Simetrías en el espacio

En un software de diseño de videojuegos, un objeto situado en el punto $P(4, -2, 6)$ debe ser reflejado respecto a un punto de control (centro de simetría) ubicado en $M(1, 3, 2)$. Calcula las coordenadas del punto simétrico $P'$ donde aparecerá el objeto reflejado.

En un cristal con estructura de paralelogramo, se conocen tres vértices: $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ y $C(4, 5, 6)$. Si el centro del paralelogramo $M$ es el centro de simetría que conecta vértices opuestos, halla el cuarto vértice $D$ sabiendo que es el simétrico de $B$ respecto al punto medio del segmento $AC$.

Determina el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que los puntos $P(1, 2, -1)$ y $Q(a, b, 3)$ sean simétricos respecto al punto $C(0, 1, 1)$. Una vez hallados, comprueba si el vector $\vec{PQ}$ es paralelo al vector $\vec{u} = (1, 1, -4)$.

Un rayo láser sale del punto $A(2, 3, 4)$ y se refleja en un espejo plano cuya ecuación es $\pi: y = 5$. Determina las coordenadas del punto simétrico $A'$ respecto a dicho plano.

Un dron submarino se encuentra en la posición $D(4, -2, -5)$ (el plano XY representa el nivel del mar). Primero, asciende verticalmente una cierta distancia aplicando el vector de traslación $\vec{v} = (0, 0, 5)$. A continuación, emite un pulso de sonar que se refleja especularmente en el fondo marino, el cual es completamente plano y está definido por la ecuación $z = -10$. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de la nueva posición del dron respecto al fondo marino?

Calcula las coordenadas del punto $Q$, que es el simétrico del punto $P(1, 0, 5)$ respecto al plano de ecuación $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explica brevemente los pasos seguidos (obtención de la recta perpendicular, punto de corte y punto medio).

Halla el punto simétrico de $P(1, 2, 3)$ respecto a la recta $r$ que coincide con el eje $OX$.

Dada la recta $r$ definida por las ecuaciones paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Halla el punto simétrico de $A(3, 2, 1)$ respecto a dicha recta.

Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el punto simétrico de $P(1, k, 2)$ respecto de la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ pertenezca al plano $\pi: 3x - y + z - 10 = 0$.

Se sabe que el punto $A'(0, 8, -4)$ es el simétrico de $A(2, -2, 6)$ respecto a un centro de simetría $C$. Determina las coordenadas de dicho centro $C$ utilizando la relación de punto medio.

Considera los puntos $A(1, 1, 1)$ y $B(3, 5, 5)$. Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que actúa como "plano de simetría" entre ambos puntos (es decir, el plano respecto al cual $A$ y $B$ son simétricos).

Se sabe que el punto $P'(5, -3, 0)$ es el simétrico de $P(1, 1, 0)$ respecto a una recta $r$. Si el vector director de la recta es $\vec{v} = (1, 1, 1)$, determina la ecuación continua de la recta $r$.

Considera los puntos $A(2, 0, 1)$ y $B(0, 2, -1)$. Se sabe que el punto $B$ es el simétrico de $A$ respecto a una recta $r$ que pasa por el origen de coordenadas. Halla las ecuaciones implícitas de dicha recta $r$.

Se proyecta un haz de luz láser que sigue la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. El rayo incide sobre una superficie metálica pulida situada en el plano $XY$ (plano $z=0$). Calcula la ecuación de la recta $s$ que contiene al rayo reflejado.

Nota: La recta reflejada es la simétrica de la recta incidente respecto al plano de incidencia.

Un dron de vigilancia está situado en el punto $A(1, -2, 3)$. Para evitar ser detectado por un radar, debe desplazarse al punto $B(5, 4, 1)$ realizando una escala técnica en una plataforma plana representada por el plano $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determina las coordenadas de un punto $P$ en dicho plano de modo que la trayectoria total $AP + PB$ sea mínima.

Indicación: Utiliza la simetría del punto $A$ respecto al plano $\pi$ para resolver este problema de optimización geométrica.

Halla la ecuación del plano $\pi'$ que es simétrico al plano $\pi: 2x - y + z - 4 = 0$ respecto del plano de simetría $\sigma: x + y + z - 1 = 0$.

Ayuda: Analiza la posición relativa de ambos planos. Si son secantes, la recta intersección pertenecerá al plano buscado.

Sean las rectas $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ y $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$. Calcula el punto simétrico de $Q(0, 0, 10)$ respecto al plano que contiene a ambas rectas. Si no existe tal plano, razona por qué y calcula el simétrico de $Q$ respecto a la recta $s$.

Dado el punto $A(1, 2, 3)$, calcula las coordenadas de sus simétricos respecto a los tres planos coordenados ($XY$, $XZ$ e $YZ$). Determina si los cuatro puntos (el original y los tres simétricos) son coplanarios y, en caso afirmativo, halla la ecuación del plano que los contiene.

En un proyecto de arquitectura se desea construir una estructura simétrica respecto a un pilar central representado por la recta $r: x-1 = y = \dfrac{z+2}{2}$. Uno de los vértices de la estructura está en el punto $V(3, 1, 0)$.

1. a) Halla el vértice simétrico $V'$ de $V$ respecto al pilar $r$.

1. b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son $V$, $V'$, el origen de coordenadas $O(0,0,0)$ y el punto $A(1, 0, -2)$ de la recta $r$.