Con un dado o una moneda, contar los casos posibles es inmediato. Pero ¿y si el experimento es generar una clave de $6$ caracteres, o elegir $6$ números del Loto entre $41$, o una comisión de $3$ estudiantes entre los $20$ de tu curso? Contar uno por uno es inviable. Para eso están las técnicas de conteo, y aquí las vas a usar para calcular el numerador y el denominador de la regla de Laplace. Después las combinaremos con las herramientas de probabilidad que aparecen en los problemas de este apartado: probabilidad condicionada, tablas de doble entrada, árboles, Bayes, variables continuas, binomial y normal.
El principio fundamental del conteo
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Para mejorar la seguridad de una aplicación para celular, un desarrollador decide crear códigos de acceso consistentes en una letra mayúscula (considerando las 26 letras…
Para mejorar la seguridad de una aplicación para celular, un desarrollador decide crear códigos de acceso consistentes en una letra mayúscula (considerando las 26 letras del alfabeto estándar) seguida de tres dígitos (del 0 al 9).
¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear si los dígitos pueden repetirse?
¿Cuántos códigos diferentes habría si los tres dígitos tienen que ser distintos entre sí?
Si se genera un código al azar con dígitos repetibles, ¿cuál es la probabilidad de que la letra sea una 'Z'?
Cuando se eligen $r$ elementos de un total de $n$ sin repetirlos y el orden importa (no es lo mismo $AB$ que $BA$), hablamos de variaciones.
Los incisos a) y b) del siguiente ejercicio se resuelven con lo que acabas de ver; el c) lo vas a poder resolver después de la sección de combinaciones.
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Para mejorar la seguridad de una plataforma de e-sports, se requiere que los usuarios creen una clave de acceso de 6 caracteres. Los dos primeros deben ser letras…
Para mejorar la seguridad de una plataforma de e-sports, se requiere que los usuarios creen una clave de acceso de 6 caracteres. Los dos primeros deben ser letras mayúsculas del abecedario español (27 letras) y los cuatro restantes deben ser dígitos del $0$ al $9$.
Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden generar si:
a) Se permiten repeticiones de letras y números.
b) No se permite repetir ninguna letra, pero sí los números.
c) Las letras deben ser distintas y los números deben formar una secuencia estrictamente creciente (por ejemplo: $1258$, pero no $1225$ ni $4321$).
Las permutaciones son el caso particular de las variaciones en que se ordenan todos los elementos disponibles ($r=n$).
Cuando hay elementos repetidos
La palabra BLOCKCHAIN tiene $10$ letras, pero la C aparece dos veces. Si intercambias las dos C, la clave que se forma es la misma. Entonces las $10!$ ordenaciones cuentan cada clave dos veces.
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Una empresa de ciberseguridad genera claves de acceso mediante la permutación de los caracteres de la palabra BLOCKCHAIN. Se elige una de estas claves al azar. a)…
Una empresa de ciberseguridad genera claves de acceso mediante la permutación de los caracteres de la palabra BLOCKCHAIN. Se elige una de estas claves al azar.
a) Calcula la probabilidad de que la clave elegida comience y termine por vocal.
b) Determina la probabilidad de que todas las vocales aparezcan juntas en la clave.
c) Si se sabe que la clave empieza por B, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda letra sea una L?
Cuando se eligen $r$ elementos de $n$ y no importa el orden (elegir $\{A, B\}$ es lo mismo que elegir $\{B, A\}$), hablamos de combinaciones.
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Una clase de ingeniería tiene que elegir una comisión de 3 representantes. Si en la clase hay 20 estudiantes, calcula: ¿De cuántas formas se puede elegir la comisión si…
Una clase de ingeniería tiene que elegir una comisión de 3 representantes. Si en la clase hay 20 estudiantes, calcula:
¿De cuántas formas se puede elegir la comisión si los tres cargos (delegado, subdelegado y secretario) son distintos?
¿De cuántas formas se puede elegir si los tres representantes tienen el mismo rango y no importa el orden?
Si hay 12 hombres y 8 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que la comisión (sin cargos diferenciados) esté formada solo por mujeres? (Plantea la fracción mediante números combinatorios).
Estas técnicas sirven para aplicar la regla de Laplace cuando los casos favorables o posibles son demasiados para enumerarlos a mano.
Complemento y unión
Dos reglas que se usan todo el tiempo:
Eventos «solo» y leyes de De Morgan
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En un club de deportes electrónicos (eSports), se analiza la especialización de sus 100 socios. Se sabe que 65 de ellos juegan habitualmente a League of Legends* (evento…
En un club de deportes electrónicos (eSports), se analiza la especialización de sus 100 socios. Se sabe que 65 de ellos juegan habitualmente a League of Legends (evento $L$), 40 juegan a Valorant (evento $V$) y 15 juegan a ambos videojuegos.
Calcula la probabilidad de que, al elegir un socio al azar:
Juegue a alguno de los dos videojuegos ($L \cup V$).
No juegue a ninguno de los dos.
Juegue solo a League of Legends.
Ilustra la situación mediante un diagrama de Venn.
Una urna contiene 12 bolas de cristal para un experimento de óptica: 5 son azules, 4 son rojas y 3 son amarillas. Si extraemos una bola al azar, calcula las siguientes…
Una urna contiene 12 bolas de cristal para un experimento de óptica: 5 son azules, 4 son rojas y 3 son amarillas. Si extraemos una bola al azar, calcula las siguientes probabilidades utilizando la regla de Laplace:
En un laboratorio de robótica, se han mezclado en una caja 8 sensores de proximidad en perfecto estado y 2 sensores defectuosos. Un alumno extrae dos sensores de forma…
En un laboratorio de robótica, se han mezclado en una caja 8 sensores de proximidad en perfecto estado y 2 sensores defectuosos. Un alumno extrae dos sensores de forma consecutiva y sin reemplazamiento (sin devolver el primero a la caja).
Calcula la probabilidad de que:
Ambos sensores funcionen correctamente.
El primero sea defectuoso y el segundo esté en buen estado.
A veces sabes algo antes de calcular: «sabiendo que es alumno...», «si el primer componente salió defectuoso...». Esa información reduce los casos posibles.
Tablas de doble entrada
Cuando los datos clasifican a las personas según dos características a la vez, se ordenan en una tabla de doble entrada: las filas son una característica, las columnas la otra, y en los bordes están los totales.
En un curso de $40$ estudiantes se les preguntó cómo vienen al liceo:
Micro
A pie
Total
Hombres
12
8
20
Mujeres
14
6
20
Total
26
14
40
Cómo leerla:
Una probabilidad simple usa los totales: $P(\text{mujer})=\dfrac{20}{40}=0{,}5$ y $P(\text{micro})=\dfrac{26}{40}=0{,}65$.
Una intersección usa una celda: $P(\text{mujer}\cap\text{micro})=\dfrac{14}{40}=0{,}35$.
Una condicionada «reduce» la tabla a una sola fila o columna, y el total de esa fila pasa a ser el denominador: $P(\text{micro}\mid\text{mujer})=\dfrac{14}{20}=0{,}7$.
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Se ha realizado una encuesta a los 60 alumnos de 2º de Bachillerato de un instituto tecnológico sobre el uso de redes sociales para informarse sobre noticias…
Se ha realizado una encuesta a los 60 alumnos de 2º de Bachillerato de un instituto tecnológico sobre el uso de redes sociales para informarse sobre noticias científicas. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:
Usan X (Twitter)
Usan Instagram
Total
Alumnos
18
12
30
Alumnas
10
20
30
Total
28
32
60
Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
Sea una alumna.
Use Instagram para informarse.
Sabiendo que es alumno, prefiera informarse a través de la red social X.
Un estudiante tiene dos pruebas el mismo día: Matemática e Inglés. Por su historial de notas, estima que la probabilidad de aprobar Matemática ($M$) es de $0,7$, la de…
Un estudiante tiene dos pruebas el mismo día: Matemática e Inglés. Por su historial de notas, estima que la probabilidad de aprobar Matemática ($M$) es de $0,7$, la de aprobar Inglés ($I$) es de $0,8$ y la de aprobar ambas es de $0,6$.
¿Son los eventos "Aprobar Matemática" y "Aprobar Inglés" independientes? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Calcula la probabilidad de que apruebe al menos una de las dos pruebas.
En el estudio de rendimiento de un nuevo procesador gráfico, se definen los eventos $A$: "el procesador supera los $100$ FPS en ultra" y $B$: "el procesador mantiene una…
En el estudio de rendimiento de un nuevo procesador gráfico, se definen los eventos $A$: "el procesador supera los $100$ FPS en ultra" y $B$: "el procesador mantiene una temperatura inferior a $70^\circ$C". Se conocen las siguientes probabilidades:
$P(A) = 0,65$
$P(B) = 0,50$
$P(A^c \cup B^c) = 0,70$
Determina de forma razonada:
a) La probabilidad de que se cumplan ambos eventos a la vez.
b) La probabilidad de que se cumpla solo el evento $A$.
c) ¿Son los eventos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta.
Cuando un experimento se hace en etapas, un diagrama de árbol ordena los datos. Sobre cada rama se escribe su probabilidad (en la segunda etapa, condicionada a la primera) y, para llegar a un resultado, se multiplican las ramas del camino.
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En el laboratorio de un hospital, dos analizadores automáticos, $A$ y $B$, procesan las muestras de sangre. El analizador $A$ procesa el $60 \%$ de las muestras y el $B$…
En el laboratorio de un hospital, dos analizadores automáticos, $A$ y $B$, procesan las muestras de sangre. El analizador $A$ procesa el $60 \%$ de las muestras y el $B$ el $40 \%$ restante. Se sabe que el $2 \%$ de las muestras del analizador $A$ deben repetirse por error de lectura, mientras que en el $B$ ese porcentaje es del $5 \%$.
Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que una muestra elegida al azar deba repetirse.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una empresa de desarrollo de software utiliza tres servidores para alojar su API: el servidor $S_1$ gestiona el $45\%$ del tráfico, el $S_2$ el $35\%$ y el $S_3$ el…
Una empresa de desarrollo de software utiliza tres servidores para alojar su API: el servidor $S_1$ gestiona el $45\%$ del tráfico, el $S_2$ el $35\%$ y el $S_3$ el resto. Debido a la carga, el servidor $S_1$ falla (error 500) en el $2\%$ de las peticiones, $S_2$ en el $3\%$ y $S_3$ en el $5\%$.
a) Si un usuario realiza una petición, ¿cuál es la probabilidad de que el servidor devuelva un error?
b) Si una petición ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido gestionada por el servidor $S_3$?
Un laboratorio de robótica tiene dos cajas de componentes. La Caja 1 contiene $8$ sensores de proximidad y $4$ actuadores. La Caja 2 contiene $5$ sensores de proximidad…
Un laboratorio de robótica tiene dos cajas de componentes. La Caja 1 contiene $8$ sensores de proximidad y $4$ actuadores. La Caja 2 contiene $5$ sensores de proximidad y $7$ actuadores. Se elige una caja al azar y se extraen sucesivamente dos componentes sin reemplazamiento.
a) Calcula la probabilidad de que los dos componentes extraídos sean actuadores.
b) Si sabemos que los dos componentes extraídos han sido sensores de proximidad, ¿cuál es la probabilidad de que provengan de la Caja 1?
La probabilidad total va de la causa al efecto. Bayes hace el camino inverso: sabiendo que ocurrió el efecto, ¿cuál es la probabilidad de cada causa?
Los siguientes ejercicios combinan árboles, probabilidad total y Bayes (el último también pide justificar dependencia con cálculos).
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Un servidor de almacenamiento de datos recibe peticiones de tres tipos de clientes: Bronce ($50\%$), Plata ($30\%$) y Oro ($20\%$). Debido a la saturación, el servidor…
Un servidor de almacenamiento de datos recibe peticiones de tres tipos de clientes: Bronce ($50\%$), Plata ($30\%$) y Oro ($20\%$). Debido a la saturación, el servidor puede rechazar peticiones. Se sabe que la probabilidad de que una petición sea rechazada es del $10\%$ para clientes Bronce, del $5\%$ para clientes Plata y del $1\%$ para clientes Oro.
a) Si se selecciona una petición al azar y resulta ser rechazada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de un cliente de tipo Bronce?
b) Tras una actualización del sistema, la probabilidad total de rechazo ha bajado al $4\%$. Si las probabilidades de los clientes Plata y Oro se mantienen iguales, ¿cuál es la nueva probabilidad de rechazo para los clientes Bronce?
Se dispone de una urna $A$ con 4 bolas blancas y 6 bolas negras, y una urna $B$ con 7 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado equilibrado: si sale un número menor o…
Se dispone de una urna $A$ con 4 bolas blancas y 6 bolas negras, y una urna $B$ con 7 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado equilibrado: si sale un número menor o igual que 2, se extrae una bola de la urna $A$ y se introduce en la $B$, para luego extraer una bola de $B$. Si sale un número mayor que 2, se extrae una bola de la urna $B$ y se introduce en la $A$, para luego extraer una bola de $A$.
Calcula la probabilidad de que la bola extraída en segundo lugar sea blanca.
Un dispositivo electrónico consta de dos componentes críticos, $C_1$ y $C_2$, conectados en paralelo (el dispositivo funciona si al menos uno de los dos funciona). La…
Un dispositivo electrónico consta de dos componentes críticos, $C_1$ y $C_2$, conectados en paralelo (el dispositivo funciona si al menos uno de los dos funciona). La probabilidad de que $C_1$ falle en un año es $0,15$, y la de que $C_2$ falle es $0,20$. Sin embargo, las fallas no son independientes: si $C_1$ falla, la probabilidad de que $C_2$ también falle aumenta a $0,60$.
a) Calcula la probabilidad de que el dispositivo falle antes de un año.
b) ¿Son los eventos "Falla $C_1$" y "Falla $C_2$" dependientes? Justifica tu respuesta con cálculos.
c) Si el dispositivo ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que el componente $C_1$ haya fallado?
Si la variable mide un tiempo, una distancia o un error, puede tomar cualquier valor de un intervalo. Entonces no se asigna probabilidad a cada valor, sino a intervalos, mediante el área bajo una curva.
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Un sistema de puntería láser para cirugía ocular tiene un error de desviación $X$, medido en micras, que sigue una función de densidad dada por: $$f(x) = \begin{cases}…
Un sistema de puntería láser para cirugía ocular tiene un error de desviación $X$, medido en micras, que sigue una función de densidad dada por:
Se repite $n$ veces la misma experiencia, en idénticas condiciones e independientes. Cada vez hay «éxito» (probabilidad $p$) o «fracaso» (probabilidad $q = 1-p$). Si $X$ es la cantidad de éxitos, $X \sim B(n; p)$.
Una variable aleatoria discreta es una función que asigna un número a cada resultado del experimento. Su función de probabilidad da $P(X=x_i)=p_i$, con $p_i\ge0$ y $\sum p_i=1$. Dos parámetros la resumen: la esperanza $E(X)=\sum x_i\,p_i$ (valor promedio a largo plazo) y la varianza $\mathrm{Var}(X)=\sum (x_i-E(X))^2\,p_i$, cuya raíz es la desviación estándar $\sigma$.
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Un ingeniero de telecomunicaciones estima que la probabilidad de que un paquete de datos se pierda durante una transmisión inalámbrica en condiciones de interferencia es…
Un ingeniero de telecomunicaciones estima que la probabilidad de que un paquete de datos se pierda durante una transmisión inalámbrica en condiciones de interferencia es de $0,15$. Se envía una ráfaga de $10$ paquetes de forma independiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se pierdan exactamente $3$ paquetes?
b) Calcula la probabilidad de que se pierdan al menos $2$ paquetes.
c) ¿Cuál es el número esperado de paquetes perdidos y su desviación típica?
Muchas variables (pesos, alturas, duraciones, tiempos de respuesta) se agrupan alrededor de un valor central con forma de campana.
Para calcular probabilidades se tipifica (estandariza): se pasa a la normal estándar $N(0; 1)$.
Cuando no te dan $\mu$ o $\sigma$
Cada dato de la forma «el $p\,\%$ está por debajo (o por encima) de $x$» se traduce a un $z$ buscándolo en la tabla al revés. Cada $z$ da una ecuación $x=\mu+\sigma z$, y con dos datos queda un sistema.
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El tiempo de compilación de un proyecto complejo de ingeniería sigue una distribución normal con una media de $120$ segundos y una desviación típica de $15$ segundos. a)…
El tiempo de compilación de un proyecto complejo de ingeniería sigue una distribución normal con una media de $120$ segundos y una desviación típica de $15$ segundos.
a) Calcula la probabilidad de que el proyecto se compile en menos de $100$ segundos.
b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de compilación esté entre $110$ y $140$ segundos.
c) ¿Qué tiempo de compilación es superado solo por el $5\%$ de los procesos más lentos?
El tiempo de respuesta de un sensor industrial sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87\%$ de las respuestas tardan más de $82$…
El tiempo de respuesta de un sensor industrial sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87\%$ de las respuestas tardan más de $82$ milisegundos, y que solo el $2,28\%$ de las respuestas son más rápidas que $58$ milisegundos.
a) Calcula los parámetros $\mu$ y $\sigma$ del tiempo de respuesta.
b) Si el fabricante garantiza que el sensor responde en menos de $85$ ms, ¿qué porcentaje de los sensores no cumplirán la garantía?
A veces te dan la probabilidad y te piden el valor: «¿qué valor no supera el $90\,\%$ de los casos?». Se hace el camino inverso.
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En un examen de certificación técnica, las puntuaciones siguen una distribución $N(70, 12)$. La institución decide otorgar una "Mención de Excelencia" a los alumnos que…
En un examen de certificación técnica, las puntuaciones siguen una distribución $N(70, 12)$. La institución decide otorgar una "Mención de Excelencia" a los alumnos que obtengan una nota situada en el percentil $90$.
a) ¿Cuál es la nota mínima para obtener dicha mención?
b) Si se presentan $250$ alumnos, ¿cuántos se espera que obtengan la mención?
c) Si elegimos a dos alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan la mención?
En un examen de ingeniería con 100 alumnos, las notas siguen una distribución normal de media $6,2$ y desviación típica $1,5$. El profesor decide que el $10\%$ de los…
En un examen de ingeniería con 100 alumnos, las notas siguen una distribución normal de media $6,2$ y desviación típica $1,5$. El profesor decide que el $10\%$ de los alumnos con mejores notas obtendrán la calificación de "Sobresaliente", mientras que aquellos cuya nota esté por debajo de una desviación típica de la media suspenderán.
a) ¿Cuál es la nota mínima para obtener un "Sobresaliente"?
b) ¿Cuántos alumnos se espera que suspendan el examen?
c) Si elegimos a tres alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga una nota superior a 7?
Con $n$ grande, calcular $\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ para muchos $k$ es impracticable. Pero la forma de $B(n;p)$ se parece cada vez más a una campana.
Practica★★☆Sin empezar
Una red social detecta que el $10\%$ de las cuentas creadas son "bots". Si en una hora se registran $400$ cuentas nuevas: a) Explica por qué se puede aproximar el número…
Una red social detecta que el $10\%$ de las cuentas creadas son "bots". Si en una hora se registran $400$ cuentas nuevas:
a) Explica por qué se puede aproximar el número de bots mediante una distribución normal.
b) Calcula, realizando la aproximación a la normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que haya entre $35$ y $50$ bots (ambos inclusive).
c) Calcula la probabilidad de que el número de bots sea superior a $45$.
Un sistema de comunicación satelital transmite paquetes de datos. Cada paquete tiene una probabilidad $p = 0,002$ de corromperse durante la transmisión de forma…
Un sistema de comunicación satelital transmite paquetes de datos. Cada paquete tiene una probabilidad $p = 0,002$ de corromperse durante la transmisión de forma independiente. Para asegurar la recepción, se envía un bloque de $2500$ paquetes.
a) Justifica por qué se puede aproximar el número de paquetes corrompidos mediante una distribución normal.
b) Calcula la probabilidad de que se corrompan entre 4 y 8 paquetes (ambos inclusive).
c) Si el sistema de corrección de errores solo puede reparar hasta 10 paquetes por bloque, ¿cuál es la probabilidad de que el bloque sea irreparable?
Volvamos al principio: si una clave de $6$ caracteres usa letras minúsculas y dígitos ($26 + 10 = 36$ opciones por lugar), hay $VR_{36,6} = 36^6 = 2.176.782.336$ claves posibles. Y en la comisión de $3$ entre $20$, el orden no importa: son $C_{20,3} = 1.140$ grupos distintos. Y en el Loto, elegir $6$ números de $41$ sin importar el orden da $C_{41,6} = 4.496.388$ combinaciones posibles.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado