Ángulos orientados y circunferencia goniométrica
Hasta ahora el seno, el coseno y la tangente solo tenían sentido para ángulos agudos, los que caben dentro de un triángulo rectángulo. Pero la noria de la costanera da vueltas y vueltas, y una cabina puede girar $750º$ sin parar; el timón de un velero en el Río de la Plata apunta a rumbos de $220º$. Hace falta una definición que funcione para cualquier ángulo, por grande, pequeño o negativo que sea. Esa es la circunferencia goniométrica.
Ángulos de más de una vuelta, y ángulos negativos
Un ángulo no tiene por qué quedarse entre $0º$ y $360º$. Si algo gira y sigue girando, el ángulo recorrido puede ser $750º$, $2000º$ o más: cada $360º$ es una vuelta completa. Por convención, los ángulos se miden desde el semieje positivo de $X$, y son positivos si el giro es antihorario y negativos si es horario.
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:…
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:
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$\alpha = 750º$
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$\beta = 1180º$
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$\gamma = 2000º$
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:…
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:
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$\alpha = -60º$
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$\beta = -150º$
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$\gamma = -400º$
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$. ¿Cuántas…
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.
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¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?
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¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?
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Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?
La circunferencia goniométrica: seno y coseno como coordenadas
Dibujá una circunferencia de radio $1$ con centro en el origen del plano cartesiano. Para cualquier ángulo $\alpha$ medido desde el semieje positivo de $X$, su lado terminal corta a esa circunferencia en un único punto $P$. La idea clave: el coseno de $\alpha$ es la abscisa de $P$ y el seno de $\alpha$ es su ordenada.
Para un ángulo agudo coincide con lo que ya sabías: la hipotenusa mide $1$, así que cateto opuesto sobre hipotenusa es directamente la ordenada de $P$. Como $P$ está sobre una circunferencia de radio $1$, siempre se cumple $-1 \le \operatorname{sen}\alpha \le 1$ y $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra…
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.
A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:
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$\sin 90º$ y $\cos 90º$
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$\sin 180º$ y $\cos 180º$
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$\sin 270º$ y $\cos 270º$
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$\sin 360º$ y $\cos 360º$
Los cuatro cuadrantes y el signo de las razones
Los ejes dividen la circunferencia en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario desde el semieje positivo de $X$. El cuadrante donde cae el lado terminal de $\alpha$ determina, sin calcular nada, si $\operatorname{sen}\alpha$ y $\cos\alpha$ son positivos o negativos: basta mirar el signo de la ordenada y de la abscisa en esa zona.
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos: $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:
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$\alpha = 95º$
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$\beta = 262º$
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$\gamma = 310º$
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$\delta = -80º$
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$\varepsilon = 500º$
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo: $\sin 130º$…
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:
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$\sin 130º$
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$\cos 200º$
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$\tan 320º$
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$\cos 95º$
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$\sin 350º$
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$\tan 140º$
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes. A la vista de la figura,…
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.
A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que: $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ y…
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:
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$\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$
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$\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$
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$\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$
Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.
Ángulos mayores de 90º: el ángulo de referencia
¿Cómo se calcula, por ejemplo, $\operatorname{sen}135º$ sin calculadora? La clave es el triángulo de referencia: el triángulo rectángulo que se forma entre el lado terminal, la proyección de $P$ sobre el eje $X$ y el propio eje. Su ángulo agudo, el ángulo de referencia, tiene razones iguales en valor absoluto a las del ángulo original.
Según el cuadrante, el ángulo de referencia es: $\alpha$ en el I, $180º - \alpha$ en el II, $\alpha - 180º$ en el III y $360º - \alpha$ en el IV.
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia. Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$…
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.
Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a…
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).
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Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.
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Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.
Considera el ángulo $\alpha = 215º$. Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal. Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$. Escribe…
Considera el ángulo $\alpha = 215º$.
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Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.
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Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.
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Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución: > «$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$» Encuentra el error que ha cometido, explica por…
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:
«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»
Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura. ¿Qué relación…
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.
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¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.
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Si $\sin \alpha = 0,42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.
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¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.
Una relación entre seno y coseno
El punto $P(\cos\alpha; \operatorname{sen}\alpha)$ está sobre una circunferencia de radio $1$, así que su distancia al origen es $1$. Por Pitágoras, $\cos^2\alpha + \operatorname{sen}^2\alpha = 1$ para cualquier ángulo. Esto permite hallar una razón si conocés la otra y el cuadrante.
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$. ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y…
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$.
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¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?
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Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
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Calcula $\tan \alpha$.
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Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.
¿Y si no existe la tangente?
La tangente es $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$. Como toda división, falla cuando el denominador es $0$: si $\cos\alpha = 0$, la tangente no existe. Pasa en $90º$ y en $270º$, donde el lado terminal cae sobre el eje $Y$.
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$. Si $\sin \alpha > 0$,…
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:
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Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.
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Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.
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La tangente de $90º$ no existe.
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$\sin(-40º) = \sin 40º$.
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$,…
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
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Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.
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Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.
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Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.
Volvé al principio: el giro de $750º$ de la cabina de la noria equivale a $2$ vueltas completas más $30º$ ($750º = 2 \cdot 360º + 30º$), así que su posición y sus razones son las de $30º$: por ejemplo, $\operatorname{sen}750º = \operatorname{sen}30º = 0{,}5$.