Intervalos, entornos e inecuaciones (repaso)

En el diseño de componentes electrónicos, la tolerancia de voltaje de un sensor está definida por el conjunto de valores reales $x$ que cumplen la siguiente condición de desigualdad:

$-3 \leq x < 4,5$

Expresa este conjunto de valores utilizando la notación de intervalo e indica de qué tipo de intervalo se trata (abierto, cerrado o semibierto).

Dada la siguiente representación gráfica sobre la recta real, escribe el conjunto resaltado en notación de intervalo y en notación de conjunto (usando desigualdades).

Un servidor de datos de una empresa tecnológica mantiene su temperatura óptima de funcionamiento en el intervalo dado por $I = (-10, 35]$. Representa este intervalo en la recta real y determina si los siguientes valores de temperatura pertenecen al conjunto:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Relaciona cada valor absoluto con su intervalo correspondiente:

1. $|x| \leq 3$

2. $|x| < 5$

3. $|x - 2| \leq 1$

Intervalos disponibles:

• $A = ( -5, 5)$

• $B = [ -3, 3]$

• $C = [ 1, 3]$

En el laboratorio de física, un sensor de precisión mide el diámetro de una pieza metálica. El sistema de control acepta piezas cuyo diámetro $x$ (en mm) cumple la siguiente condición de tolerancia expresada mediante un valor absoluto:

Representa gráficamente esta situación en la recta real y expresa el conjunto de valores admitidos en forma de intervalo y como un entorno $E(a; r)$.

Puedes apoyarte en esta recta, donde solo se ha marcado el centro de la tolerancia, $12$. Complétala en tu cuaderno: señala los extremos, sombrea los valores admitidos e indica el radio.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En el estudio de límites, es fundamental el concepto de entorno reducido. Si tenemos el entorno $E(3; 0,5)$, que representa todos los números reales cuya distancia al centro $3$ es menor que $0,5$:

1. a) Escribe este conjunto en forma de intervalo.
2. b) Escribe el entorno reducido $E^*(3; 0,5)$, es decir, el mismo conjunto pero excluyendo el punto central.

Para estudiar la continuidad de una función en el punto $x = 3$, necesitamos trabajar en un entorno reducido de dicho punto con un radio de $0,1$ unidades.

1. a) Escribe la definición de dicho conjunto utilizando la notación $E^*(a, r)$.

1. b) Exprésalo mediante una desigualdad que incluya un valor absoluto.

1. c) Represéntalo como la unión de dos intervalos abiertos.

Un dron de vigilancia debe mantener una altitud de vuelo $h$ (en metros) de modo que su distancia a la altura de seguridad de $100$ metros sea siempre inferior a $5$ metros, pero por motivos de turbulencias, no puede volar exactamente a $100$ metros.

Expresa la condición de la altura $h$ mediante:

1. a) Un entorno reducido.
2. b) Una desigualdad con valor absoluto.
3. c) Una unión de intervalos.

En la definición formal de límite, cuando decimos que $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$, afirmamos que para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que, si $0<|x-2|<\delta$, entonces $|f(x)-5|<\varepsilon$. Tomamos $\varepsilon = 0,2$, que determina un entorno de $5$ en el eje $Y$. La gráfica muestra la función $f(x) = 2x + 1$ y el punto de la curva con $x = 2$.

1. a) Determina el intervalo correspondiente al entorno $E(5; 0,2)$.

1. b) Si sabemos que la función es $f(x) = 2x + 1$, encuentra el intervalo de valores de $x$ en el eje $X$ cuyas imágenes caen dentro del intervalo obtenido en el apartado anterior.

Se define un entorno del punto $a = 3$ mediante la expresión $|x - 3| < \delta$. Determina el valor máximo de $\delta$ para que todos los puntos $x$ de dicho entorno cumplan que sus cuadrados, $x^2$, se encuentren a una distancia menor de $0,5$ del valor $9$. Es decir, resuelve la implicación:

Expresa mediante un único intervalo el resultado de la siguiente unión de conjuntos:

$A = (- \infty, 2) \cup [0, 6]$

Apóyate en una representación gráfica si lo consideras necesario.

Determina la intersección de los siguientes intervalos de números reales:

$I_1 = [-3, 4]$

$I_2 = (0, + \infty)$

Escribe el resultado final tanto en forma de intervalo como de desigualdad.

Calcula la intersección y la unión de los siguientes conjuntos de números reales. Expresa el resultado final utilizando la notación de intervalos:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Dados los intervalos $I = (-\infty, 4]$ y $J = (-2, +\infty)$, realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación de intervalos y de forma gráfica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Escribe en forma de intervalo el dominio de definición de una función que solo acepta valores positivos de $x$ menores o iguales que $100$, pero excluyendo el valor exacto $x = 25$ debido a una singularidad técnica. Expón el resultado como una resta de conjuntos o como una unión de dos intervalos.

Sean los conjuntos $S_1$ y $S_2$ definidos por las siguientes condiciones. Calcula de forma exacta el conjunto resultante de la operación $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementario de la unión):

Determina el conjunto de valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad cuadrática, expresando el resultado como un intervalo o unión de intervalos:

¿Es este conjunto un entorno de algún número real? Justifica tu respuesta calculando el centro y el radio si fuera posible.

Un sensor de control térmico en una planta de procesamiento de biomasa opera correctamente siempre que la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) cumpla la condición $T \in [90, 150]$. Si la temperatura del proceso evoluciona temporalmente según la función $T(t) = t^2 - 20t + 175$, donde $t$ es el tiempo en minutos ($t \geq 0$), determina los intervalos de tiempo durante los cuales el sensor detecta una temperatura fuera de su rango de operación.

Determina el conjunto de valores reales $x$ que satisfacen simultáneamente la siguiente inecuación racional y el intervalo definido por el valor absoluto. Expresa el resultado final en forma de intervalo o unión de intervalos:

Dada la función racional $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina su dominio de definición y exprésalo como una unión de intervalos. Posteriormente, indica si el valor $x = 3,0001$ pertenece a un entorno de centro $3$ y radio $\delta = 0,001$.

En el diseño de una pieza de precisión para un telescopio, el radio de curvatura $R$ debe pertenecer al dominio de la siguiente función para asegurar la estabilidad estructural. Halla dicho dominio y exprésalo como unión de intervalos:

$f(R) = \sqrt{\frac{\ln(R^2 - 8)}{R - 4}}$

Considera la función $g(x) = \log_2\left( |x^2 - 1| - 2 \right)$.

1. a) Determina el conjunto de valores reales de $x$ para los que la función no está definida.

1. b) Expresa dicho conjunto como un intervalo o como una unión de intervalos.

1. c) Clasifica cada intervalo obtenido como abierto, cerrado o semiabierto.

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación con valores absolutos anidados. Representa la solución sobre la recta real y especifica si se trata de un conjunto acotado, indicando, en caso afirmativo, su supremo e ínfimo:

Determina el valor del parámetro real $k > 0$ para que la intersección de los conjuntos $A$ y $B$ sea un intervalo de longitud exactamente igual a $3$ unidades, siendo:

Pista: expresa $A$ y $B$ como intervalos de la recta real y estudia, según el valor de $k$, cómo queda $A \cap B$.