Poliedros
Un dado, una caja de alfajores, las pirámides de Egipto, una pelota de fútbol clásica (casi)… Son poliedros: cuerpos cerrados cuyas caras son polígonos. Y los dados de rol de 4, 8, 12 y 20 caras son poliedros muy especiales: los regulares. Al final vas a poder contar cuántos pentágonos y hexágonos tiene una pelota de las de antes.
Elementos de un poliedro
Girá el poliedro con el dedo y contá sus elementos:
Una caja de zapatos es un ortoedro: tiene 6 caras rectangulares, y las opuestas son iguales de a pares. Un cubo es el caso particular en que las 6 caras son cuadrados iguales.
Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.
Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.
Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de…
Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de $20\text{ cm}$, indicá cuántas de sus caras son iguales entre sí.
La fórmula de Euler
Contá en el cubo: $C = 6$, $V = 8$, $A = 12$. Ahora en una pirámide cuadrangular: $C = 5$, $V = 5$, $A = 8$. ¿Hay alguna relación? Sumá caras y vértices y comparalo con las aristas.
Sirve para hallar un dato que falta o para detectar un error de conteo.
Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula: $C + V = A + 2$ donde $C$ es el número…
Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula:
$C + V = A + 2$
donde $C$ es el número de caras, $V$ el de vértices y $A$ el de aristas.
Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.
Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.
Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error…
Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error en los planos, no se indica el número de vértices. Utiliza el Teorema de Euler para calcular cuántos vértices tiene la escultura y explica si es posible que se trate de un dodecaedro regular basándote en sus elementos.
Truncar un poliedro
Truncar un vértice es cortarlo con un plano y sacar la «puntita». ¿Qué pasa con los elementos? Pensalo con un cubo al que le cortamos un vértice por los puntos medios de las tres aristas que llegan a él.
Si cortás los 8 vértices por los puntos medios de las aristas, cada punto medio lo comparten dos cortes vecinos, así que no aparecen 3 vértices nuevos por corte sino uno por cada arista.
Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de las tres…
Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de las tres aristas que concurren en un vértice $V$. Así se elimina una pequeña pirámide triangular (proceso de truncamiento). En la figura, las líneas rojas discontinuas marcan la pirámide eliminada y las grises discontinuas son aristas ocultas.
- a) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el nuevo poliedro resultante?
- b) ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Euler tras el corte?
Un diseñador de trofeos para una competición de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de cristal de $12$ cm de arista. El proceso consiste en…
Un diseñador de trofeos para una competición de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de cristal de $12$ cm de arista. El proceso consiste en "truncar" el cubo cortando cada uno de sus $8$ vértices mediante planos que pasan por los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice.
- a) Calcula el número de caras, vértices y aristas del poliedro resultante.
- b) Comprueba si el nuevo poliedro sigue cumpliendo el Teorema de Euler.
- c) ¿Qué tipo de polígonos forman las caras del nuevo trofeo?
Prismas y pirámides
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Prisma: dos bases iguales y paralelas, y caras laterales que son paralelogramos (rectángulos si es recto). Si las bases son rectángulos, es un ortoedro.
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Pirámide: una base y caras laterales triangulares que se juntan en un vértice, la cúspide.
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Se nombran por la base: triangular, cuadrangular, pentagonal… Son regulares si la base es un polígono regular y son rectos.
Para distinguirlos, mirá las caras laterales: en un prisma son rectángulos (o paralelogramos) y hay dos bases; en una pirámide son triángulos y hay una sola base.
Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.
Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.
Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado…
Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado con la letra $a$ (altura de una cara lateral).
Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el…
Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10 \text{ cm}$. Calcula la altura de la pirámide para saber si cabe en una estantería de $9 \text{ cm}$ de alto.
Los poliedros regulares
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice se juntan la misma cantidad de caras. Solo existen cinco, los sólidos platónicos:
| Poliedro | Caras | $C$ | $V$ | $A$ |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triángulos equiláteros | 4 | 4 | 6 |
| Cubo (hexaedro) | cuadrados | 6 | 8 | 12 |
| Octaedro | triángulos equiláteros | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedro | pentágonos regulares | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedro | triángulos equiláteros | 20 | 12 | 30 |
Poliedro dual. Si unís los centros de las caras de un poliedro regular, obtenés otro poliedro regular: su dual. Las caras del original se vuelven vértices del nuevo, y los vértices se vuelven caras. Por eso el cubo y el octaedro son duales ($C$ y $V$ se intercambian: 6 y 8 contra 8 y 6), y el dodecaedro y el icosaedro también. El tetraedro es dual de sí mismo.
¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene. Puedes…
¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras: Tetraedro Cubo (Hexaedro) Octaedro Dodecaedro Icosaedro Los…
Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras:
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Tetraedro
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Cubo (Hexaedro)
-
Octaedro
-
Dodecaedro
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Icosaedro
Los polígonos disponibles son: Triángulo equilátero, Cuadrado y Pentágono regular.
Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo…
Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo dado uniendo los centros de las caras del octaedro original:
- a) ¿Qué nombre recibe el poliedro resultante (su poliedro dual)?
- b) ¿Cuántas caras y cuántos vértices tendrá este nuevo poliedro? Comprueba si cumple la fórmula de Euler.
Simetrías de los cuerpos
Un plano de simetría divide al cuerpo en dos mitades que son reflejo una de la otra, como un espejo. Un eje de rotación es una recta alrededor de la cual el cuerpo, al girar, vuelve a coincidir consigo mismo. Su orden es la cantidad de veces que coincide en una vuelta completa: un eje de orden 4 coincide cada 90°; uno de orden 3, cada 120°.
| Cuerpo | Planos de simetría | Ejes de rotación |
|---|---|---|
| Tetraedro | 6 | 4 de orden 3 (vértice y centro de la cara opuesta); 3 de orden 2 (puntos medios de aristas opuestas) |
| Cubo y octaedro | 9 | 3 de orden 4; 4 de orden 3; 6 de orden 2 |
| Prisma de base cuadrada (no cubo) | 5 | 1 de orden 4 y 4 de orden 2 |
Para el cubo: 3 planos paralelos a las caras y 6 que pasan por aristas opuestas. Los ejes de orden 4 unen los centros de caras opuestas; los de orden 3, vértices opuestos; los de orden 2, puntos medios de aristas opuestas.
Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ cm y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el volumen…
Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ cm y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el volumen total de la pieza es de $288$ $cm^3$.
- a) Calcula la altura de la pirámide.
- b) Calcula la distancia máxima entre el vértice de la pirámide y cualquiera de los vértices de la base inferior del cubo.
- c) ¿Cuántos planos de simetría tiene esta pieza compuesta?
Diagonales: Pitágoras en el espacio
La diagonal de un ortoedro de dimensiones $a \times b \times c$ se calcula aplicando Pitágoras dos veces: primero en la base (diagonal $\sqrt{a^2 + b^2}$) y después en el triángulo rectángulo vertical que forman esa diagonal, la arista $c$ y la diagonal del cuerpo:
$$D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo…
Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo fluorescente que mide $128 \text{ cm}$ de largo. ¿Es posible guardarlo en línea recta uniendo dos vértices opuestos de la caja? Justificá tu respuesta calculando la diagonal principal del poliedro.
Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide…
Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide exactamente $2,25$ metros de largo. El depósito dispone de cajas cuyas dimensiones son $200$ cm de largo, $80$ cm de ancho y $60$ cm de alto. Determiná razonadamente, mediante el cálculo de la diagonal del ortoedro, si la jabalina puede viajar dentro de la caja sin doblarse (suponiendo que su grosor es despreciable).
Áreas y volúmenes de prismas y pirámides
Para el área total sumás el área lateral y las bases. Para el volumen:
El tercio de la pirámide tiene su porqué: tres pirámides iguales de un cubo (con la cúspide en un vértice) lo llenan por completo.
En el taller de tecnología, un grupo de alumnos está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La arista…
En el taller de tecnología, un grupo de alumnos está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La arista de la base mide $10 \text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25 \text{ cm}$. Calcula el área total de cartón necesaria para fabricar la caja (incluida la tapa).
Dato: Recuerda calcular primero la apotema de la base usando el Teorema de Pitágoras.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden…
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden $5 \text{ cm}$. La altura del prisma es de $20 \text{ cm}$.
Dato: Primero deberás hallar la altura del trapecio de la base para poder calcular su área.
Un depósito de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ m y $10$ m, y los lados iguales miden $5$ m. Si la…
Un depósito de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ m y $10$ m, y los lados iguales miden $5$ m. Si la altura del depósito (la longitud del prisma) es de $15$ m:
- a) Calcula el área de la base del depósito (necesitarás hallar primero la altura del trapecio).
- b) Calcula el área total del depósito.
- c) Si se llena hasta el $80\%$ de su capacidad, ¿cuántos litros de agua contendrá?
Pirámides con cortes, troncos y semejanza
Si cortás una pirámide con un plano paralelo a la base, la parte de arriba es otra pirámide semejante a la original, y la de abajo se llama tronco de pirámide. Si la razón de semejanza es $k$:
Esto vale para cualquier par de cuerpos semejantes, no solo pirámides.
Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la…
Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la altura del tronco es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de metal necesario para fundir este trofeo.
Sugerencia: Puedes usar la fórmula del volumen del tronco o considerar el tronco como la diferencia de dos pirámides.
Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ cm y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una altura…
Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ cm y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una altura de $12$ cm desde el vértice (es decir, por el punto medio de la altura).
- a) Calcula la arista de la base del tronco de pirámide superior.
- b) Calcula el volumen del tronco de pirámide inferior resultante tras retirar la parte superior.
Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ cm y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo prisma…
Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ cm y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo prisma tiene un volumen que es exactamente $8$ veces el volumen del primero:
- a) ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre ambos cuerpos?
- b) Calcula la altura y el área total del segundo prisma basándote en las relaciones de semejanza para áreas y volúmenes.
Cuerpos compuestos
A veces el cuerpo se arma uniendo piezas, o sacando una pieza de otra. El volumen total es la suma o la resta de los volúmenes parciales, y el área hay que revisarla cara por cara: lo que se une deja de ser superficie exterior, y lo que se ahueca suma paredes nuevas.
Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ m y la altura de la carpa en el centro es de $10$ m.…
Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ m y la altura de la carpa en el centro es de $10$ m. Sabiendo que la apotema de un octógono regular de lado $L$ es aproximadamente $1,21 \cdot L$:
- a) Calcula la apotema de la pirámide.
- b) Calcula la cantidad de lona necesaria para cubrir las paredes laterales de la carpa.
- c) Calcula el volumen de aire que contiene la carpa.
Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ cm. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide…
Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ cm. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide cuadrangular cuya base coincida con una de las caras de $40 \times 40$ cm y cuyo vértice llegue exactamente al centro de la cara opuesta.
- a) Calculá el volumen de granito que queda tras extraer la pirámide.
- b) Calculá el área de la superficie total del cuerpo resultante (incluyendo las paredes interiores del hueco piramidal).
Volvé al principio: la pelota de fútbol clásica es un icosaedro truncado: tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos ($C = 32$), 60 vértices y 90 aristas. Comprobá con Euler: $32 + 60 = 92 = 90 + 2$ ✓. Por eso casi es un poliedro: al inflarla, el aire curva las caras y rueda como una esfera.