Teorema de Pitágoras
Ximena tiene una caja de $80\text{ cm} \times 60\text{ cm} \times 50\text{ cm}$ y quiere guardar una barra rígida de $1{,}10\text{ m}$. ¿Entra? Con el teorema de Pitágoras podrá responder esto, y también calcular diagonales, alturas y distancias en figuras y cuerpos que parecen no tener ningún triángulo rectángulo a la vista.
El teorema y cuándo se usa
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la…
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la fachada. Calcula la longitud total de la escalera.
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una…
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una altura de $12\text{ m}$. Determina a qué distancia de la base del mástil está anclado el cable en el suelo.
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcule la longitud de su diagonal para saber el tamaño…
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcule la longitud de su diagonal para saber el tamaño real de la pantalla.
Diagonales de cuadrados y rombos
La diagonal de un rectángulo o de un cuadrado, y el lado de un rombo a partir de sus diagonales, son casos clásicos: siempre hay un triángulo rectángulo escondido entre las medidas que conoce y la que busca.
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de…
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de la cometa (el lado del rombo).
El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcule la longitud de la otra diagonal y el área de la…
El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcule la longitud de la otra diagonal y el área de la superficie de la piscina.
Alturas y apotemas
Cuando una figura no tiene un ángulo recto a la vista, se lo fabrica: se traza la altura. En un triángulo isósceles la altura cae sobre el punto medio de la base y deja dos triángulos rectángulos iguales.
Lo mismo pasa en un trapecio isósceles o rectángulo: se trazan alturas y aparece un triángulo rectángulo en cada lado inclinado, cuyo cateto horizontal es la diferencia de las bases (repartida a ambos lados si el trapecio es isósceles).
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la…
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la señal.
El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. La anchura en la parte superior es de $8\text{ m}$, la anchura en el fondo es de…
El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. La anchura en la parte superior es de $8\text{ m}$, la anchura en el fondo es de $2\text{ m}$ y la profundidad del canal es de $4\text{ m}$. Calcula la longitud de los lados inclinados $x$ del canal.
Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.
Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide…
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide $25\text{ m}$. Calcula el perímetro total de la parcela.
Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El…
Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El otro cable está anclado a $16\text{ m}$ de la base. Calcula la altura de la antena y la longitud del segundo cable.
Cuerdas y circunferencias
El radio, la mitad de una cuerda y la distancia del centro a esa cuerda forman siempre un triángulo rectángulo (la distancia al centro es perpendicular a la cuerda y la corta por la mitad).
Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si…
Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si el nivel del agua está por debajo del centro de la tubería, ¿cuál es la profundidad máxima del agua $h$?
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro…
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro de $40\text{ cm}$. Si ambos cortes se realizan a lados opuestos del centro del círculo, calcula la distancia perpendicular que separa a los dos cortes.
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide…
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide $18\text{ cm}$. Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito el triángulo.
Pitágoras en el espacio
En tres dimensiones, Pitágoras se aplica dos veces: primero en una cara para obtener una diagonal plana, y luego con esa diagonal y la arista que falta para obtener la diagonal del cuerpo.
Vuelva al principio: la barra de Ximena mide $110\text{ cm}$, menos que $111{,}8\text{ cm}$, así que entra, pero inclinada y muy ajustada.
Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo,…
Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo, $60\text{ cm}$ de ancho y $50\text{ cm}$ de alto. Calcule la longitud máxima que puede tener la barra para que quepa completamente cerrada dentro de la caja.
La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un…
La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un vértice de la base hasta la cúspide) es de $219\text{ m}$. Calcula la altura $h$ de la pirámide.
Una habitación tiene forma de ortoedro de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del…
Una habitación tiene forma de ortoedro de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del techo y quiere llegar a la esquina opuesta del piso caminando por las paredes, el techo o el piso. Si la araña toma el camino más corto posible, calcule dicha distancia. (Pista: imagine el desarrollo plano de la habitación).
Los teoremas de la altura y del cateto
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa $a$ la divide en dos segmentos: $m$ (la proyección de un cateto $b$) y $n$ (la proyección del cateto $c$).
En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos…
En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de $4\text{ m}$ y $9\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura.
En un parque, un parterre de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide…
En un parque, un parterre de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $9\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud de ese cateto.
El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la…
El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la proyección de una de las vertientes (cateto) sobre la base es de $8\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra proyección y la medida de los dos lados inclinados del tejado.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la altura, o el teorema de Pitágoras iterativamente, calcula la longitud de la hipotenusa $a$ y del otro cateto $c$.
Pitágoras con ecuaciones
A veces no conoce ningún lado completo, sino relaciones entre ellos. Entonces Pitágoras se convierte en una ecuación (o un sistema) con incógnitas.
En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos.…
En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos. Plantea la ecuación correspondiente usando el teorema de Pitágoras y determina las longitudes de los tres lados.
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden…
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden $13\text{ m}$ y $15\text{ m}$. Planteando un sistema de ecuaciones con el teorema de Pitágoras, calcula la altura del trapecio.
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre…
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $15\text{ m}$ hasta la base de la torre de $20\text{ m}$, recorriendo exactamente $25\text{ m}$. Calcula la distancia entre las bases de las torres. A continuación, si otro pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $20\text{ m}$ hasta la base de la torre de $15\text{ m}$, ¿qué distancia recorrerá?