Vectores y espacios vectoriales

Expresa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ como una combinación lineal de los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$, es decir, en función de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Un dron de vigilancia despega desde una plataforma situada en el punto $A(1, -2, 5)$ y se desplaza en línea recta hasta alcanzar un objetivo en el punto $B(4, 3, -1)$. Calcula las componentes del vector de desplazamiento $\vec{AB}$ y obtén su módulo para conocer la distancia recorrida por el dron.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realiza las siguientes operaciones analíticas:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcula el valor del escalar $k$ si se sabe que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

Determina si los vectores $\vec{a} = (1, -2, 4)$ y $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ son linealmente dependientes. Justifica tu respuesta comprobando si sus coordenadas son proporcionales y explica qué relación geométrica existe entre ellos (¿son paralelos?).

Calcula el valor del parámetro $m$ para que el vector $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sea combinación lineal de los vectores $\vec{v} = (1, 0, 2)$ y $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mediante la expresión $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Un dron de mensajería se desplaza en el espacio tridimensional siguiendo trayectorias marcadas por vectores. Sus propulsores básicos le permiten realizar tres movimientos fundamentales definidos por los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ y $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Si el dron necesita realizar un transporte urgente desde el centro de control hasta un cliente siguiendo el vector de desplazamiento resultante $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcula los coeficientes $a, b$ y $c$ tales que el movimiento se pueda expresar como combinación lineal de los propulsores: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

En el diseño de una estructura metálica, dos vigas se unen en sus extremos representados por los puntos $P(2, 5, -3)$ y $Q(8, -1, 7)$. Para reforzar la estructura, se debe colocar un soporte exactamente en el punto medio del segmento $PQ$. Halla las coordenadas de dicho punto medio $M$.

Tres estaciones de radio están situadas en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ y $C(5, 3, -1)$. Comprueba si las tres estaciones están alineadas (pertenecen a la misma línea recta) estudiando la proporcionalidad de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$.

Considera un paralelogramo donde tres de sus vértices consecutivos son $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ y $C(5, 5, 3)$. Utilizando la igualdad entre vectores (por ejemplo, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.

Dados los puntos $A(2, -1, 4)$ y $B(8, 5, -2)$, encuentra las coordenadas de los puntos $C$ y $D$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes iguales. Explica la relación vectorial que has utilizado para resolverlo.

Un sistema de seguridad láser utiliza tres sensores situados en los puntos $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ y $C(k, -2, -1)$. Para que el sistema funcione correctamente, los tres sensores deben estar perfectamente alineados.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que los sensores $A, B$ y $C$ estén alineados.
2. b) Utilizando el valor de $k$ hallado, determina las coordenadas del punto medio del segmento $AC$.

Considera los vectores del espacio $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Demuestra que el conjunto $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forma una base de $\mathbb{R}^3$.
2. b) Encuentra las coordenadas del vector canónico $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ respecto de la base $B$.

En el diseño de un videojuego, la iluminación de una sala depende de tres focos cuyas direcciones de haz están definidas por los vectores $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ y $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Determina razonadamente los valores del parámetro real $k$ para los cuales los tres haces de luz son linealmente dependientes (están en un mismo plano). ¿Qué ocurre con la base del espacio si $k$ toma uno de esos valores?

Se están instalando paneles solares en una estructura metálica. Los puntos de anclaje de un panel son $P(1, 0, 1)$, $Q(2, 1, 3)$, $R(0, 2, 2)$ y $S(1, 3, a)$. Para que el panel no sufra tensiones mecánicas, los cuatro puntos deben ser coplanarios (pertenecer al mismo plano).

1. a) Determina el valor de $a$ para que los puntos $P, Q, R$ y $S$ sean coplanarios.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, ¿son los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ linealmente independientes? Justifica tu respuesta.

Estudia el rango de la siguiente familia de vectores según los valores del parámetro $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina para qué valores de $m$ el sistema de vectores es linealmente dependiente y, en caso de serlo, indica si los vectores son proporcionales o coplanarios.

En un software de simulación física, se define un sistema de referencia local mediante los vectores $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ y un tercer vector $\vec{c}$ de modo que el conjunto sea linealmente independiente.

Si el vector $\vec{c}$ tiene la forma $(0, 1, \lambda)$, determina el intervalo de valores de $\lambda$ para los cuales $\vec{c}$ no puede expresarse como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Razona si esto significa que el conjunto $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formaría una base de $\mathbb{R}^3$.

Dados los vectores del espacio $\mathbb{V}^3$ definidos por $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, k)$, se pide:

• a) Determinar razonadamente para qué valores del parámetro real $k$ los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ no constituyen una base de $\mathbb{R}^3$.

• b) Para los valores de $k$ hallados en el apartado anterior, estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores tomados de dos en dos.

• c) En el caso de que $k = 0$, expresa el vector $\vec{a} = (2, 3, 5)$ como combinación lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Considera una base $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ de un espacio vectorial euclídeo. Se definen tres nuevos vectores a partir de los elementos de la base como:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Demuestra que los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente dependientes si y solo si el producto de los coeficientes $abc = -1$. En caso de que $a=1, b=1, c=-1$, obtén la relación de dependencia lineal que existe entre ellos.

Estudia la dependencia lineal de los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ y $D(m, m, m)$.

• a) Determina para qué valores de $m$ los cuatro puntos son coplanarios.

• b) ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el vector $\vec{AB}$ sea ortogonal al vector $\vec{CD}$?

• c) Explica geométricamente qué ocurre con los puntos cuando $m=1$.

Sean los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Hallar todos los vectores $\vec{w}$ que cumplan simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

2. El módulo de $\vec{w}$ es igual a $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forma un ángulo de $60^\circ$ con el vector $\vec{u}$.

Se considera el conjunto de vectores $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ que forman una base ortonormal. Se construye un nuevo sistema de vectores $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ mediante las relaciones:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Demuestra que $S'$ es una base ortogonal pero no ortonormal.

• b) Halla el volumen del paralelepípedo definido por los vectores de $S'$.

• c) Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(3, 1, 4)$ en la base $S$, calcula sus coordenadas en la base $S'$.

Un equipo de ingenieros está calibrando el sistema de navegación de un satélite. Se han definido dos bases distintas en el espacio de trabajo. La base de control $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ y la base de maniobra $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Sabemos que:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Un objeto detectado tiene coordenadas $(1, -2, 3)$ respecto a la base maniobra $B'$. Calcula cuáles son sus coordenadas respecto a la base de control $B$. ¿Es posible que un vector tenga las mismas coordenadas en ambas bases? Justifica tu respuesta.

En un tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(2,2,0)$, $B(0,2,1)$ y $C(k,0,3)$, se pide determinar el valor de $k$ para que el vector que une el origen $O$ con el baricentro $G$ de la cara opuesta $ABC$ sea perpendicular al plano que contiene a dicha cara. Nota: El baricentro de un triángulo es la media aritmética de sus vértices.

Dos partículas se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas. En el instante $t=0$, la primera partícula se encuentra en el punto $P(1, 0, 0)$ y se mueve con una velocidad constante dada por el vector $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$. La segunda partícula parte de $Q(0, 2, 1)$ con velocidad $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Determina el valor de $m$ para que los vectores posición de ambas partículas en cualquier instante $t > 0$ y el vector que une sus posiciones iniciales $\vec{PQ}$ sean siempre coplanarios. ¿Chocarán las partículas en algún momento para ese valor de $m$?