Probabilidad total y teorema de Bayes

En un torneo de eSports, un jugador llega a la final. Puede elegir entre dos estrategias: Ofensiva (la elige el $70\%$ de las veces) o Defensiva (el $30\%$). Si juega de forma ofensiva, gana la partida con una probabilidad de $0,6$, mientras que si juega de forma defensiva, su probabilidad de victoria es de $0,4$.

Sabiendo que el jugador ha ganado la partida, calcula la probabilidad de que haya utilizado una estrategia defensiva.

Un creador de contenido de TikTok observa que sus videos cortos se visualizan de dos formas: a través del Algoritmo de recomendaciones ($80\%$ de las veces) o a través de Búsqueda directa ($20\%$). La probabilidad de que un usuario le dé "Me gusta" es de $0,10$ si el video llega por recomendación, y de $0,30$ si el usuario lo buscó directamente.

Calcula la probabilidad de que un usuario cualquiera que visualice el video le dé "Me gusta".

Un servicio de mensajería utiliza tres rutas para repartir paquetes en una ciudad: Ruta Norte ($50\%$), Ruta Sur ($30\%$) y Ruta Centro ($20\%$). Los retrasos en la entrega ocurren el $2\%$ de las veces en la ruta Norte, el $4\%$ en la Sur y el $10\%$ en la ruta Centro.

Determina el porcentaje total de paquetes que se entregan con retraso en esta ciudad.

En un centro de alto rendimiento para e-sports, los jugadores entrenan en tres plataformas distintas: PC, consola y celulares. El $50\ \%$ de los jugadores usa PC, el $30\ \%$ usa consola y el resto celulares. Se ha observado que el rendimiento disminuye por fatiga visual en el $8\ \%$ de los jugadores de PC, en el $5\ \%$ de los de consola y en el $12\ \%$ de los que usan celulares.

1. a) Calcula la probabilidad de que un jugador elegido al azar presente fatiga visual.

1. b) Si seleccionamos a un jugador y vemos que sufre fatiga visual, ¿cuál es la probabilidad de que entrene habitualmente con un celular?

Una cadena de supermercados vende yogures de dos proveedores distintos. El $40\%$ proviene del Proveedor A y el $60\%$ del Proveedor B. El control de calidad indica que el $5\%$ de los yogures del Proveedor A presentan defectos de envasado, mientras que en el Proveedor B este defecto solo aparece en el $2\%$ de los casos.

Si compramos un yogur y comprobamos que tiene un defecto de envasado, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del Proveedor A?

Un servicio de streaming de música clasifica a sus usuarios en tres categorías: "Free" (con anuncios), "Premium" y "Family". El $60\ \%$ son usuarios Free, el $30\ \%$ Premium y el $10\ \%$ Family. Se sabe que el $80\ \%$ de los usuarios Free escuchan más de 2 horas diarias, mientras que este porcentaje es del $90\ \%$ para los Premium y del $95\ \%$ para los Family.

1. a) Elegido un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escuche música 2 horas o menos al día?

1. b) Si seleccionamos un usuario que escucha más de 2 horas diarias de música, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la modalidad "Premium"?

Una empresa de ciberseguridad utiliza tres sistemas de inteligencia artificial ($S_1$, $S_2$ y $S_3$) para detectar intentos de acceso no autorizados en una red corporativa. El sistema $S_1$ gestiona el $45 \%$ de las alertas, el $S_2$ el $35 \%$ y el $S_3$ el resto.

Se sabe por auditorías previas que, entre las alertas emitidas por cada sistema, son falsas alarmas (se da como ataque un acceso legítimo) el $2 \%$ de las de $S_1$, el $5 \%$ de las de $S_2$ y el $8 \%$ de las de $S_3$. El resto de las alertas de cada sistema corresponden a ataques reales. Por otro lado, la probabilidad de que un sistema ignore un ataque real (falso negativo) es del $1 \%$ en todos los casos; es un dato que no necesitarás para este problema.

En un momento determinado, salta una alerta en el panel de control indicando un ataque.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama en árbol detallando las probabilidades de cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que la alerta emitida sea realmente una falsa alarma.

1. c) Si se confirma que la alerta era una falsa alarma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generada por el sistema $S_3$?

Un estudio sobre el consumo de contenido en streaming revela que el $70 \%$ de los jóvenes de una ciudad están suscritos a la Plataforma A, el $40 \%$ a la Plataforma B y el $20 \%$ a ambas. Se elige un joven al azar.

1. a) Sabiendo que está suscrito a la Plataforma B, ¿cuál es la probabilidad de que también lo esté a la Plataforma A? ¿Son independientes los eventos "Estar suscrito a A" y "Estar suscrito a B"?
2. b) Se sabe que el $15 \%$ de los usuarios de solo la Plataforma A prefieren los documentales, el $25 \%$ de los usuarios de solo la Plataforma B también los prefieren, y entre los que están en ambas plataformas, esa preferencia sube al $50 \%$. Si un joven elegido al azar prefiere los documentales, ¿cuál es la probabilidad de que esté suscrito a ambas plataformas?

En un examen de oposición, el temario consta de 80 temas. El tribunal extrae dos temas al azar (sin reemplazamiento) y el opositor debe elegir uno de ellos para desarrollarlo. Un opositor se ha preparado solo 45 temas.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el opositor pueda elegir al menos un tema que se sabe?
2. b) Supongamos que el opositor aprueba si el tema elegido es uno de los que se ha preparado. Si sabemos que el opositor ha suspendido porque no ha podido elegir ningún tema de los extraídos, ¿cuál es la probabilidad de que, si el examen hubiera consistido en extraer tres temas en lugar de dos, hubiera tenido la oportunidad de elegir al menos uno? Justifica matemáticamente si la probabilidad de aprobar aumentaría significativamente.

Un estudio sobre movilidad sostenible en una ciudad indica que el $45\ \%$ de los trayectos se realizan en transporte público, el $35\ \%$ en bicicleta o scooter eléctrico y el $20\ \%$ en auto particular. Se estima que la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 0,15 si se usa transporte público, de 0,05 si se usa bicicleta/scooter y de 0,30 si se usa auto particular (debido a los tacos).

1. a) Calcula la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar llegue puntual a su lugar de trabajo.

1. b) Si sabemos que un trabajador llegó tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en su auto particular?

Tres máquinas, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, fabrican piezas de precisión. $M_1$ produce el doble de piezas que $M_2$, y $M_3$ produce el mismo número que $M_1$ y $M_2$ juntas. El porcentaje de piezas defectuosas es del $2 \%$ para $M_1$ y del $4 \%$ para $M_2$.

Se sabe que, al tomar una pieza al azar de la producción total, la probabilidad de que sea defectuosa es del $2,5 \%$.

1. a) Calcula el porcentaje de piezas defectuosas que produce la máquina $M_3$.
2. b) Si tomamos una pieza y comprobamos que es defectuosa, ¿cuál es la máquina que tiene mayor probabilidad de haberla fabricado?

Un canal de noticias utiliza tres fuentes distintas para obtener información: Agencias ($A$), Corresponsales ($C$) y Redes Sociales ($R$). El $50 \%$ de las noticias provienen de $A$, el $30 \%$ de $C$ y el resto de $R$.

La probabilidad de que una noticia sea falsa ( fake news) es de $0,01$ si proviene de $A$ y de $0,05$ si proviene de $C$. Se ha detectado que, si se elige una noticia al azar y resulta ser falsa, la probabilidad de que proceda de las Redes Sociales es de $0,75$.

1. a) Calcula la probabilidad de que una noticia proveniente de las Redes Sociales sea falsa.
2. b) Calcula la probabilidad total de que una noticia elegida al azar en este canal sea verídica.

Un laboratorio farmacéutico desarrolla un test rápido para detectar una deficiencia vitamínica que afecta al $5\ \%$ de la población joven. Los ensayos clínicos muestran que el test da positivo en el $96\ \%$ de las personas que realmente tienen la deficiencia. Sin embargo, también da un "falso positivo" en el $2\ \%$ de las personas sanas.

1. a) ¿Qué porcentaje de la población total dará positivo en el test?

1. b) Si un joven se realiza el test y el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que sufra dicha deficiencia vitamínica? Comenta si el resultado te parece alto o bajo en relación con la fiabilidad del test.

En un centro de alto rendimiento deportivo, los atletas se someten a un control de dopaje. El $1 \%$ de los atletas consume una sustancia prohibida. El test utilizado tiene una fiabilidad del $98 \%$ (probabilidad de dar positivo si se ha consumido la sustancia). Sin embargo, el test también produce un $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo en atletas que no han consumido nada).

1. a) Si un atleta da positivo en el control, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya consumido la sustancia?
2. b) El comité decide realizar un segundo test independiente al mismo atleta si el primero da positivo. Si este segundo test (con la misma fiabilidad) también resulta positivo, ¿cuál es la probabilidad ahora de que el atleta sea culpable? Justifica si la confianza en el veredicto ha aumentado significativamente.

En un laboratorio de biotecnología se manipulan tres tipos de bacterias: $T_1$, $T_2$ y $T_3$. Hay un contenedor que contiene 100 muestras: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ y 50 de $T_3$. La probabilidad de que una muestra desarrolle una resistencia antibiótica en 24 horas es de $0,2$ para $T_1$, $0,4$ para $T_2$ y un valor desconocido $p$ para $T_3$.

Se extrae una muestra al azar y se observa que ha desarrollado resistencia después de 24 horas. Sabiendo que la probabilidad de que dicha muestra sea del tipo $T_2$ es de $0,375$:

1. a) Determina el valor de la probabilidad $p$ asociada a las bacterias del tipo $T_3$.
2. b) Con el valor de $p$ obtenido, calcula la probabilidad de que, al elegir una muestra al azar, esta no desarrolle resistencia.