Integral indefinida. Primitivas e integrales inmediatas
En una micro por la Alameda, el velocímetro te muestra la velocidad en cada instante, pero nadie te dice en qué cuadra estás. ¿Se puede recuperar la posición sabiendo solo la velocidad? Hasta ahora siempre ibas de $f$ a $f'$. Aquí el camino se invierte: te dan $f'$ y tienes que reconstruir $f$. Es la misma tabla de derivadas que ya conoces, leída al revés.
Derivar al revés: qué es una primitiva
Si $s(t)$ es la posición y $v(t)=s'(t)$ la velocidad, recuperar $s(t)$ a partir de $v(t)$ es exactamente este problema.
Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental…
Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental entre una función y su primitiva mediante la derivación.
Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad…
Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad vertical) viene dada por la expresión $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, cuya gráfica aparece en la figura. Halla la familia de funciones $H(t)$ que representan la altura del skater, calculando la integral indefinida:
$$\int (3t^2 - 4t + 5) \, dt$$Infinitas primitivas: la constante $C$
Para quedarte con una primitiva, hace falta un dato extra: el valor de $F$ en un punto.
Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$. Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de…
Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$.
Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de funciones con la constante $C$, y luego utiliza el punto $P$ para hallar el valor específico de dicha constante.
Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el…
Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el instante inicial $t=0$ el dron se encuentra en la posición $s=0$, determina la expresión de la función de posición $s(t)$.
La tabla de derivadas, leída al revés
Cada regla de derivación, leída de derecha a izquierda, da una integral inmediata. No hay nada nuevo que memorizar.
En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para…
En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para encontrar el total acumulado, un programador debe resolver la siguiente integral de una función irracional. Calcúlala pasando primero la raíz a exponente fraccionario:
$$\int \left( \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \, dx$$Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:…
Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:
$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$
Linealidad: sumas, restas y constantes
Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar…
Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar sumas):
$$\int (4 \sin x - 5 \cos x + 3) \, dx$$En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$.…
En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén la expresión de la función $g(x)$ calculando su integral indefinida:
$$\int \left( \frac{7}{1+x^2} - 2^x \right) \, dx$$Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es…
Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Halla la primitiva general de dicha función realizando la integración:
$$\int \left( \frac{3}{x} + e^{2x} \right) \, dx$$La cadena al revés: argumentos lineales
Si dentro de la función hay $ax+b$ en lugar de $x$, la primitiva se obtiene igual pero dividiendo por $a$.
¿Por qué? Al derivar $e^{2x}$ la cadena multiplica por $2$. Para que no sobre ese $2$, hay que compensar con $\tfrac12$.
Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.
Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.
La derivada «de lo de adentro» aparece afuera
Muchas integrales tienen la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$: una función compuesta multiplicada por la derivada de su interior. Se integran como $G(u(x))$, donde $G$ es primitiva de $g$ (es la regla de la cadena leída al revés).
Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna: $I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$
Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna:
$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$
Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.
Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.
Calcula la integral indefinida de la función: $$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x \cdot \ln x}$$ Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura…
Calcula la integral indefinida de la función:
$$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x \cdot \ln x}$$Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ cuando existen múltiples funciones compuestas.
Logaritmos, arco tangente y arco seno
Logaritmo. Si el numerador es (un múltiplo de) la derivada del denominador, $\int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C$. Si solo falta una constante, la ajustas.
Arco tangente. Si el denominador es una suma de cuadrados sin raíces reales, lo llevas a la forma $1+(\ldots)^2$ completando cuadrados y usas $\int\frac{du}{1+u^2}=\arctan u$.
Arco seno. Con $\sqrt{1-(\ldots)^2}$ en el denominador se usa $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\operatorname{arcsen}u$.
Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:…
Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:
$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$
Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente: $$f(x) =…
Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente:
$$f(x) = \frac{3}{2x^2 - 4x + 10}$$Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 km) depende de la carga $x$ (en…
Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 km) depende de la carga $x$ (en toneladas) según la función:
$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$
Halla la función de desgaste acumulado $D(x)$, sabiendo que para una carga de $3$ toneladas ($x = 3$) el desgaste es cero.
Reescribir antes de integrar
Cuando el integrando no está en ninguna forma conocida, a veces alcanza con transformarlo: dividir polinomios o separar en fracciones.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$. Nota: Realiza primero la división de los polinomios.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$.
Nota: Realiza primero la división de los polinomios.
Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la…
Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la función $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.
Sabiendo que para un tiempo $t = 0$ la intensidad de la onda es de $10$ unidades, determina la expresión analítica de la intensidad $f(t)$ realizando las manipulaciones algebraicas necesarias para resolver la integral.
Ampliación: identidades trigonométricas
Si el integrando tiene potencias de $\operatorname{sen}$ y $\cos$, una identidad como $\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x$ puede dejarlo en forma $g(u)\cdot u'$.
Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales…
Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales inmediatas:
$$f(x) = \frac{\cos^3 x}{\sin^4 x}$$Primitivas con datos: parámetros y derivada segunda
Primitiva con parámetros. Si te dan una candidata $F$ con coeficientes desconocidos, derívala, iguala a $f$ y compara coeficientes: sale un sistema de ecuaciones.
Derivada segunda. Se integra dos veces, con una constante cada vez. Cada dato (punto, tangente horizontal, inflexión) fija una constante.
Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$. Plantea…
Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.
Plantea el sistema de ecuaciones derivando $F(x)$ e igualando coeficientes.
Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$. Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión de abscisa…
Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.
Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión de abscisa positiva en el que la recta tangente es horizontal, y que la gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.
Nota: Este ejercicio requiere un manejo experto de la regla de la cadena en sentido inverso para funciones racionales.
Ampliación: integración por partes y funciones definidas a trozos
Derivando un producto, $(uv)'=u'v+uv'$. Integrando y despejando:
$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$Elige $u$ de modo que al derivarla se simplifique, y $dv$ de modo que puedas integrarla.
Dada la función $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$. Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio,…
Dada la función $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$.
Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio, debe ser una función continua, por lo que tendrás que ajustar las constantes de integración en los diferentes tramos.
Vuelve al principio: conociendo solo la velocidad de la micro, la posición se recupera con una primitiva, pero queda definida salvo una constante. Necesitas saber dónde estaba la micro en un instante para fijar $C$.