Volúmenes de revolución

La región bajo la curva $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ gira alrededor del eje $OX$, como se muestra en la figura.

Plantea la integral $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ correspondiente y calcula el volumen del sólido de revolución generado, expresando el resultado en función de $\pi$.

La función constante $f(x) = 2$ entre $x = 0$ y $x = 5$ gira alrededor del eje $OX$.

1. a) Calcula el volumen del sólido generado mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
2. b) ¿Qué cuerpo geométrico se ha generado? Comprueba el resultado con la fórmula del volumen de ese cuerpo.

La semicircunferencia $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira alrededor del eje $OX$.

1. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera y entre qué límites hay que integrar?
2. b) Calcula su volumen con la integral correspondiente.
3. c) Comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

El segmento de la recta $y = x$ comprendido entre $x = 0$ y $x = 3$ gira alrededor del eje $OX$ generando un cono.

1. a) Calcula su volumen mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
2. b) Identifica el radio y la altura del cono y comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Marcos ha calculado así el volumen del sólido que genera la región bajo la curva $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ y $x = 1$ al girar en torno al eje $OX$:

«$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8\pi}{3}\ \text{u}^3$»

1. a) Localiza el error en su planteamiento y explica en qué consiste.
2. b) Calcula el volumen correctamente.

El perfil de una copa de cerámica se modela con la curva $y = \sqrt{x}$, con $x$ e $y$ medidos en centímetros, que gira en torno al eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 9$.

1. a) Calcula el volumen interior de la copa en $\text{cm}^3$, redondeando a las unidades.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml}$, ¿cuál es la capacidad de la copa en mililitros? ¿Te parece una capacidad razonable para una copa? Comenta el resultado.

La región encerrada entre la parábola $y = x^2$ y la recta $y = x$, sombreada en la figura, gira alrededor del eje $OX$ generando un sólido hueco.

1. a) Halla los puntos de corte de ambas curvas.
2. b) Plantea el volumen como una diferencia de dos integrales (método de la arandela) y calcúlalo.

Un embudo cónico de laboratorio se obtiene al hacer girar la recta $y = 2x$, con $0 \le x \le 2$, en torno al eje $OY$, como se muestra en la figura (medidas en decímetros).

1. a) Expresa $x$ en función de $y$ y plantea la integral $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ que da el volumen, indicando los límites de integración.
2. b) Calcula el volumen del embudo.
3. c) Comprueba el resultado aplicando la fórmula del volumen del cono, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, identificando el radio y la altura del embudo.

La tobera de un motor de aeromodelismo es una pieza cuya pared exterior sigue el perfil de la hipérbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ y $x = 4$ (medidas en centímetros), al girar en torno al eje $OX$.

1. a) Calcula el volumen de material necesario para fabricar la pieza, suponiendo que es maciza entre el eje y el perfil.
2. b) Si el material tiene una densidad de $2,5\ \text{g/cm}^3$, ¿cuál es la masa de la pieza? Redondea a las décimas de gramo.

Considera la región del plano limitada por la parábola $y = x^2$, el eje $OX$ y la recta $x = 2$.

1. a) Calcula el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje $OX$.
2. b) Calcula el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje $OY$. (Sugerencia: resta al cilindro de radio $2$ y altura $4$ el sólido que genera la región comprendida entre la curva y el eje $OY$.)
3. c) Aunque la región que gira es la misma, los dos volúmenes no coinciden. Explica razonadamente por qué.

Un balón de rugby tiene forma de elipsoide de revolución: su sección transversal es la elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, que gira en torno al eje $OX$, como se muestra en la figura.

1. a) Despeja $y^2$ de la ecuación de la elipse y plantea la integral que da el volumen del elipsoide.
2. b) Demuestra que el volumen de un elipsoide de revolución es $V = \frac{4}{3} \pi a b^2$.
3. c) Un balón reglamentario tiene una longitud de $30\ \text{cm}$ ($a = 15\ \text{cm}$) y un diámetro máximo de $18\ \text{cm}$ ($b = 9\ \text{cm}$). Calcula su volumen y exprésalo en litros, redondeando a las décimas.

La región infinita limitada por la hipérbola $y = \frac{1}{x}$, el eje $OX$ y la recta $x = 1$ gira alrededor del eje $OX$, generando un sólido infinito conocido como trompeta de Torricelli, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el volumen $V(b)$ del tramo de trompeta comprendido entre $x = 1$ y $x = b$.
2. b) Halla $\lim_{b \to +\infty} V(b)$ e interpreta el resultado: ¿es finito el volumen de la trompeta completa?
3. c) Calcula el área de la región que ha girado, es decir, $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx$. Compara con el apartado anterior y comenta la paradoja del pintor: se puede llenar la trompeta de pintura, pero no se puede pintar su superficie.