Volumen de un cuerpo geométrico
¿Cuántos litros entran en el acuario de un negocio de peces? ¿Cuánto helado hay en un cucurucho? ¿Cuántos cilindros de plomo salen de fundir una esfera? Todas son preguntas de volumen: el espacio que ocupa un cuerpo.
Unidades de volumen y capacidad
El volumen se mide en unidades cúbicas: $1\text{ cm}^3$ es un cubito de 1 cm de arista. Cada unidad es 1.000 veces la siguiente, porque $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1.000$.
Al ir en el sentido de las flechas (de m³ a dm³, a cm³ y a mm³) la unidad se achica: el número de unidades se multiplica por 1.000. Para ir en sentido contrario, se divide por 1.000. Esto sirve tanto para cuerpos grandes (un silo en m³) como para cuerpos diminutos (una gota en mm³).
Un acuario tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calculá cuántos litros de agua…
Un acuario tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calculá cuántos litros de agua entran en el acuario si se llena por completo. (Recordá que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$).
Prismas y cilindros
Un prisma o un cilindro son "pilas" de bases iguales apiladas hasta la altura $h$. Por eso su volumen es área de la base por altura:
$$V = A_{base} \cdot h \qquad \text{Prisma rectangular: } V = a \cdot b \cdot c \qquad \text{Cilindro: } V = \pi r^2 h$$Bases que son polígonos regulares
Cuando la base es un polígono regular (un hexágono, por ejemplo), su área se calcula con el perímetro y la apotema $ap$, que es la distancia del centro al punto medio de un lado:
$$A_{base} = \frac{\text{perímetro} \cdot ap}{2}$$Por qué: el polígono se parte en tantos triángulos iguales como lados tiene; cada uno tiene base $\ell$ (el lado) y altura $ap$, y su área es $\frac{\ell \cdot ap}{2}$. Sumando todos queda $\frac{n \cdot \ell \cdot ap}{2}$, y $n \cdot \ell$ es el perímetro.
En un hexágono regular de lado $\ell$, el radio es igual al lado. Entonces la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa $\ell$ y el otro cateto $\frac{\ell}{2}$:
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de altura.…
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de altura. Calculá el volumen de aire que ocupa la caja en centímetros cúbicos.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcula su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3,14$.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcula su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3,14$.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
Una pieza de queso tiene forma de cilindro con un radio de $10\text{ cm}$ y una altura de $8\text{ cm}$. Si cortamos el queso exactamente por la mitad verticalmente,…
Una pieza de queso tiene forma de cilindro con un radio de $10\text{ cm}$ y una altura de $8\text{ cm}$. Si cortamos el queso exactamente por la mitad verticalmente, ¿cuál será el volumen de cada una de las dos partes resultantes? (Usa $\pi \approx 3,14$).
La municipalidad de una ciudad instaló jardineras de cemento con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura…
La municipalidad de una ciudad instaló jardineras de cemento con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura de la jardinera es de $60 \text{ cm}$, calculá el volumen de tierra (en litros) necesario para llenarla por completo.
(Dato: recordá que primero debés hallar la apotema de la base utilizando el teorema de Pitágoras).
Pirámides y conos: un tercio
Si llenás de agua una pirámide y la vaciás en un prisma con la misma base y la misma altura, necesitás exactamente tres pirámides para llenarlo. Con el cono y el cilindro pasa lo mismo.
$$V_{pirámide} = \frac{A_{base} \cdot h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Una pirámide de cristal decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para…
Una pirámide de cristal decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricarla.
Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcula cuántos centímetros cúbicos de helado caben…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcula cuántos centímetros cúbicos de helado caben en su interior (sin que sobresalga nada por arriba).
Una pirámide de cristal para decoración tiene una base cuadrada de $12 \text{ cm}$ de lado. Si la arista lateral (el segmento que une el vértice superior con un vértice…
Una pirámide de cristal para decoración tiene una base cuadrada de $12 \text{ cm}$ de lado. Si la arista lateral (el segmento que une el vértice superior con un vértice de la base) mide $10 \text{ cm}$, calcula el volumen de cristal que contiene la pieza.
(Nota: deberás aplicar el teorema de Pitágoras dos veces: primero para hallar la diagonal de la base y luego para hallar la altura de la pirámide).
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcula el volumen de helado que cabe en…
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcula el volumen de helado que cabe en el interior del cono. Si al servirlo se añade una semiesfera perfecta de helado sobre la base (del mismo radio), ¿cuál será el volumen total del helado?
La esfera
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$El profesor de educación física guarda las pelotas de handball en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calculá el volumen de una de ellas…
El profesor de educación física guarda las pelotas de handball en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calculá el volumen de una de ellas redondeando a dos decimales. (Usá $\pi \approx 3,14$).
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el…
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el radio de la nueva esfera resultante? Redondea el resultado a las centésimas.
El Principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen.…
El Principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen. Utiliza esta idea para comparar el volumen de una esfera de radio $R$ con el volumen comprendido entre un cilindro de radio $R$ y altura $2R$, y un doble cono inscrito en él. Demuestra matemáticamente que el volumen de la esfera es efectivamente $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ calculando primero el volumen del cilindro y restándole el de los dos conos.
Cuerpos semejantes: la razón de volúmenes
Dos cuerpos son semejantes si uno es una ampliación o reducción del otro: todas sus longitudes se multiplican por el mismo número $k$, la razón de semejanza. ¿Qué pasa con el volumen?
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Las longitudes (aristas, radios, alturas) se multiplican por $k$.
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Las áreas se multiplican por $k^2$.
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Los volúmenes se multiplican por $k^3$.
Por qué: el volumen es "largo por ancho por alto", y cada una de esas tres medidas se multiplica por $k$.
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de cristal. Los conos tienen un radio de base de…
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de cristal. Los conos tienen un radio de base de $6\text{ cm}$ y una altura de $10\text{ cm}$. Si el depósito superior está lleno de arena hasta la mitad de su altura, calcula el volumen de arena en $cm^3$. Si la arena cae al depósito inferior a un ritmo constante de $5\text{ cm}^3$ por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse la parte superior? (Recuerda aplicar la semejanza de conos para hallar el radio de la superficie de la arena).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales combinan varios cuerpos: un silo (cilindro, cono y semiesfera), una cápsula (cilindro y dos semiesferas), una pieza con un agujero. Se descomponen, se calcula el volumen de cada parte y se suman, o se resta el hueco.
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y…
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y el nivel del agua sube hasta los $12,5 \text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. En la figura, la línea discontinua marca el nivel inicial del agua y la línea azul continua, el nivel final.
¿Cuál es el volumen de la piedra expresado en centímetros cúbicos?
Calcula el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide…
Calcula el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide cuadrangular cuya base está inscrita en la circunferencia del cilindro y cuya altura es de $6 \text{ cm}$.
(Pista: el lado del cuadrado de la base de la pirámide coincide con el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio $4 \text{ cm}$).
Un depósito de agua tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor es de $3 \text{ m}$, el radio de la base menor es de $1,5 \text{ m}$ y la altura del…
Un depósito de agua tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor es de $3 \text{ m}$, el radio de la base menor es de $1,5 \text{ m}$ y la altura del depósito es de $4 \text{ m}$. Calcula la capacidad del depósito en metros cúbicos.
(Sugerencia: puedes usar la fórmula del volumen del tronco de cono o verlo como la diferencia entre dos conos).
Volumen, masa y densidad
Dos cuerpos del mismo volumen pueden pesar muy distinto: un cubo de plomo y uno de telgopor. La densidad mide cuánta masa hay en cada unidad de volumen:
$$\delta = \frac{\text{masa}}{\text{volumen}} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{masa} = \delta \cdot \text{volumen}$$Se expresa, por ejemplo, en $\text{g/cm}^3$, $\text{kg/dm}^3$ o $\text{kg/m}^3$. El agua tiene $1\text{ g/cm}^3$ (1 kg por litro).
Un termo para café tiene forma cilíndrica. El radio de la base mide $4 \text{ cm}$ y la altura total es de $25 \text{ cm}$. Si el termo está lleno hasta el $80 \%$ de su…
Un termo para café tiene forma cilíndrica. El radio de la base mide $4 \text{ cm}$ y la altura total es de $25 \text{ cm}$. Si el termo está lleno hasta el $80 \%$ de su capacidad, ¿cuántos vasos de $150 \text{ ml}$ se pueden llenar completamente?
(Toma $\pi \approx 3,14$ y recuerda que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litro}$).
Una empresa de diseño de mobiliario urbano ha proyectado una papelera de hormigón con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las dimensiones externas de la…
Una empresa de diseño de mobiliario urbano ha proyectado una papelera de hormigón con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las dimensiones externas de la base superior son de $40\text{ cm}$ de lado, las de la base inferior son de $30\text{ cm}$ de lado y la altura total es de $80\text{ cm}$. Para que sea funcional, el interior está hueco con la misma forma, pero dejando unas paredes de un grosor constante de $5\text{ cm}$ en los laterales y en la base inferior (la parte superior está abierta). Calcula el volumen de hormigón necesario para fabricar cada papelera en decímetros cúbicos ($dm^3$).
Un escultor desea crear una pieza de acero inoxidable que consiste en un cubo de $20\text{ cm}$ de arista al que se le han extraído ocho tetraedros en sus esquinas. Cada…
Un escultor desea crear una pieza de acero inoxidable que consiste en un cubo de $20\text{ cm}$ de arista al que se le han extraído ocho tetraedros en sus esquinas. Cada tetraedro se forma uniendo el vértice del cubo con los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice (un truncamiento medio). Determina el volumen final de la escultura. ¿Qué porcentaje del volumen del cubo original se ha eliminado?
Una esfera de plomo de $10\text{ cm}$ de radio se funde para fabricar pequeños cilindros de $2\text{ cm}$ de diámetro y $3\text{ cm}$ de altura. Suponiendo que en el…
Una esfera de plomo de $10\text{ cm}$ de radio se funde para fabricar pequeños cilindros de $2\text{ cm}$ de diámetro y $3\text{ cm}$ de altura. Suponiendo que en el proceso de fundición se pierde un $5\%$ del material, ¿cuántos cilindros completos se podrán fabricar? Si cada cilindro tiene una masa de $107\text{ g}$, ¿cuál es la densidad del plomo utilizado en $g/cm^3$?
Un silo de cereales tiene una forma compuesta: una parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura y $4\text{ m}$ de diámetro, rematada en la parte superior por una…
Un silo de cereales tiene una forma compuesta: una parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura y $4\text{ m}$ de diámetro, rematada en la parte superior por una semiesfera y en la parte inferior por un cono de descarga de $3\text{ m}$ de altura. Calcula la capacidad total del silo en metros cúbicos. Si el silo se llena al $85\%$ de su capacidad, ¿cuántas toneladas de trigo contendrá si la densidad del trigo es de $750\text{ kg/m}^3$?
Un envase de perfume tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. Sin embargo, el cristal tiene un grosor de $2\text{ mm}$ en todas sus caras. El…
Un envase de perfume tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. Sin embargo, el cristal tiene un grosor de $2\text{ mm}$ en todas sus caras. El fabricante afirma que el envase puede contener $80\text{ ml}$ de fragancia ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Realiza los cálculos necesarios para comprobar si la afirmación es verdadera. (Dato: El volumen de un octaedro de arista $a$ es $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Deberás considerar cómo afecta el grosor a la arista del hueco interior).
Se desea sumergir una pieza metálica con forma de pirámide hexagonal regular en un recipiente cilíndrico de $15\text{ cm}$ de radio que contiene agua. La pirámide tiene…
Se desea sumergir una pieza metálica con forma de pirámide hexagonal regular en un recipiente cilíndrico de $15\text{ cm}$ de radio que contiene agua. La pirámide tiene una arista básica de $10\text{ cm}$ y una arista lateral de $20\text{ cm}$. Al introducir la pieza completamente, ¿cuántos milímetros subirá el nivel del agua en el recipiente? (Recuerda que primero debes calcular la altura de la pirámide usando el Teorema de Pitágoras dos veces).
Volvé al principio: el acuario de $60 \times 30 \times 40\text{ cm}$ tiene $V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72.000\text{ cm}^3 = 72\text{ dm}^3$, es decir, entran $72$ litros.