Resistividad, conductividad y Ley de Pouillet
En una casa de Cochabamba, el cable que alimenta una bomba de agua tiene decenas de metros. Si es muy delgado, se calienta y el motor recibe menos voltaje del que sale del tablero. ¿De qué depende que un cable «estorbe» más o menos el paso de la corriente? Al final de la página lo resolvemos con números.
Resistencia y resistores
Cuando hay un voltaje entre los extremos de un conductor, las cargas se mueven, pero chocan con los átomos del material. Esa oposición al paso de la corriente es la resistencia eléctrica $R$. Se mide en ohmios (Ω).
Un resistor es un componente fabricado para tener una resistencia determinada. Pero también un cable común tiene resistencia, aunque pequeña. Y esa resistencia pequeña importa cuando el cable es largo o la corriente es grande.
Recuerda la Ley de Ohm: $V = I \cdot R$. Si conoces $R$ de un cable y la corriente que pasa, puedes calcular cuánto voltaje se «pierde» en él (la caída de voltaje).
Enuncia la Ley de Pouillet $R = \rho \dfrac{L}{A}$ e indica qué significa cada símbolo y en qué unidades del Sistema Internacional se expresa. Explica además qué ocurre…
Enuncia la Ley de Pouillet $R = \rho \dfrac{L}{A}$ e indica qué significa cada símbolo y en qué unidades del Sistema Internacional se expresa. Explica además qué ocurre con la resistencia de un conductor si se duplica su longitud y se mantienen el material y la sección.
De qué depende la resistencia
Piensa en el agua en una cañería. Cuanto más larga es, más se frena el agua. Cuanto más ancha, más fácil pasa. Y también influye el material de las paredes. Con los cables ocurre lo mismo:
-
Longitud $L$: a más largo, más choques en el camino. $R$ crece con $L$.
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Sección $A$ (el área de corte transversal): a más gruesa, más camino hay para las cargas. $R$ disminuye al aumentar $A$.
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Material: cada sustancia opone una resistencia distinta, que se resume en un número llamado resistividad.
Un alambre de cobre tiene una longitud de $50\ \text{m}$ y una sección transversal de $2{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^2$. La resistividad del cobre es…
Un alambre de cobre tiene una longitud de $50\ \text{m}$ y una sección transversal de $2{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^2$. La resistividad del cobre es $\rho = 1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$. Calcula la resistencia del alambre.
Ley de Pouillet
Reunimos las tres dependencias en una sola fórmula, la Ley de Pouillet:
¿Por qué esta forma? $R$ es proporcional a $L$ (más camino, más choques) e inversamente proporcional a $A$ (más espacio por donde pasar). La constante de proporcionalidad $\rho$ es propia de cada material.
| Material | $\rho$ (Ω·m) a temperatura ambiente |
|---|---|
| Plata | $1{,}6\times10^{-8}$ |
| Cobre | $1{,}7\times10^{-8}$ |
| Aluminio | $2{,}8\times10^{-8}$ |
| Hierro | $1{,}0\times10^{-7}$ |
Mariana instala en su casa de Cochabamba un cable de cobre de $20\ \text{m}$ de longitud con una sección de $1{,}5\ \text{mm}^2$. Considera…
Mariana instala en su casa de Cochabamba un cable de cobre de $20\ \text{m}$ de longitud con una sección de $1{,}5\ \text{mm}^2$. Considera $\rho_{\text{cobre}} = 1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$.
- a) Convierte la sección a $\text{m}^2$.
- b) Calcula la resistencia del cable.
- c) Calcula la caída de tensión en el cable si circula una corriente de $10\ \text{A}$.
Un alambre cilíndrico de resistencia $R$ se estira de modo que su longitud se triplica. Suponiendo que el volumen del material no cambia (de modo que la sección se…
Un alambre cilíndrico de resistencia $R$ se estira de modo que su longitud se triplica. Suponiendo que el volumen del material no cambia (de modo que la sección se reduce a la tercera parte) y que la resistividad se mantiene, determina cuántas veces cambia la resistencia. Justifica tu resultado con la Ley de Pouillet.
Resistividad y conductividad
La resistividad $\rho$ dice cuánto se opone un material al paso de la corriente. Los metales tienen $\rho$ muy baja; los aislantes (vidrio, plástico), muy alta.
A veces conviene mirar lo contrario: qué tan bien conduce. Eso es la conductividad:
Si $\rho$ es pequeña, $\sigma$ es grande: el material conduce mejor. Ejemplo: para el cobre, $\sigma = 1/(1{,}7\times10^{-8}) \approx 5{,}9\times10^{7}\ \text{S/m}$.
Con la conductividad, la Ley de Pouillet también se escribe $R = \dfrac{L}{\sigma A}$.
La conductividad $\sigma$ de un material se define como el inverso de su resistividad, $\sigma = \dfrac{1}{\rho}$. Si la resistividad del aluminio es…
La conductividad $\sigma$ de un material se define como el inverso de su resistividad, $\sigma = \dfrac{1}{\rho}$. Si la resistividad del aluminio es $2{,}8\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$, calcula su conductividad e indica en qué unidades se expresa. Luego explica si un material de mayor conductividad es mejor o peor conductor.
Se tienen dos alambres de la misma longitud y de la misma sección: uno de cobre ($\rho = 1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$) y otro de hierro (…
Se tienen dos alambres de la misma longitud y de la misma sección: uno de cobre ($\rho = 1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$) y otro de hierro ($\rho = 1{,}0\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$).
- a) Calcula cuántas veces es mayor la resistencia del alambre de hierro que la del alambre de cobre.
- b) Si ambos se conectan a la misma diferencia de potencial, explica cuál deja pasar mayor corriente y por qué.
Elegir un cable: aplicaciones
Los problemas reales combinan Pouillet con la Ley de Ohm. Dos situaciones típicas:
Estirar un alambre. El volumen del material no cambia: $V = A\cdot L$ es constante. Si $L$ se triplica, $A$ se reduce a la tercera parte. Entonces $R' = \rho\dfrac{3L}{A/3} = 9\,\rho\dfrac{L}{A} = 9R$.
Sustituir un material por otro con la misma $R$ y la misma $L$. Igualando $\rho_1/A_1 = \rho_2/A_2$ se obtiene $A_2 = A_1\,\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$. El material peor conductor necesita más sección.
Vuelve al principio: un cable largo y delgado tiene gran resistencia, y por eso pierde voltaje y se calienta. Para la bomba se elige según $R = \rho L/A$ y la corriente que pasará.
Wilmer debe elegir entre dos cables para alimentar una bomba de agua ubicada a $80\ \text{m}$ del tablero, en un predio de los valles de Cochabamba. Las opciones son:…
Wilmer debe elegir entre dos cables para alimentar una bomba de agua ubicada a $80\ \text{m}$ del tablero, en un predio de los valles de Cochabamba. Las opciones son:
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Cable de cobre con $\rho = 1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ y sección de $2{,}5\ \text{mm}^2$.
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Cable de aluminio con $\rho = 2{,}8\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ y sección de $4{,}0\ \text{mm}^2$.
- a) Calcula la resistencia de cada cable.
- b) Si por el cable circulan $12\ \text{A}$, calcula la caída de tensión en cada uno.
- c) Argumenta cuál elegirías si la prioridad es perder la menor tensión, y menciona otro factor que podría influir en la decisión.
Un conductor de cobre tiene longitud $L$ y diámetro $d = 1{,}0\ \text{mm}$. Se quiere reemplazar por otro conductor de aluminio de la misma longitud y la misma…
Un conductor de cobre tiene longitud $L$ y diámetro $d = 1{,}0\ \text{mm}$. Se quiere reemplazar por otro conductor de aluminio de la misma longitud y la misma resistencia. Datos: $\rho_{\text{Cu}} = 1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ y $\rho_{\text{Al}} = 2{,}8\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$.
- a) Calcula el área de la sección del alambre de cobre.
- b) Determina el área y el diámetro que debe tener el alambre de aluminio.
- c) Compara las masas de ambos alambres, sabiendo que las densidades son $8{,}9\ \text{g/cm}^3$ para el cobre y $2{,}7\ \text{g/cm}^3$ para el aluminio, y explica qué ventaja puede tener el aluminio en líneas de transmisión largas.