Ecuaciones de segundo grado
La caja de un videojuego tiene una base cuadrada de $144\text{ cm}^2$. ¿Cuánto mide el lado? Usted busca un $x$ tal que $x^2 = 144$: es una ecuación de segundo grado (o cuadrática), porque la incógnita está elevada al cuadrado. Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o ninguna, y hay una fórmula que las resuelve todas.
Completar cuadrado
Un trinomio $x^2 + px + q$ se puede escribir como $(x + h)^2 + k$. La idea: $(x + h)^2 = x^2 + 2hx + h^2$, así que $h$ es la mitad de $p$. Se suma y se resta $h^2$ para no cambiar el valor.
Forma general
Gráficamente, $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola, y las soluciones son los puntos donde corta al eje x (los ceros de la función). Con la calculadora científica puede resolver la ecuación en el modo de ecuaciones (polinomio de grado 2): digite $a$, $b$ y $c$ y obtiene las raíces. Mueva $a$, $b$ y $c$ y observe cuántos cortes hay:
Para saber si un valor es solución, sustitúyalo en la ecuación: si el resultado es $0$, lo es.
Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta: a)…
Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta:
- a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 8x = 0$
- d) $3 - x^2 + 2x = 0$
Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$: a) $x = 1$ b) $x = 0$ c) $x = 3$ d) $x = -1$
Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$:
- a) $x = 1$
- b) $x = 0$
- c) $x = 3$
- d) $x = -1$
Ecuaciones incompletas
Se resuelven sin fórmula, y más rápido:
Factorización por inspección
Si $x^2 + bx + c = 0$, busque dos números $p$ y $q$ con $p + q = b$ y $p \cdot q = c$. Entonces $(x + p)(x + q) = 0$.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes indicarlo:
- a) $x^2 - 25 = 0$
- b) $3x^2 - 12 = 0$
- c) $x^2 + 16 = 0$
- d) $2x^2 = 50$
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común: a) $x^2 - 7x = 0$ b) $2x^2 + 10x = 0$ c)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $2x^2 + 10x = 0$
- c) $3x^2 = 6x$
- d) $x^2 + x = 0$
El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de…
El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de segundo grado.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz): a)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz):
- a) $4x^2 - 100 = 0$
- b) $3x^2 + 15x = 0$
- c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
- d) $5x^2 = 2x$
La fórmula general
Deducción: parta de $ax^2 + bx + c = 0$ y divida entre $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Complete cuadrado sumando $\frac{b^2}{4a^2}$ en ambos miembros: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. Saque la raíz con $\pm$ y despeje $x$.
Para cualquier ecuación cuadrática:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$El $\pm$ da dos soluciones: una sumando la raíz y otra restándola.
Cuando la ecuación viene con paréntesis, fracciones o fórmulas notables, primero desarrolle, reduzca y llévela a la forma $ax^2+bx+c=0$.
Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas: a) $x^2 - 6x + 8 = 0$ b)…
Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas:
- a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
- b) $x^2 + x - 12 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de los productos notables: $$(2x - 3)^2 - (x +…
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de los productos notables:
$$(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = -5$$Recuerde que para aplicar la fórmula general, primero debe reducir la ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.
Resuelva la siguiente ecuación operando previamente para simplificar los miembros y utilizando los productos notables donde sea necesario:…
Resuelva la siguiente ecuación operando previamente para simplificar los miembros y utilizando los productos notables donde sea necesario:
$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$
El discriminante: ¿cuántas soluciones?
Lo que hay dentro de la raíz, $\Delta = b^2 - 4ac$, se llama discriminante y dice cuántas raíces hay sin resolver:
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Raíces |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución (doble): $x = -\frac{b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real (no existe la raíz de un negativo) |
Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario…
Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario que calcules las soluciones):
- a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
- b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x - 1 = 0$
Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu…
Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu respuesta en cada caso:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$
¿Qué valor debería tomar el término independiente en la ecuación a) para que de repente no tuviera solución?
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución doble).
Ecuaciones con denominadores
Cuando la incógnita está en un denominador, el primer paso es eliminar los denominadores: se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y se multiplican los dos miembros por él. Así cada fracción se simplifica y suele quedar una ecuación cuadrática.
Antes de empezar, anote los valores que anulan algún denominador: esos números no pueden ser solución.
Resuelve la siguiente ecuación. Para ello, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar las incógnitas de los mismos y comprueba que las soluciones…
Resuelve la siguiente ecuación. Para ello, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar las incógnitas de los mismos y comprueba que las soluciones obtenidas no anulan ningún denominador:
$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$
Ecuaciones bicuadradas y con parámetros
En $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ solo aparecen $x^4$ y $x^2$. El truco es un cambio de variable: llamamos $t = x^2$ (así $x^4 = t^2$).
Si una ecuación tiene un parámetro y le dan una raíz, sustituya ese valor para hallar el parámetro. Por ejemplo, en $x^2 + kx + 12 = 0$ con $x = 3$: $9 + 3k + 12 = 0$, así que $k = -7$. Y si se quiere una raíz doble, pida $\Delta = 0$. La otra raíz se halla después con la fórmula o con el producto de las raíces.
Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente…
Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente ecuación:
$$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$$Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez encontrado $k$, halla la otra solución de la ecuación.
Problemas de segundo grado
Al resolver un problema, descarte las soluciones que no tengan sentido: una longitud negativa, una cantidad de personas con decimales… y escriba siempre una respuesta completa.
Población
Altura, Pitágoras y longitudes
Si un modelo da una altura, como $h(t) = -t^2 + 6t + 4$, preguntar cuándo la altura vale un dato es igualar y ordenar.
En un triángulo rectángulo con lados enteros consecutivos use Pitágoras, con la hipotenusa como el mayor.
Cuando una longitud total se reparte en dos trozos para formar figuras, un trozo es $x$ y el otro es lo que falta.
Trabajo en conjunto
Si una llave llena una pila en $x$ horas, en una hora llena $\frac{1}{x}$ de la pila. Cuando dos máquinas, llaves o personas trabajan juntas, lo que hacen en una hora se suma. Si juntas tardan $T$ horas, en una hora hacen $\frac{1}{T}$ del trabajo. El planteo sale de ahí: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{T}$.
Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles…
Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles soluciones.
Un programador de videojuegos está diseñando una interfaz para una nueva aplicación. Necesita crear un botón rectangular cuya base sea $5\text{ cm}$ más larga que su…
Un programador de videojuegos está diseñando una interfaz para una nueva aplicación. Necesita crear un botón rectangular cuya base sea $5\text{ cm}$ más larga que su altura. Si el área total que debe ocupar el botón en la pantalla es de $84\text{ cm}^2$, ¿cuáles deben ser las dimensiones (base y altura) del botón?
Plantea una ecuación de segundo grado y resuélvela.
El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando?
El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando?
Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total…
Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total (foto más marco) debe ser de $300\text{ cm}^2$, ¿cuál debe ser el ancho $x$ del marco?
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Una empresa de diseño paisajístico quiere rodear una piscina rectangular de $8 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho con un borde de césped artificial de ancho uniforme $x$. Si el área total del recinto (piscina más borde de césped) debe ser exactamente de $80 \text{ m}^2$, calcule cuánto debe medir el ancho $x$ del borde.
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Un dron de vigilancia despega y sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcula en qué instantes de tiempo el dron se encuentra exactamente a $53 \text{ metros}$ de altura.
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Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $2$ horas en completar una maqueta compleja. Si trabajasen por separado, la impresora más antigua tardaría $3$ horas más que la impresora nueva. ¿Cuánto tiempo tardaría cada una en hacer la maqueta en solitario? (Ayuda: recuerda que el trabajo realizado en una hora es la inversa del tiempo total).
Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres números enteros consecutivos.
Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres números enteros consecutivos.
Se dispone de un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que se corta en dos trozos para formar dos cuadrados diferentes. Si la suma de las áreas de los dos cuadrados es de…
Se dispone de un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que se corta en dos trozos para formar dos cuadrados diferentes. Si la suma de las áreas de los dos cuadrados es de $58 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide el lado de cada uno de estos cuadrados?
Vuelva al principio: en la caja del videojuego, $x^2 = 144 \Rightarrow x = \pm 12$. Como una longitud no puede ser negativa, el lado de la base mide $12\text{ cm}$.