Fracciones y decimales
La calculadora del celular de Fabiola dice que $\frac{1}{3} = 0{,}3333333$ y se queda tan tranquila. Pero usted sabe que ese 3 sigue para siempre. ¿Cómo se escribe eso sin tinta infinita? ¿Y cómo se recupera la fracción si solo se tiene el decimal? Aquí lo va a ver. De paso va a repasar las fracciones y a ordenar todos los tipos de números que conoce.
Repaso: fracciones equivalentes y recta numérica
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. $\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$ lo son: multiplicando numerador y denominador por 3 se pasa de una a otra.
Para comprobarlo, tiene dos caminos:
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Producto cruzado: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ si $a \cdot d = b \cdot c$.
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Simplificar las dos hasta la fracción irreducible (dividir numerador y denominador por su divisor común más grande). Si dan lo mismo, son equivalentes.
Para ubicar una fracción en la recta numérica, divida cada unidad en tantas partes como indica el denominador. $\frac{3}{2}$ está entre 1 y 2, justo en la mitad. $-1{,}5$ es su simétrico respecto del 0.
Observe la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono celular. 1. Escriba la fracción que representa la parte cargada de la…
Observe la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono celular.
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Escriba la fracción que representa la parte cargada de la batería respecto al total.
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Simplifique dicha fracción hasta obtener su fracción irreducible.
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Si la batería tiene una capacidad total de $4000 \text{ mAh}$, ¿cuántos mAh de energía quedan disponibles?
Indique si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Para justificar su respuesta, utilice el método del producto cruzado (multiplicar en cruz) o simplifique…
Indique si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Para justificar su respuesta, utilice el método del producto cruzado (multiplicar en cruz) o simplifique ambas fracciones hasta obtener la irreducible.
- a) $\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$
- b) $\frac{4}{7}$ y $\frac{10}{21}$
- c) $\frac{-2}{3}$ y $\frac{8}{-12}$
Representa en la siguiente recta numérica, de forma aproximada, los números racionales que se indican a continuación. Números a representar: $A = \frac{3}{2}$…
Representa en la siguiente recta numérica, de forma aproximada, los números racionales que se indican a continuación.
Números a representar:
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$A = \frac{3}{2}$
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$B = -\frac{1}{2}$
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$C = \frac{3}{4}$
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$D = -1,5$
Repaso: operaciones combinadas
Se respeta siempre la jerarquía: paréntesis, luego potencias, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas.
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Para sumar o restar, busque un denominador común (el m.c.m. de los denominadores).
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Para multiplicar, multiplique numeradores y denominadores.
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Para dividir, multiplique por la fracción inversa: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.
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Un exponente negativo invierte la fracción: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$.
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones. Recuerda simplificar el resultado final siempre que sea posible y respeta la jerarquía de las operaciones…
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones. Recuerda simplificar el resultado final siempre que sea posible y respeta la jerarquía de las operaciones (primero paréntesis, luego multiplicaciones/divisiones, y finalmente sumas/restas).
- a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
- b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
- c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$
Un grupo de amigos compra una pizza gigante para cenar. Ana se come $\frac{1}{6}$ de la pizza. Carlos se come $\frac{2}{6}$ de la pizza. Beatriz se come $\frac{1}{3}$ de…
Un grupo de amigos compra una pizza gigante para cenar.
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Ana se come $\frac{1}{6}$ de la pizza.
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Carlos se come $\frac{2}{6}$ de la pizza.
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Beatriz se come $\frac{1}{3}$ de la pizza.
- a) ¿Qué fracción de la pizza se han comido entre los tres? (Recuerda reducir a común denominador si es necesario).
- b) ¿Qué fracción de pizza ha sobrado?
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Recuerda simplificar el resultado final hasta obtener la…
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Recuerda simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.
$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$De fracción a decimal
Para pasar una fracción a decimal basta con dividir el numerador entre el denominador. Lo interesante es qué tipo de decimal sale:
| Tipo | Ejemplo | Cómo es |
|---|---|---|
| Exacto | $\frac{3}{8} = 0{,}375$ | Tiene una cantidad finita de decimales. |
| Periódico puro | $\frac{5}{11} = 0{,}454545\ldots = 0{,}\overline{45}$ | El grupo que se repite (el periodo) empieza justo después de la coma. |
| Periódico mixto | $\frac{7}{6} = 1{,}1666\ldots = 1{,}1\overline{6}$ | Antes del periodo hay cifras que no se repiten (el anteperiodo). |
El periodo se marca con una raya encima: $0{,}\overline{45}$. También se usa un arco: $0{,}\widehat{45}$. Significan lo mismo.
¿Por qué se repiten las cifras?
Al dividir entre 7, el resto solo puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6 (si sale 0, la división termina). Entonces, tarde o temprano un resto se repite, y desde ahí la división vuelve a dar las mismas cifras. Observe la «rueda de restos» de $1 : 7$:
Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en…
Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en su correspondiente fracción generatriz.
- a) $2,5$
- b) $1,333...$
- c) $4,1252525...$
- d) $0,08$
De decimal a fracción: la fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico viene de una fracción, que se llama su fracción generatriz.
Exacto. Se escribe el número sin coma en el numerador y, en el denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales. Después se simplifica.
$$3{,}75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$$Periódico. El truco es multiplicar por una potencia de 10 para que, al restar, las colas infinitas se anulen.
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales durante el proceso.
$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificando el resultado…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificando el resultado paso a paso:
$$ \frac{1,1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot 0,1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$Nota: Recuerda respetar la jerarquía de las operaciones y trabajar con fracciones durante todo el proceso para evitar errores de redondeo.
Sea $x$ un número decimal periódico mixto cuya parte entera es 0. Sabiendo que: Su anteperiodo tiene 2 cifras. Su periodo tiene 1 cifra. La fracción generatriz…
Sea $x$ un número decimal periódico mixto cuya parte entera es 0.
Sabiendo que:
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Su anteperiodo tiene 2 cifras.
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Su periodo tiene 1 cifra.
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La fracción generatriz irreducible de dicho número tiene como denominador 900.
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El número satisface que: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$
Encuentra todos los posibles valores de $x$ y exprésalos como fracción y como número decimal.
Porcentajes, fracciones y decimales
Un porcentaje es una fracción con denominador 100: 25 % significa $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$. Las tres formas son el mismo número.
Para calcular un porcentaje de una cantidad, multiplique por el decimal: el $15\,\%$ de ₡8.000 es $8.000 \cdot 0{,}15 = 1.200$ colones. Para saber qué porcentaje es una parte, divida: ₡1.200 de ₡8.000 es $\frac{1.200}{8.000} = 0{,}15 = 15\,\%$.
Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales. a) $25\%$ b) $0,75$ c) $10\%$ d) $1,5$
Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales.
- a) $25\%$
- b) $0,75$
- c) $10\%$
- d) $1,5$
Todos los números: de los naturales a los reales
Cada vez que una operación «no se podía hacer», se ampliaron los números:
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Con los naturales $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ no se puede hacer $3 - 5$.
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Por eso aparecen los enteros $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Pero con ellos no se puede hacer $3 : 5$.
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Así llegan los racionales $\mathbb{Q}$: todos los que se escriben como fracción (decimales exactos y periódicos).
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Aun así faltan números: los irracionales, decimales con infinitas cifras sin periodo, como $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ o $\pi = 3{,}14159265\ldots$
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Racionales e irracionales juntos forman los reales $\mathbb{R}$: todos los puntos de la recta.
¿De dónde salen los irracionales?
Un cuadrado tiene área $2\ \text{m}^2$. ¿Cuánto mide su lado $x$? Debe cumplirse $x^2 = 2$. Como $1{,}4^2 = 1{,}96$ y $1{,}5^2 = 2{,}25$, el lado está entre 1,4 y 1,5, pero ninguna fracción lo da exacto: $x = \sqrt{2}$ es irracional. También lo son $\pi$ y el número $e$.
Los irracionales se reconocen por su expansión decimal infinita no periódica. Un patrón como $0{,}1010010001\ldots$ (cada vez un cero más entre los unos) nunca repite un grupo fijo: es irracional. La calculadora solo muestra una aproximación.
El número $e$ se aproxima con racionales: $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ da $2$ si $n = 1$, cerca de $2{,}594$ si $n = 10$, cerca de $2{,}705$ si $n = 100$ y cerca de $2{,}717$ si $n = 1000$. Se acerca a $e = 2{,}71828\ldots$
Reales y no reales
Un número real es racional o irracional. Ningún real elevado al cuadrado da un resultado negativo, así que $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-25}$ no son reales.
Un mismo número, varias formas
Multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0{,}707106\ldots$ Son el mismo número real.
Comparar, ordenar y ubicar en la recta
Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales…
Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales (exactos o periódicos), halla su fracción generatriz simplificada.
- a) $4,25$
- b) $-7$
- c) $3,1\widehat{6}$
- d) $5,\widehat{27}$
- e) $-\frac{18}{3}$
Una vez obtenidas las fracciones, ordénalas de menor a mayor.
Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo: $$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5}…
Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo:
$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$Explica detalladamente el procedimiento que has seguido para encontrarlos y demuestras que, efectivamente, pertenecen a dicho intervalo.
Problemas: fracción de una cantidad y de lo que queda
Para calcular una fracción de una cantidad, multiplique: los $\frac{3}{10}$ de 500 son $500 \cdot \frac{3}{10} = 150$.
Cuando se habla de la fracción «de lo que queda», la base cambia. Un esquema ayuda a no perderse.
En un colegio de 500 estudiantes, se realizó una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes: $\frac{1}{2}$ de los estudiantes prefiere el…
En un colegio de 500 estudiantes, se realizó una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes:
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$\frac{1}{2}$ de los estudiantes prefiere el fútbol.
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$\frac{3}{10}$ de los estudiantes prefiere el baloncesto.
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El resto de los estudiantes prefiere otros deportes.
- a) ¿Cuántos estudiantes prefieren el fútbol?
- b) ¿Cuántos estudiantes prefieren el baloncesto?
- c) ¿Qué fracción del total de estudiantes prefiere "otros deportes"?
Tres amigos, Ana, Beto y Carla, deciden comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\text{₡}\ 60\,000$. Ana aporta $\frac{2}{5}$ del total. Beto aporta $\frac{1}{3}$ del…
Tres amigos, Ana, Beto y Carla, deciden comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\text{₡}\ 60\,000$.
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Ana aporta $\frac{2}{5}$ del total.
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Beto aporta $\frac{1}{3}$ del total.
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Carla pone el resto.
- a) ¿Qué fracción del total aporta Carla?
- b) ¿Cuántos colones paga cada uno?
- c) Si hubieran decidido pagar a partes iguales, ¿qué fracción del total habría pagado cada uno y cuánto dinero representaría?
Javier ha estado revisando el almacenamiento de su teléfono celular, que tiene una capacidad total de $128 \text{ GB}$. Observa la siguiente distribución de sus datos:…
Javier ha estado revisando el almacenamiento de su teléfono celular, que tiene una capacidad total de $128 \text{ GB}$. Observa la siguiente distribución de sus datos:
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El sistema operativo y las aplicaciones preinstaladas ocupan $\frac{1}{8}$ del total.
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Las fotos y videos de sus vacaciones ocupan $\frac{2}{5}$ del resto (lo que queda libre tras contar el sistema).
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Sus juegos ocupan $\frac{1}{4}$ de lo que quedaba tras guardar las fotos.
¿Qué fracción del total representa el espacio que aún tiene libre? ¿Cuántos Gigabytes (GB) son? Apóyese en el siguiente esquema para visualizar el problema.
Problemas: perímetros, áreas y potencias
Las fracciones también aparecen como medidas. Un lado de $\frac{15}{2}$ m y otro que es $\frac{2}{3}$ del primero se calculan con fracciones: $\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{2} = 5$ m. El perímetro del rectángulo es $2 \cdot \left(\frac{15}{2} + 5\right)$ y el área es el producto de los lados. Si después hay que pagar por metro, se multiplica el perímetro por el precio. Si el precio es decimal, conviértalo a fracción o pase todo a decimal al final.
Otra situación frecuente: algo que se duplica cada hora. Si ocupa $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6}$ de un espacio, después de 1 hora ocupa $\frac{2}{2^6} = \frac{1}{2^5}$. Cada hora el exponente del denominador baja una unidad.
Se quiere vallar un terreno rectangular. Sabemos que la longitud de su base es de $\frac{15}{2}$ metros y su altura mide $\frac{2}{3}$ de la medida de la base. a)…
Se quiere vallar un terreno rectangular. Sabemos que la longitud de su base es de $\frac{15}{2}$ metros y su altura mide $\frac{2}{3}$ de la medida de la base.
- a) Calcula el perímetro del rectángulo en forma de fracción y en forma decimal.
- b) Calcula el área del terreno en metros cuadrados ($\text{m}^2$).
- c) Si el metro de valla cuesta $\text{₡}\ 8,50$, ¿cuánto costará cercar todo el terreno?
Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Inicialmente, en un cultivo hay un número determinado de bacterias que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacidad…
Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Inicialmente, en un cultivo hay un número determinado de bacterias que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacidad total de la placa de Petri.
- a) Si cada hora se duplica la población, ¿qué fracción de la placa estará ocupada después de 3 horas? Expresa el resultado como una potencia de base 2.
- b) ¿Cuántas horas en total tendrán que pasar (desde el inicio) para que la placa esté completamente llena (es decir, la fracción sea 1)?
- c) Si al inicio había 500 bacterias (correspondientes a ese $\frac{1}{64}$), ¿cuántas bacterias habrá cuando la placa esté a la mitad de su capacidad?
Problemas con más de una condición
Llaves y trabajos en equipo. Si una llave llena un tanque en 4 horas, en 1 hora llena $\frac{1}{4}$ del tanque. Un desagüe que lo vacía en 8 horas resta $\frac{1}{8}$ por hora. Se suman los «aportes por hora» y se multiplican por las horas que trabaja cada uno.
Aleaciones y mezclas. Si hay 5 partes de oro por cada 2 de cobre, el oro es $\frac{5}{7}$ del lingote. Con una incógnita $x$ (los gramos del primer lingote), los del segundo son el total menos $x$, y se plantea una ecuación con la cantidad de oro.
Figuras. Para saber qué fracción de un cuadrado es una zona sombreada, divida la figura en partes iguales y cuente. Si hace falta, exprese cada parte como fracción del área total.
Observa la siguiente figura geométrica que representa un terreno cuadrado dividido en diferentes parcelas de cultivo. Calcula qué fracción del área total del cuadrado…
Observa la siguiente figura geométrica que representa un terreno cuadrado dividido en diferentes parcelas de cultivo.
Calcula qué fracción del área total del cuadrado representa la zona sombreada (color naranja). Expresa el resultado como una fracción irreducible.
Tres llaves ($A$, $B$ y $C$) vierten agua a un tanque, y un desagüe ($D$) permite vaciarlo. La llave $A$ llena el tanque en 4 horas si funciona sola. La llave $B$ llena…
Tres llaves ($A$, $B$ y $C$) vierten agua a un tanque, y un desagüe ($D$) permite vaciarlo.
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La llave $A$ llena el tanque en 4 horas si funciona sola.
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La llave $B$ llena el tanque en 6 horas si funciona sola.
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La llave $C$ llena el tanque en 12 horas si funciona sola.
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El desagüe $D$ vacía el tanque lleno en 8 horas.
El tanque está inicialmente vacío. Se abren las tres llaves ($A$, $B$, $C$) y el desagüe ($D$) simultáneamente. Sin embargo, a las 2 horas de funcionamiento, se cierra la llave $A$ por una falla, dejando las otras dos y el desagüe funcionando.
Calcule el tiempo total (en horas y minutos) que tardará el tanque en llenarse por completo desde el inicio.
Un joyero dispone de dos lingotes de una aleación de oro y cobre. El primer lingote tiene una pureza tal que por cada 5 partes de oro hay 2 de cobre. El segundo lingote…
Un joyero dispone de dos lingotes de una aleación de oro y cobre.
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El primer lingote tiene una pureza tal que por cada 5 partes de oro hay 2 de cobre.
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El segundo lingote es de menor calidad, teniendo 3 partes de oro por cada 4 partes de cobre.
El joyero funde una cierta cantidad del primer lingote con una cierta cantidad del segundo para obtener un nuevo lingote de 420 gramos. Si desea que la fracción final de oro en el nuevo lingote sea exactamente $\frac{2}{3}$ del peso total:
¿Cuántos gramos debe cortar y fundir de cada uno de los dos lingotes originales?
Ampliación: errores de medición
Al medir, casi nunca se obtiene el valor exacto. Se compara lo medido con el valor real:
El error absoluto dice cuánto se equivocó la medición. El relativo dice cuánto pesa ese error comparado con lo que se estaba midiendo.
Si los valores son decimales pequeños, réstelos directamente: $0{,}0002345 - 0{,}00023 = 0{,}0000045$ m.
Cantidades muy pequeñas se escriben con una potencia de 10 de exponente negativo: $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1$, $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$ y $10^{-4} = 0{,}0001$. El exponente indica cuántos lugares queda el 1 después de la coma. Así, $2{,}3 \cdot 10^{-4} = 2{,}3 \cdot 0{,}0001 = 0{,}00023$.
Tenemos dos básculas diferentes. Báscula A: Se utiliza en un laboratorio y al pesar una probeta nos da un valor de $24,5 \text{ g}$. El valor real exacto es…
Tenemos dos básculas diferentes.
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Báscula A: Se utiliza en un laboratorio y al pesar una probeta nos da un valor de $24,5 \text{ g}$. El valor real exacto es $\frac{49}{2} \text{ g}$.
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Báscula B: Se utiliza en un almacén y al pesar una caja nos da un valor de $5,4 \text{ kg}$. El valor real exacto es $\frac{16}{3} \text{ kg}$.
Calcula el error absoluto y el error relativo cometido en cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones es más precisa? Justifica tu respuesta basándote en el error relativo.
En un laboratorio de química se están realizando mediciones de precisión. Dos estudiantes, Álex y Bea, miden la longitud de una fibra microscópica. El valor real de la…
En un laboratorio de química se están realizando mediciones de precisión. Dos estudiantes, Álex y Bea, miden la longitud de una fibra microscópica.
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El valor real de la longitud de la fibra es $2,345 \cdot 10^{-4}$ metros.
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Álex obtiene una medida de $2,3 \cdot 10^{-4}$ metros.
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Bea obtiene una medida de $2,4 \cdot 10^{-4}$ metros.
Responde justificando tus respuestas con cálculos:
a) Calcula el error absoluto cometido por cada estudiante. Expresa el resultado en notación científica.
b) Calcula el error relativo de cada medición y exprésalo como un porcentaje.
c) Basándote en el error relativo, ¿cuál de las dos mediciones es más precisa y por qué?
d) Si truncamos el valor real a las diezmilésimas, ¿coincide con el redondeo a las diezmilésimas? Explícalo.
Vuelva al principio: el número de la pantalla se escribe sin tinta infinita como $0{,}\overline{3}$ y se recupera su fracción restando colas: $10x - x = 3{,}333\ldots - 0{,}333\ldots \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.