Ejercicios: Conceptos

Clasifique los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas, justificando brevemente su respuesta en cada caso:

1. a) Observar si el próximo bus que pase por la parada frente al colegio es de la línea 5.
2. b) Medir el tiempo que tarda un objeto en caer al suelo desde una altura de 2 metros en condiciones de vacío.
3. c) Predecir el ganador del próximo sorteo del Gordo Navideño.
4. d) Calcular el costo de 3 kg de manzanas si sabemos que el precio es de $750 \text{ \text{₡}\ /kg}$.

Estamos jugando con una ruleta dividida en ocho sectores iguales, numerados del 1 al 8. Escriba el espacio muestral $E$ de este experimento y describa los elementos de los siguientes eventos:

1. a) $A =$ "Obtener un número mayor que 5".
2. b) $B =$ "Obtener un número par".
3. c) $C =$ "Obtener un múltiplo de 3".

En un bolso deportivo hay 4 camisetas rojas, 3 azules y 1 blanca. Si se saca una camiseta sin mirar, indique cuál de las siguientes opciones describe mejor la probabilidad de cada evento (use los términos: muy probable, poco probable, imposible, seguro):

1. a) Sacar una camiseta de color verde.
2. b) Sacar una camiseta que no sea blanca.
3. c) Sacar una camiseta roja, azul o blanca.
4. d) Sacar una camiseta azul.

Se lanzan dos monedas al aire y se anota el resultado (C para Cara, X para Cruz).

1. a) Utilice un diagrama de árbol para hallar todos los resultados posibles.
2. b) Escriba el espacio muestral del experimento.
3. c) ¿Cuál es el evento elemental "sacar dos caras"?

Consideramos el experimento aleatorio de elegir al azar una letra de la palabra MATEMATICAS. Defina los siguientes conceptos asociados a este experimento:

1. a) El espacio muestral $E$.
2. b) El evento $V =$ "Elegir una vocal".
3. c) El evento $C =$ "Elegir una consonante".
4. d) Compruebe si $V$ y $C$ son eventos complementarios.

Un dado tiene sus caras pintadas de colores: 3 caras son rojas, 2 son verdes y 1 es amarilla. Si lanzamos el dado al aire:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de "obtener color rojo"? Exprese el resultado como fracción.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de "no obtener color rojo"?
3. c) ¿Cómo se llama técnicamente al evento del apartado b) respecto al del apartado a)?

De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Dados los eventos $A =$ "Sacar un Rey" y $B =$ "Sacar una carta de Oros", indique:

1. a) ¿Son $A$ y $B$ eventos compatibles o incompatibles? ¿Por qué?
2. b) ¿Cuál es el evento intersección $A \cap B$?
3. c) Describa con palabras el evento unión $A \cup B$.

En una tómbola de lotería hay bolas numeradas del 1 al 20. Si extraemos una bola al azar, clasifique los siguientes eventos en elementales o compuestos:

1. a) $S_1 =$ {obtener el número 13}.
2. b) $S_2 =$ {obtener un número primo menor que 10}.
3. c) $S_3 =$ {obtener un múltiplo de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obtener el mayor número par de la bolsa}.

En su teléfono celular tiene instaladas 3 apps de redes sociales, 2 de juegos y 1 de música. Al recibir una notificación, esta puede provenir de cualquiera de estas apps con la misma probabilidad.

1. a) Defina el espacio muestral $E$ de este experimento aleatorio.
2. b) Describa el evento $A$ = "La notificación no es de una red social".
3. c) Escriba un evento imposible relacionado con este contexto.

Se realiza una encuesta a los 30 estudiantes de una clase sobre sus preferencias de streaming. Se sabe que 18 estudiantes ven Netflix ($N$), 12 ven Disney+ ($D$) y 5 estudiantes ven ambas plataformas. Si se elige un estudiante al azar:

1. a) Utilice un diagrama de Venn para representar la situación.
2. b) Calcule la probabilidad de que el estudiante vea solo Netflix.
3. c) Calcule la probabilidad de que el estudiante no vea ninguna de las dos plataformas (evento contrario a la unión).

En un juego de cartas coleccionables de fantasía, un mazo contiene las siguientes cartas: 8 de tipo "Guerrero", 6 de tipo "Mago", 4 de tipo "Elfo" y 2 de tipo "Dragón". Si robas una carta al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Sea un "Mago".
2. b) Sea un "Guerrero" o un "Elfo".
3. c) No sea un "Dragón".

Un creador de contenido ha lanzado 500 veces un dado de 8 caras (octaedro) para comprobar si está trucado. Los resultados obtenidos para la cara con el número "8" se muestran en la siguiente tabla:

Lanzamientos ($N$)	100	200	300	400	500
Frecuencia absoluta ($n$)	12	26	39	51	63

1. a) Calcula las frecuencias relativas para cada etapa del experimento.

1. b) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la probabilidad de obtener un "8"?

1. c) Si el dado fuera perfecto (regular), ¿cuál debería ser su probabilidad teórica según la ley de Laplace?

En una convención de videojuegos, se clasificó a 200 asistentes según su edad y su consola preferida, obteniendo la siguiente tabla de contingencia:

	Menores 14 años	Mayores 14 años	Total
PlayStation	45	55	100
Nintendo	60	40	100
Total	105	95	200

Si seleccionamos un asistente al azar, halla la probabilidad de que:

1. a) Prefiera Nintendo.
2. b) Sea mayor de 14 años.
3. c) Sea menor de 14 años y prefiera PlayStation.
4. d) Sabiendo que prefiere Nintendo, sea menor de 14 años.

Para ir a un festival, Lucía tiene en su armario 3 sudaderas (negra, blanca y roja) y 2 pantalones (vaquero y chándal). Elige al azar una sudadera y un pantalón, todas las opciones con la misma probabilidad.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente todas las combinaciones posibles de vestimenta (sudaderas y pantalones).
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que Lucía elija la sudadera roja?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que no elija el pantalón de chándal?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considere el experimento aleatorio de lanzar dos dados cúbicos y sumar sus puntos. Sean los eventos:

• $A$ = "La suma es un número par".

• $B$ = "La suma es un múltiplo de 5".

1. a) Calcule $P(A)$ y $P(B)$.
2. b) ¿Son los eventos $A$ y $B$ compatibles o incompatibles? Justifique su respuesta encontrando los elementos de $A \cap B$.
3. c) Calcule la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.

En una feria tecnológica hay una ruleta dividida en 12 sectores iguales numerados del 1 al 12. El juego consiste en hacer girar la ruleta y observar el número premiado.

1. a) Halla la probabilidad de obtener un número primo.
2. b) Halla la probabilidad de obtener un número mayor que 4 y menor que 9.
3. c) Si ganamos un premio si sale un múltiplo de 3 o un número impar, ¿cuál es la probabilidad de ganar?

Un grupo de amigos crea una clave de seguridad para su servidor de videojuegos. La clave debe tener 3 caracteres distintos elegidos entre las letras $\{A, B, C\}$ y los números $\{1, 2, 3\}$.

1. a) Describe el espacio muestral $\Omega$ si el primer carácter debe ser obligatoriamente una letra y el último un número.

1. b) Si se elige una clave al azar de entre todas las posibles (sin las restricciones del apartado anterior, pero manteniendo que los 3 caracteres sean distintos), ¿cuál es la probabilidad de que la clave esté formada solo por números?

En un instituto de Madrid, el $60\%$ de los alumnos de 3º ESO utiliza la plataforma Twitch, el $50\%$ utiliza TikTok y el $20\%$ no utiliza ninguna de las dos. Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) Que utilice ambas plataformas.

1. b) Que utilice TikTok pero no Twitch.

1. c) ¿Son los sucesos "Usar Twitch" y "Usar TikTok" incompatibles? Justifica tu respuesta utilizando los valores de las probabilidades.

Dos populares streamers, Alba y Brais, van a realizar una colaboración. Tienen una urna con 4 tarjetas de retos físicos y 6 tarjetas de retos mentales. Deciden sacar dos tarjetas sucesivamente y sin devolución.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente todas las posibilidades y asigna la probabilidad a cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que el segundo reto extraído sea mental, sabiendo que el primero fue físico.

1. c) ¿Cuál es la probabilidad de que realicen un reto de cada tipo?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un dron de entrega debe aterrizar en una parcela cuadrada de $10$ metros de lado. Dentro de la parcela hay una zona circular de seguridad (donde no debe aterrizar) con un radio de $2$ metros, y una zona de aterrizaje óptimo que es un pequeño cuadrado central de $1$ metro de lado.

Suponiendo que el dron aterriza en cualquier punto de la parcela con la misma probabilidad:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dron aterrice en la zona de aterrizaje óptimo?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que aterrice fuera de la zona circular de seguridad? (Usa $\pi \approx 3,14$).

En un campeonato de E-sports, se analizan los periféricos que usan 120 participantes. Se sabe que 75 usan teclado mecánico y el resto de membrana. De los que usan teclado mecánico, 45 usan también ratón inalámbrico. En total, hay 65 participantes que usan ratón inalámbrico.

1. a) Organiza estos datos en una tabla de contingencia.

1. b) Si elegimos un participante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use teclado de membrana y ratón con cable?

1. c) Si sabemos que un participante usa ratón inalámbrico, ¿cuál es la probabilidad de que su teclado sea de membrana?

Lanzamos un dado de seis caras que sospechamos que está trucado. Tras lanzarlo 500 veces, hemos obtenido las siguientes frecuencias: el número 6 ha salido 125 veces, el número 1 ha salido 40 veces, y los números 2, 3, 4 y 5 han salido con la misma frecuencia entre ellos.

1. a) Calcule la frecuencia relativa del evento "Obtener un 6".

1. b) Según la ley de los grandes números, ¿qué probabilidad le asignaría al evento "Obtener un número menor que 6"?

1. c) Si el dado no estuviera trucado, ¿cuál sería la probabilidad teórica de obtener un 6? Compare ambos resultados.

Un juego de mesa consiste en lanzar una moneda y, según el resultado, hacer lo siguiente:

• Si sale cara, se lanza un dado de 4 caras (numeradas del 1 al 4).

• Si sale cruz, se extrae una bola de una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.

1. a) Represente el experimento mediante un diagrama de árbol.

1. b) Calcule la probabilidad de obtener un número par en el dado si la moneda salió cara.

1. c) ¿Cuál es la probabilidad total de que el resultado final del experimento sea una bola roja?

En una final de un torneo de tenis entre Carlos y Rafa, gana el primero que consiga vencer en 3 sets. El torneo se interrumpe por lluvia cuando Carlos va ganando 2 sets a 1. Sabiendo que ambos tienen la misma probabilidad de ganar cada set restante:

1. a) Utiliza un diagrama de árbol para calcular la probabilidad que tiene cada uno de ganar el torneo si se hubiera seguido jugando.

1. b) Si el premio total es de $12.000$ colones, ¿cómo debería repartirse de forma justa según las probabilidades de victoria de cada uno en el momento de la interrupción?