Aplicaciones de la integral definida
Una diseñadora de Valparaíso dibuja el logo de un club de fútbol con curvas y necesita saber cuánta pintura lleva. Una micro sale de Plaza Italia y hay que saber cuántos metros recorrió aunque el conductor frene y acelere todo el tiempo. En los dos casos hay que sumar infinitos pedacitos, y eso es una integral definida. Ya sabes qué es y cómo se calcula con el teorema fundamental del cálculo. Ahora la vas a usar para resolver problemas.
Área bajo una curva con el teorema fundamental
El procedimiento siempre es el mismo:
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Busca los límites de integración. Si no te los dan, salen de los cortes de la curva con el eje.
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Halla una primitiva $G$.
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Aplica el teorema fundamental (regla de Barrow): $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a)$.
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Si la región queda por debajo del eje, la integral da negativa y el área es su valor absoluto.
Recuerda que la integral es un área con signo: cuenta positivo lo que está sobre el eje $OX$ y negativo lo que está debajo.
Con $f(x)=e^x$ la primitiva es ella misma, así que $\int_0^{\ln 3} e^x\,dx = e^{\ln 3}-e^0 = 3-1=2$. Por eso las funciones exponenciales quedan «limpias» al evaluar en $\ln$ de algo.
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$ <br>
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$Un diseñador gráfico está trazando el contorno de un logotipo que sigue la curva $f(x) = e^x$. Calcula el área encerrada bajo dicha curva, el eje $OX$ y las rectas…
Un diseñador gráfico está trazando el contorno de un logotipo que sigue la curva $f(x) = e^x$. Calcula el área encerrada bajo dicha curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \ln(3)$.
Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la…
Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la función con el eje.
Cuando la curva cruza el eje y la simetría
Sin realizar el cálculo de la primitiva, justifica utilizando las propiedades de la integral definida por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$:…
Sin realizar el cálculo de la primitiva, justifica utilizando las propiedades de la integral definida por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$:
$$\int_{-2}^{2} (x^5 + \sin(x)) \, dx$$Un estudio de diseño está proyectando el logotipo para una nueva empresa de tecnología. La base del logo está delimitada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de…
Un estudio de diseño está proyectando el logotipo para una nueva empresa de tecnología. La base del logo está delimitada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas $OX$. Calcula el área total de las dos regiones cerradas que forma la curva con el eje.
Área entre dos curvas
Cuando el recinto está limitado por dos funciones $f$ y $g$, la idea es la misma pero restando: en cada $x$ la «altura» del recinto es la distancia entre las dos curvas.
Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$. <br>
Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$.
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de…
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Recintos con tres o más fronteras
A veces el recinto lo limitan tres curvas (o dos curvas y el eje) y la curva de arriba o la de abajo cambia en el medio. Entonces se parte el intervalo en los puntos donde cambia la frontera y se suman las integrales de cada tramo. Dibuja siempre antes: sin el gráfico es fácil equivocarse de frontera.
Cuando una de las curvas es la recta tangente a una función en un punto de abscisa $x_0$, su ecuación es $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$: la pendiente es la derivada en el punto. Con ella haces el mismo planteo y, si te dan el eje $OY$, uno de los límites es $x=0$.
Las funciones exponenciales y trigonométricas se tratan igual. Para $\operatorname{sen}x$ y $\cos x$ los cortes salen de $\operatorname{sen}x=\cos x$, o sea $\tan x=1$, y las primitivas son $-\cos x$ y $\operatorname{sen}x$.
Calcula el área de la región del primer cuadrante encerrada por las gráficas de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ y la recta $y = 4$.
Calcula el área de la región del primer cuadrante encerrada por las gráficas de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ y la recta $y = 4$.
Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangente a dicha curva en el punto $(3, f(3))$ y el eje de ordenadas $OY$.
Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangente a dicha curva en el punto $(3, f(3))$ y el eje de ordenadas $OY$.
Considera el recinto limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y la recta vertical $x = \ln(2)$. a) Dibuja un esquema del recinto. b) Calcula el área de dicho…
Considera el recinto limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y la recta vertical $x = \ln(2)$.
- a) Dibuja un esquema del recinto.
- b) Calcula el área de dicho recinto.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Hallar un parámetro o una recta a partir de un área
Muchos problemas dan el valor de un área y piden una constante: la de la función o la que fija una recta. El método es siempre el mismo: plantea la integral con la incógnita dentro, aplica el teorema fundamental, iguala al dato y despeja.
La misma idea sirve para una situación de diseño. Por ejemplo, si una recta horizontal $y=k$ divide una región en dos partes con una relación dada entre sus áreas (una el doble de la otra), planteas las dos áreas en función de $k$ y las relacionas. Eso te da una ecuación para $k$. Mira con cuidado cuáles son los límites en cada parte: los cortes de $y=k$ con la curva dependen de $k$.
Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades…
Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades cuadradas.
Un equipo de ingenieros está diseñando el arco de entrada a un túnel tecnológico. La forma del arco superior viene dada por la función $f(x) = 4 - x^2$ para…
Un equipo de ingenieros está diseñando el arco de entrada a un túnel tecnológico. La forma del arco superior viene dada por la función $f(x) = 4 - x^2$ para $x \in [-2, 2]$. Para reforzar la estructura, se debe trazar una línea recta $y = k$ (donde $0 < k < 4$) de tal manera que el área de la sección superior (por encima de la línea de refuerzo) sea exactamente el doble del área de la sección inferior (entre la línea de refuerzo y el suelo, situado en el eje $OX$).
Calcula el valor exacto de la constante $k$ que cumple dicha condición.
La integral como magnitud acumulada
Si una cantidad cambia con cierto «ritmo», el total acumulado entre dos instantes es la integral de ese ritmo. Es la misma idea de siempre con límites concretos.
Lo mismo pasa con un costo marginal $C'(x)$, que es lo que cuesta producir una unidad más. El incremento total del costo al pasar de $x_1$ a $x_2$ unidades es $\int_{x_1}^{x_2}C'(x)\,dx=C(x_2)-C(x_1)$: es el teorema fundamental tal cual.
La velocidad de un auto a control remoto (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el auto entre los instantes…
La velocidad de un auto a control remoto (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el auto entre los instantes $t = 1$ s y $t = 4$ s calculando la integral definida de la velocidad.
Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el costo marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3\,000x^2 - 12\,000x + 15\,000$ pesos por…
Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el costo marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3\,000x^2 - 12\,000x + 15\,000$ pesos por unidad. Calcula el incremento total del costo al aumentar la producción de $10$ a $20$ sensores.
Aceleración, rapidez, desplazamiento y distancia
Un cuerpo que se mueve en línea recta tiene tres funciones encadenadas: la posición $x(t)$, la velocidad $v(t)=x'(t)$ y la aceleración $a(t)=v'(t)$. Integrar es ir en sentido contrario:
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$\displaystyle\int_a^b a(t)\,dt = v(b)-v(a)$: cambio de velocidad.
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$\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt = x(b)-x(a)$: desplazamiento.
Si la velocidad $v(t)$ cambia de signo, el cuerpo va y vuelve. Hay dos preguntas distintas:
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Desplazamiento (posición final menos inicial): $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$. Lo que va para atrás resta.
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Distancia total recorrida (lo que marca el odómetro): $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$. Todo suma.
Para la distancia buscas los instantes en que $v=0$ y partes el intervalo: en cada tramo $|v|$ es $v$ o $-v$.
Si te piden una distancia dada (por ejemplo, el instante $T$ en que se recorrió la mitad del total), defines $D(T)=\int_0^T |v(t)|\,dt$ con los tramos que correspondan. Después igualas a la mitad del total y resuelves la ecuación. Cuida en qué tramo cae $T$: eso fija qué integrales usar.
Un vehículo autónomo se desplaza en línea recta y su velocidad (en m/s) viene dada por la función $v(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la…
Un vehículo autónomo se desplaza en línea recta y su velocidad (en m/s) viene dada por la función $v(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo entre el instante $t = 0$ y $t = 5$. Nota: Ten en cuenta que la distancia es la integral del valor absoluto de la velocidad.
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta. Su velocidad en metros por segundo viene dada por la función con valor absoluto: $v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ para…
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta. Su velocidad en metros por segundo viene dada por la función con valor absoluto:
$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ para $t \in [0, 6]$ segundos.
- a) Determina la distancia total recorrida por el dron durante los primeros 6 segundos.
- b) Calcula el valor del tiempo $T \in (0, 6)$ tal que la distancia recorrida en el intervalo $[0, T]$ sea exactamente la mitad de la distancia total calculada en el apartado anterior.
Funciones definidas por una integral
Si $f$ es continua y $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, el teorema fundamental dice que $F'(x)=f(x)$. Entonces puedes derivar $F$ sin calcular ninguna primitiva.
Si el límite superior es otra función, $F(x)=\int_a^{u(x)} f(t)\,dt$, se aplica la regla de la cadena:
$$F'(x)=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x)$$¿Por qué? $F$ es la composición de $G(u)=\int_a^u f(t)\,dt$ (con $G'(u)=f(u)$) con $u(x)$, así que $F'=G'(u)\cdot u'$.
Recta tangente
Para la tangente en $x_0$ necesitas $F(x_0)$, que a menudo sale fácil: si $u(x_0)=a$ el valor es $0$. La pendiente es $F'(x_0)$.
Crecimiento y extremos
El signo de $F'$ indica dónde crece o decrece $F$. Los extremos relativos están donde $F'$ se anula y cambia de signo.
Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$,…
Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$, es decir, calcula $F'(4)$.
Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral: $F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de…
Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral:
$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en el punto de abscisa $x = \sqrt{3}$.
Sea la función $f(x)$ definida por la siguiente expresión que involucra una integral: $F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$ Se pide determinar razonadamente: a)…
Sea la función $f(x)$ definida por la siguiente expresión que involucra una integral:
$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$
Se pide determinar razonadamente:
- a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $F(x)$ en todo su dominio.
- b) La abscisa de los puntos donde $F(x)$ alcanza sus extremos relativos, clasificándolos en máximos o mínimos.
- c) ¿Presenta la función $F(x)$ algún punto de inflexión en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica la respuesta utilizando la segunda derivada.
Límites con integrales
Cuando una integral con límite variable aparece en un límite con indeterminación $\tfrac00$, el teorema fundamental permite derivar el numerador y L'Hôpital hace el resto. Los pasos son siempre los mismos:
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Comprueba que numerador y denominador tienden a $0$ (en la integral, $\int_0^0=0$).
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Deriva el numerador con el teorema fundamental (el integrando tiene que ser continuo) y el denominador de forma habitual.
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Calcula el límite del cociente de derivadas. Si vuelve a dar $\tfrac00$, repite desde el paso 1.
Un truco habitual cuando hay un producto: si un factor tiende a un número distinto de $0$ (por ejemplo $x\to$ algo fijo, o $\frac{1}{1+x}\to1$), se separa y se calcula aparte el límite que da la indeterminación. Si hay que aplicar L'Hôpital más de una vez, verifica las hipótesis cada vez.
Calcula el valor del siguiente límite aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de L'Hôpital:…
Calcula el valor del siguiente límite aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$
Indica detalladamente los pasos seguidos y las hipótesis necesarias para la aplicación de cada teorema.
Un paso más: volúmenes de revolución
Si giras una región alrededor de un eje, cada corte perpendicular al eje es un círculo. El volumen es la suma de esos discos.
Asíntota horizontal como frontera
A veces una de las fronteras del recinto es la asíntota horizontal de la función. Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ o $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$ (con $L$ un número real), la recta $y=L$ es una asíntota horizontal. Por ejemplo, para $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ divides numerador y denominador por $x^2$ y el límite en el infinito sale $\dfrac{1}{1+0}=1$: la asíntota es $y=1$. Con esa recta como frontera, el área es $\int [L-f(x)]\,dx$ si $f\le L$, y para girar alrededor de ella los radios son $|f(x)-L|$.
Primitivas que te pueden hacer falta (verifícalas derivando):
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$\int \ln x\,dx = x\ln x-x$
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$\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2x-2x\ln x+2x$
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$\int \dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x$
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$\int \dfrac{dx}{(1+x^2)^2}=\dfrac12\left(\arctan x+\dfrac{x}{1+x^2}\right)$
Se desea fabricar una pieza metálica cuya sección transversal está delimitada por las curvas $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ y el eje de ordenadas $OY$. a) Representa…
Se desea fabricar una pieza metálica cuya sección transversal está delimitada por las curvas $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ y el eje de ordenadas $OY$.
- a) Representa gráficamente el recinto y determina sus puntos de intersección.
- b) Calcula el área de dicha sección.
- c) Si la pieza se obtiene rotando este recinto alrededor del eje de ordenadas $OY$, plantea (sin necesidad de calcular) la integral o suma de integrales que proporcionaría el volumen de la pieza.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera la región del plano $R$ limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = e$, y el eje de abscisas $OX$. a) Halla…
Considera la región del plano $R$ limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = e$, y el eje de abscisas $OX$.
- a) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada.
- b) Calcula el área del recinto $R$.
- c) Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar el recinto $R$ alrededor del eje $OX$.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, su asíntota horizontal y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, su asíntota horizontal y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.
- a) Identifica la ecuación de la asíntota horizontal de la función.
- b) Calcula el área de dicho recinto.
- c) Determina el volumen del sólido generado al girar este recinto alrededor de su propia asíntota horizontal.
(Ayuda: Realiza un cambio de variable o traslación para facilitar el cálculo del volumen).
Para repasar: una región con funciones trigonométricas
Cuando dos curvas trigonométricas se cortan, el corte sale de resolver una ecuación como $\operatorname{sen}x=\cos x$. En $[0,\pi]$, eso ocurre en $x=\tfrac\pi4$. Después se parte el intervalo en ese punto y, si hace falta, en los cortes con el eje, igual que antes: dibuja primero y decide quién va arriba en cada tramo.
Un recordatorio para el cálculo: $\int\operatorname{sen}x\,dx=-\cos x$ y $\int\cos x\,dx=\operatorname{sen}x$. Y si piden la región «por encima del eje», recuerda que solo cuentan las partes donde la frontera superior está sobre $OX$ y la inferior se corta con el eje.
Una empresa de diseño gráfico crea un logotipo con la forma del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ y por las rectas…
Una empresa de diseño gráfico crea un logotipo con la forma del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ y por las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$ (es decir, en el intervalo $x \in [0, \pi]$). En la figura se muestran las dos gráficas y el logotipo sombreado.
- a) Determina los puntos de corte de ambas funciones en dicho intervalo.
- b) El logotipo se divide en dos regiones mediante el eje de abscisas $OX$. Calcula el área de la región del logotipo que queda por encima del eje $OX$.
- c) Justifica si el logotipo completo (el recinto entre las dos gráficas en $[0, \pi]$) es simétrico respecto a alguna recta vertical $x = a$ con $a \in [0, \pi]$.