar un Rey" y $B =$ "Sacar una carta de Oros", indique: a) ¿Son $A$ y $B$…
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Dados los eventos $A =$ "Sacar un Rey" y $B =$ "Sacar una carta de Oros", indique:
- a) ¿Son $A$ y $B$ eventos compatibles o incompatibles? ¿Por qué?
- b) ¿Cuál es el evento intersección $A \cap B$?
- c) Describa con palabras el evento unión $A \cup B$.
Contar con diagramas de árbol y tablas
Cuando el experimento tiene varias etapas (tirar dos monedas, elegir camiseta y pantalón), un diagrama de árbol muestra todos los resultados sin que se le escape ninguno.
Con dos monedas, $E = \{CC, CX, XC, XX\}$: 4 resultados. Observe que $CX$ y $XC$ son distintos.
Para dos dados, una tabla de doble entrada de $6 \times 6$ da los 36 resultados posibles: las filas son el primer dado y las columnas, el segundo.
Se lanzan dos monedas al aire y se anota el resultado (C para Cara, X para Cruz). a) Utilice un diagrama de árbol para hallar todos los resultados posibles. b) Escriba…
Se lanzan dos monedas al aire y se anota el resultado (C para Cara, X para Cruz).
- a) Utilice un diagrama de árbol para hallar todos los resultados posibles.
- b) Escriba el espacio muestral del experimento.
- c) ¿Cuál es el evento elemental "sacar dos caras"?
Para ir a un festival, Lucía tiene en su armario 3 sudaderas (negra, blanca y roja) y 2 pantalones (vaquero y chándal). Elige al azar una sudadera y un pantalón, todas…
Para ir a un festival, Lucía tiene en su armario 3 sudaderas (negra, blanca y roja) y 2 pantalones (vaquero y chándal). Elige al azar una sudadera y un pantalón, todas las opciones con la misma probabilidad.
- a) Dibuja el diagrama de árbol que represente todas las combinaciones posibles de vestimenta (sudaderas y pantalones).
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que Lucía elija la sudadera roja?
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que no elija el pantalón de chándal?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Contar sin listar: variaciones, permutaciones y combinaciones
Cuando hay muchas posibilidades, listarlas es imposible. Conviene preguntarse ¿importa el orden?
-
Variaciones $V_{n,m}$: se eligen $m$ elementos distintos de $n$ y el orden importa (un podio). Se multiplican $m$ factores que van bajando: $V_{n,m} = n \cdot (n-1) \cdots (n-m+1)$.
-
Permutaciones $P_n$: se ordenan los $n$ elementos. Es el caso $m = n$: $P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$.
-
Combinaciones $C_{n,m}$: se eligen $m$ de $n$ y el orden no importa (un grupo). Se obtienen dividiendo las variaciones por las formas de ordenar cada grupo: $C_{n,m} = \dfrac{V_{n,m}}{m!}$.
En la calculadora científica las encuentra como nPr (variaciones) y nCr (combinaciones).
Un grupo de amigos crea una clave de seguridad para su servidor de videojuegos. La clave debe tener 3 caracteres distintos elegidos entre las letras $\{A, B, C\}$ y los…
Un grupo de amigos crea una clave de seguridad para su servidor de videojuegos. La clave debe tener 3 caracteres distintos elegidos entre las letras $\{A, B, C\}$ y los números $\{1, 2, 3\}$.
- a) Describe el espacio muestral $\Omega$ si el primer carácter debe ser obligatoriamente una letra y el último un número.
- b) Si se elige una clave al azar de entre todas las posibles (sin las restricciones del apartado anterior, pero manteniendo que los 3 caracteres sean distintos), ¿cuál es la probabilidad de que la clave esté formada solo por números?
Calcular probabilidades: la probabilidad clásica
Si todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad (son equiprobables), la probabilidad de un evento $A$ es
$$P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$Esta es la probabilidad clásica.
Por qué: si hay 6 resultados igual de posibles y 3 son pares, «le toca» $\frac{3}{6}$ del total a «sacar par».
Siempre vale $0 \le P(A) \le 1$. El evento imposible tiene probabilidad $0$ y el seguro, $1$. Y para el contrario:
$$P(A^c) = 1 - P(A)$$porque $A$ y $A^c$ se reparten todo el espacio muestral.
En un bolso deportivo hay 4 camisetas rojas, 3 azules y 1 blanca. Si se saca una camiseta sin mirar, indique cuál de las siguientes opciones describe mejor la…
En un bolso deportivo hay 4 camisetas rojas, 3 azules y 1 blanca. Si se saca una camiseta sin mirar, indique cuál de las siguientes opciones describe mejor la probabilidad de cada evento (use los términos: muy probable, poco probable, imposible, seguro):
- a) Sacar una camiseta de color verde.
- b) Sacar una camiseta que no sea blanca.
- c) Sacar una camiseta roja, azul o blanca.
- d) Sacar una camiseta azul.
Un dado tiene sus caras pintadas de colores: 3 caras son rojas, 2 son verdes y 1 es amarilla. Si lanzamos el dado al aire: a) ¿Cuál es la probabilidad de "obtener color…
Un dado tiene sus caras pintadas de colores: 3 caras son rojas, 2 son verdes y 1 es amarilla. Si lanzamos el dado al aire:
- a) ¿Cuál es la probabilidad de "obtener color rojo"? Exprese el resultado como fracción.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de "no obtener color rojo"?
- c) ¿Cómo se llama técnicamente al evento del apartado b) respecto al del apartado a)?
En un juego de cartas coleccionables de fantasía, un mazo contiene las siguientes cartas: 8 de tipo "Guerrero", 6 de tipo "Mago", 4 de tipo "Elfo" y 2 de tipo "Dragón".…
En un juego de cartas coleccionables de fantasía, un mazo contiene las siguientes cartas: 8 de tipo "Guerrero", 6 de tipo "Mago", 4 de tipo "Elfo" y 2 de tipo "Dragón". Si robas una carta al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Sea un "Mago".
- b) Sea un "Guerrero" o un "Elfo".
- c) No sea un "Dragón".
Una ruleta es un buen lugar para practicar la probabilidad clásica: se cuentan los sectores favorables sobre el total.
En una feria tecnológica hay una ruleta dividida en 12 sectores iguales numerados del 1 al 12. El juego consiste en hacer girar la ruleta y observar el número premiado.…
En una feria tecnológica hay una ruleta dividida en 12 sectores iguales numerados del 1 al 12. El juego consiste en hacer girar la ruleta y observar el número premiado.
- a) Halla la probabilidad de obtener un número primo.
- b) Halla la probabilidad de obtener un número mayor que 4 y menor que 9.
- c) Si ganamos un premio si sale un múltiplo de 3 o un número impar, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
Probabilidad de la unión
Para $A \cup B$ no alcanza con sumar $P(A) + P(B)$: los resultados de la intersección se contarían dos veces. Se corrige restándola:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$Si $A$ y $B$ son incompatibles, $P(A \cap B) = 0$ y queda $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Además, de esta fórmula sale una prueba de compatibilidad: si $P(A \cap B) \neq 0$, los eventos son compatibles.
También funciona con porcentajes. Si el $60\,\%$ del grupo usa una app, el $50\,\%$ usa otra y el $20\,\%$ no usa ninguna, entonces $P(\text{alguna}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$, y de ahí sale la intersección: $0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}8 = 0{,}3$. Un diagrama de Venn ayuda mucho: empiece por la intersección, complete cada círculo y deje lo que sobra para «ninguno».
Se realiza una encuesta a los 30 estudiantes de una clase sobre sus preferencias de streaming. Se sabe que 18 estudiantes ven Netflix ($N$), 12 ven Disney+ ($D$) y 5…
Se realiza una encuesta a los 30 estudiantes de una clase sobre sus preferencias de streaming. Se sabe que 18 estudiantes ven Netflix ($N$), 12 ven Disney+ ($D$) y 5 estudiantes ven ambas plataformas. Si se elige un estudiante al azar:
- a) Utilice un diagrama de Venn para representar la situación.
- b) Calcule la probabilidad de que el estudiante vea solo Netflix.
- c) Calcule la probabilidad de que el estudiante no vea ninguna de las dos plataformas (evento contrario a la unión).
Considere el experimento aleatorio de lanzar dos dados cúbicos y sumar sus puntos. Sean los eventos: $A$ = "La suma es un número par". $B$ = "La suma es un múltiplo de…
Considere el experimento aleatorio de lanzar dos dados cúbicos y sumar sus puntos. Sean los eventos:
-
$A$ = "La suma es un número par".
-
$B$ = "La suma es un múltiplo de 5".
- a) Calcule $P(A)$ y $P(B)$.
- b) ¿Son los eventos $A$ y $B$ compatibles o incompatibles? Justifique su respuesta encontrando los elementos de $A \cap B$.
- c) Calcule la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.
En un instituto de Madrid, el $60\%$ de los alumnos de 3º ESO utiliza la plataforma Twitch*, el $50\%$ utiliza TikTok* y el $20\%$ no utiliza ninguna de las dos. Si…
En un instituto de Madrid, el $60\%$ de los alumnos de 3º ESO utiliza la plataforma Twitch, el $50\%$ utiliza TikTok y el $20\%$ no utiliza ninguna de las dos. Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
- a) Que utilice ambas plataformas.
- b) Que utilice TikTok pero no Twitch.
- c) ¿Son los sucesos "Usar Twitch" y "Usar TikTok" incompatibles? Justifica tu respuesta utilizando los valores de las probabilidades.
Frecuencia relativa y ley de los grandes números
¿Y si no podemos contar casos igual de probables, como con un dado que se sospecha trucado? Entonces experimentamos.
La frecuencia relativa de un evento es
$$f_r = \frac{n}{N} = \frac{\text{veces que ocurrió}}{\text{veces que repetimos el experimento}}$$La ley de los grandes números dice que, al repetir muchas veces, la frecuencia relativa se estabiliza cerca de un valor: ese valor es la probabilidad del evento.
Pruebe con pocos lanzamientos y con muchos: con pocos la frecuencia salta; con muchos se acerca a $0{,}5$.
Un creador de contenido ha lanzado 500 veces un dado de 8 caras (octaedro) para comprobar si está trucado. Los resultados obtenidos para la cara con el número "8" se…
Un creador de contenido ha lanzado 500 veces un dado de 8 caras (octaedro) para comprobar si está trucado. Los resultados obtenidos para la cara con el número "8" se muestran en la siguiente tabla:
| Lanzamientos ($N$) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia absoluta ($n$) | 12 | 26 | 39 | 51 | 63 |
- a) Calcula las frecuencias relativas para cada etapa del experimento.
- b) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la probabilidad de obtener un "8"?
- c) Si el dado fuera perfecto (regular), ¿cuál debería ser su probabilidad teórica según la ley de Laplace?
Lanzamos un dado de seis caras que sospechamos que está trucado. Tras lanzarlo 500 veces, hemos obtenido las siguientes frecuencias: el número 6 ha salido 125 veces, el…
Lanzamos un dado de seis caras que sospechamos que está trucado. Tras lanzarlo 500 veces, hemos obtenido las siguientes frecuencias: el número 6 ha salido 125 veces, el número 1 ha salido 40 veces, y los números 2, 3, 4 y 5 han salido con la misma frecuencia entre ellos.
- a) Calcule la frecuencia relativa del evento "Obtener un 6".
- b) Según la ley de los grandes números, ¿qué probabilidad le asignaría al evento "Obtener un número menor que 6"?
- c) Si el dado no estuviera trucado, ¿cuál sería la probabilidad teórica de obtener un 6? Compare ambos resultados.
Tablas de contingencia y probabilidad condicional
Una tabla de contingencia (o de doble entrada) clasifica a los individuos con dos criterios a la vez.
| Hace deporte | No hace deporte | Total | |
|---|---|---|---|
| Estudia música | 12 | 8 | 20 |
| No estudia música | 48 | 32 | 80 |
| Total | 60 | 40 | 100 |
Para completarla: lo que está en los márgenes son totales, y cada casilla interior es una intersección. Si faltan datos, use que filas y columnas suman los totales.
Con 100 alumnos: $P(\text{estudia música}) = \frac{20}{100}$ y $P(\text{hace deporte y estudia música}) = \frac{12}{100}$.
Probabilidad condicional (sin fórmulas): cuando el enunciado dice «sabiendo que», el universo se achica. Se mira solo la fila o columna que se sabe y se divide dentro de ella.
-
Sabiendo que estudia música (20 estudiantes), ¿cuál es la probabilidad de que haga deporte? $\frac{12}{20} = 0{,}6$.
-
Sabiendo que hace deporte (60 estudiantes), ¿cuál es la probabilidad de que estudie música? $\frac{12}{60} = 0{,}2$.
En una convención de videojuegos, se clasificó a 200 asistentes según su edad y su consola preferida, obteniendo la siguiente tabla de contingencia: | | Menores 14 años…
En una convención de videojuegos, se clasificó a 200 asistentes según su edad y su consola preferida, obteniendo la siguiente tabla de contingencia:
| Menores 14 años | Mayores 14 años | Total | |
|---|---|---|---|
| PlayStation | 45 | 55 | 100 |
| Nintendo | 60 | 40 | 100 |
| Total | 105 | 95 | 200 |
Si seleccionamos un asistente al azar, halla la probabilidad de que:
- a) Prefiera Nintendo.
- b) Sea mayor de 14 años.
- c) Sea menor de 14 años y prefiera PlayStation.
- d) Sabiendo que prefiere Nintendo, sea menor de 14 años.
En un campeonato de E-sports, se analizan los periféricos que usan 120 participantes. Se sabe que 75 usan teclado mecánico y el resto de membrana. De los que usan…
En un campeonato de E-sports, se analizan los periféricos que usan 120 participantes. Se sabe que 75 usan teclado mecánico y el resto de membrana. De los que usan teclado mecánico, 45 usan también ratón inalámbrico. En total, hay 65 participantes que usan ratón inalámbrico.
- a) Organiza estos datos en una tabla de contingencia.
- b) Si elegimos un participante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use teclado de membrana y ratón con cable?
- c) Si sabemos que un participante usa ratón inalámbrico, ¿cuál es la probabilidad de que su teclado sea de membrana?
Árboles con probabilidades: con y sin reposición
En un árbol de varias etapas se escribe la probabilidad sobre cada rama. Dos reglas:
-
Para un camino completo, se multiplican las probabilidades de sus ramas.
-
Para un evento que se logra por varios caminos, se suman las probabilidades de esos caminos.
Si la extracción es con reposición (se devuelve la bolita), las probabilidades de la segunda etapa son iguales a las de la primera. Si es sin reposición, la composición cambia y hay que recalcular.
Observe que $P(\text{2.ª roja} \mid \text{1.ª roja}) = \frac{2}{4}$: es la probabilidad de la rama que sale del primer resultado. Eso es la condicional leída en el árbol.
Cuando hay etapas de distinto tipo (primero una moneda y después un dado o una bolita, según salga), cada rama de la primera etapa lleva a un experimento diferente, y se resuelve igual: multiplicar a lo largo y sumar los caminos que dan el evento pedido.
Dos populares streamers*, Alba y Brais, van a realizar una colaboración. Tienen una urna con 4 tarjetas de retos físicos y 6 tarjetas de retos mentales. Deciden sacar…
Dos populares streamers, Alba y Brais, van a realizar una colaboración. Tienen una urna con 4 tarjetas de retos físicos y 6 tarjetas de retos mentales. Deciden sacar dos tarjetas sucesivamente y sin devolución.
- a) Dibuja el diagrama de árbol que represente todas las posibilidades y asigna la probabilidad a cada rama.
- b) Calcula la probabilidad de que el segundo reto extraído sea mental, sabiendo que el primero fue físico.
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que realicen un reto de cada tipo?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un juego de mesa consiste en lanzar una moneda y, según el resultado, hacer lo siguiente: Si sale cara, se lanza un dado de 4 caras (numeradas del 1 al 4). Si sale cruz,…
Un juego de mesa consiste en lanzar una moneda y, según el resultado, hacer lo siguiente:
-
Si sale cara, se lanza un dado de 4 caras (numeradas del 1 al 4).
-
Si sale cruz, se extrae una bola de una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.
- a) Represente el experimento mediante un diagrama de árbol.
- b) Calcule la probabilidad de obtener un número par en el dado si la moneda salió cara.
- c) ¿Cuál es la probabilidad total de que el resultado final del experimento sea una bola roja?
En una final de un torneo de tenis entre Carlos y Rafa, gana el primero que consiga vencer en 3 sets. El torneo se interrumpe por lluvia cuando Carlos va ganando 2 sets…
En una final de un torneo de tenis entre Carlos y Rafa, gana el primero que consiga vencer en 3 sets. El torneo se interrumpe por lluvia cuando Carlos va ganando 2 sets a 1. Sabiendo que ambos tienen la misma probabilidad de ganar cada set restante:
- a) Utiliza un diagrama de árbol para calcular la probabilidad que tiene cada uno de ganar el torneo si se hubiera seguido jugando.
- b) Si el premio total es de $12.000$ colones, ¿cómo debería repartirse de forma justa según las probabilidades de victoria de cada uno en el momento de la interrupción?
En el último ejercicio, el reparto «justo» de un premio es proporcional a la probabilidad de ganar de cada uno.
Probabilidad con áreas
A veces los resultados no se pueden contar: un dron que aterriza en cualquier punto de un terreno. Si todos los puntos son igual de probables, la probabilidad es la razón de áreas:
$$P(A) = \dfrac{\text{área de la zona favorable}}{\text{área total}}$$Un dron de entrega debe aterrizar en una parcela cuadrada de $10$ metros de lado. Dentro de la parcela hay una zona circular de seguridad (donde no debe aterrizar) con…
Un dron de entrega debe aterrizar en una parcela cuadrada de $10$ metros de lado. Dentro de la parcela hay una zona circular de seguridad (donde no debe aterrizar) con un radio de $2$ metros, y una zona de aterrizaje óptimo que es un pequeño cuadrado central de $1$ metro de lado.
Suponiendo que el dron aterriza en cualquier punto de la parcela con la misma probabilidad:
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dron aterrice en la zona de aterrizaje óptimo?
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que aterrice fuera de la zona circular de seguridad? (Usa $\pi \approx 3,14$).
Vuelva al principio: no puede adivinar con certeza si saldrá cara o si el bus llegará a tiempo, pero ahora puede describir todos los resultados posibles, contarlos y calcular exactamente cuán probable es cada evento.