Rango de una matriz
En el laboratorio de la escuela, Valentina conecta varios sensores a una misma computadora. Se da cuenta de que uno de ellos siempre marca el doble que otro: no le aporta nada nuevo. ¿Cómo saber cuántos sensores dan información realmente distinta? Esa pregunta, aplicada a las filas de una matriz, es exactamente lo que mide el rango.
Determinantes de orden 2 y 3
Para trabajar con el rango necesitás calcular determinantes con soltura. Repasemos los dos casos básicos.
Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano: $$A =…
Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano:
$$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$Dada la matriz $M$, calcula el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$: $$M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Dada la matriz $M$, calcula el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$:
$$M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$Halla el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$
Halla el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$Menor complementario y adjunto
El factor $(-1)^{i+j}$ sigue un tablero de signos: $+$ en las posiciones donde $i+j$ es par y $-$ donde es impar.
$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$$En la matriz $C$, identifica el elemento $a_{23}$ y calcula su adjunto (cofactor) $A_{23}$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
En la matriz $C$, identifica el elemento $a_{23}$ y calcula su adjunto (cofactor) $A_{23}$:
$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$Propiedades que ahorran cuentas
Muchas veces no hace falta desarrollar el determinante: alcanza con aplicar propiedades. Estas son las que más se usan (para una matriz cuadrada $A$ de orden $n$).
¿Por qué $k^n$? Porque $kA$ tiene multiplicadas por $k$ las $n$ filas, y cada una aporta un factor $k$.
Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los…
Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los determinantes para justificar tu respuesta.
Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta: $$T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 9 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 5…
Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta:
$$T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 9 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los…
Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los siguientes determinantes:
- a) $|A^t \cdot A^{-1}|$
- b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$
- c) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras filas de $A$ y multiplicar la tercera columna por $-3$.
Columnas combinadas, traspuesta y adjunta
Cuando el enunciado da el determinante de una matriz escrita por columnas, se descompone usando la linealidad: el determinante es lineal en cada columna.
$$|C_1 + C_1', C_2, C_3| = |C_1, C_2, C_3| + |C_1', C_2, C_3|$$Otro dato útil: la matriz adjunta $\operatorname{Adj}(A)$ (la traspuesta de la matriz de adjuntos) cumple $A\cdot \operatorname{Adj}(A) = |A|\cdot I$. Tomando determinantes en una matriz de orden $n$: $|A|\cdot|\operatorname{Adj}(A)| = |A|^n$, de donde $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|^{n-1}$ si $|A|\neq 0$.
Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir,…
Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir, $|\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}| = 5$, calcula sin desarrollar el valor de:
$|\vec{c_1} + \vec{c_3}, \quad 2\vec{c_2}, \quad \vec{c_1} - \vec{c_3}|$
Justifica cada paso mencionando la propiedad de los determinantes que has aplicado.
Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcula el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas…
Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcula el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas son:
$$M = (C_1 + C_2, \quad C_2 + C_3, \quad C_3 + C_1)$$Si sustituimos la tercera columna de $M$ por el vector nulo, ¿cuál sería el rango de la nueva matriz? Justifica tu respuesta sin realizar cálculos numéricos detallados.
Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el…
Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el valor del determinante de la matriz $B$, definida como:
$$B = (2 \cdot A^t \cdot Adj(A))^{-1}$$donde $A^t$ es la traspuesta de $A$ y $Adj(A)$ es su matriz adjunta. Razona cada paso de tu cálculo indicando la propiedad aplicada.
Hacer ceros antes de desarrollar
En orden 4 la regla de Sarrus no sirve. Se usa la propiedad de que sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante para producir ceros en una columna y luego desarrollar por adjuntos.
También hay determinantes con una incógnita: al desarrollar queda un polinomio. Por ejemplo, $\begin{vmatrix} x & 2 & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = x^2 - x - 2$, y la ecuación $x^2 - x - 2 = 0$ se resuelve con la fórmula resolvente: $x = 2$ o $x = -1$. Cuando las soluciones no son enteras, dejalas con raíces.
Calcula el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:…
Calcula el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:
$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante: $\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ Obtén las…
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante:
$\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
Obtén las soluciones exactas (pueden contener raíces).
Determinante de Vandermonde
Hay una familia de determinantes que se factoriza directamente.
¿Por qué? Si $a = b$, dos filas son iguales y el determinante es $0$: por eso $(b-a)$ es un factor. Lo mismo para los otros dos pares. Es un polinomio de grado $3$, así que no hay más factores que esos tres.
Consecuencia: el determinante vale $0$ exactamente cuando dos de los números $a, b, c$ coinciden.
Un caso parecido: cuando la matriz depende de un ángulo $x$ (como una matriz de giro con $\cos x$ y $\operatorname{sen} x$), el determinante suele simplificarse con $\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1$ y resulta constante. Si además te piden el rango de $A - \lambda I$, plantéá $|A - \lambda I| = 0$ y resolvé para $\lambda$.
En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por: $$T =…
En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por:
$$T = \begin{pmatrix} 1 & m & m^2 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \end{pmatrix}$$- a) Sabiendo que $|T|$ es un determinante de Vandermonde, exprésalo como un producto de factores lineales.
- b) Si fijamos $a=2$ y $b=5$, discute el rango de $T$ según los valores que pueda tomar el parámetro $m$. ¿Para qué valores de $m$ el rango es mínimo y cuál es ese rango mínimo?
Dada la matriz cuadrada de orden 3: $$A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 1. Demuestra que $|A|$ es…
Dada la matriz cuadrada de orden 3:
$$A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$-
Demuestra que $|A|$ es independiente del valor de la variable $x$.
-
Si definimos una nueva matriz $B = A - \lambda I$ (donde $I$ es la identidad), encuentra los valores de $\lambda$ para los cuales el rango de $B$ es menor que 3 cuando $x = \frac{\pi}{4}$.
Qué mide el rango
Si una fila es múltiplo de otra, o es suma de otras, no aporta una dirección nueva: "sobra" a efectos del rango.
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$El rango mediante menores
Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ a) Indica cuál…
Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$- a) Indica cuál es el mayor orden posible de un menor de $B$ y cuántos menores de ese orden se pueden formar.
- b) Calcula uno de esos menores y comprueba si es distinto de cero.
- c) Escribe el rango de $B$ y justifica tu respuesta.
El método de los menores orlados
Determina el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$: $B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$…
Determina el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$:
$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$
Recuerda que para una matriz de dimensiones $3 \times 4$, el rango máximo posible es $3$.
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan…
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan la estabilidad del sistema. La matriz que representa dichas fuerzas es:
$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$$Se pide:
-
Determina el rango de la matriz $M$ en función del parámetro real $k$.
-
¿Existe algún valor de $k$ para el cual las fuerzas sean linealmente dependientes pero el rango de la matriz sea máximo? Explica tu respuesta basándote en la teoría de menores.
Rango según un parámetro
Cuando la matriz depende de una letra $k$, el rango puede cambiar con el valor de $k$. La estrategia: calcular el determinante más grande posible en función de $k$, factorizarlo y estudiar qué pasa en sus raíces. Para una matriz de $3\times 4$ (como en el caso de las fuerzas de un brazo robótico), se calculan los menores de $3\times3$ y se ve cuándo se anulan todos juntos.
Si querés describir el caso de rango $1$ geométricamente: todas las filas son proporcionales, es decir, los vectores fila están sobre una misma recta que pasa por el origen. Si el rango es $2$, están en un mismo plano.
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:…
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:
$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$
Determina para qué valores de $k$ el rango es $1$, $2$ o $3$.
Estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b &…
Estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b & 1 \end{pmatrix}$$Determina para qué valores de $(a, b)$ el rango de $A$ es igual a 1. Describe geométricamente qué relación guardan los vectores fila cuando esto ocurre.
Calcula, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y…
Calcula, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y simplificar el cálculo:
$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix}$$¿Qué condición deben cumplir $a, b$ y $c$ para que el rango de la matriz asociada sea exactamente 2?
Rango, determinante y producto de matrices
Volvé al principio: si Valentina ordena las lecturas en una matriz con una fila por sensor, el rango indica cuántos sensores aportan información independiente. Los que sobran son combinaciones de los demás, y se detectan porque los menores del tamaño correspondiente se anulan.
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:…
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$
- a) Halla los valores del parámetro real $m$ para los cuales la matriz $M$ no posee inversa.
- b) Para el valor $m = 2$, calcula el valor del determinante de la matriz inversa, $|M^{-1}|$.
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$. a) ¿Cuál es el valor del determinante del…
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$.
- a) ¿Cuál es el valor del determinante del producto $|A \cdot B|$? Razona la respuesta.
- b) ¿Es posible que el rango de la matriz producto $A \cdot B$ sea $3$? Explica por qué basándote en la relación entre el determinante y el rango.
Dada la matriz: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$ 1. Halla los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz no…
Dada la matriz:
$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$-
Halla los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz no tiene inversa.
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Para los valores hallados en el apartado anterior, calcula el rango de la matriz $A^2$.
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¿Es posible encontrar un valor de $\alpha$ tal que $rg(A) \neq rg(A^2)$? Argumenta tu respuesta basándote en las propiedades del rango y los determinantes.