Ángulos orientados y circunferencia goniométrica

Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.

• ¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?

• ¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?

• Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?

En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.

A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:

• $\sin 90º$ y $\cos 90º$

• $\sin 180º$ y $\cos 180º$

• $\sin 270º$ y $\cos 270º$

• $\sin 360º$ y $\cos 360º$

En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.

A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.

Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:

• $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$

Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.

En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.

Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.

Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).

• Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.

• Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.

Considera el ángulo $\alpha = 215º$.

• Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.

• Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.

• Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.

Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:

• Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.

• Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.

• La tangente de $90º$ no existe.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:

«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»

Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.

En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.

• ¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.

• Si $\sin \alpha = 0,42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.

• ¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.

A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

• Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.

• Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.

• Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.

El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$.

• ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?

• Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Calcula $\tan \alpha$.

• Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.