Integración por cambio de variable
Agustina tiene en la carpeta la integral $\displaystyle\int 2x\,(x^2+3)^4\,dx$. Desarrollar la potencia a la cuarta y multiplicar por $2x$ sería eterno. ¿Habrá una forma más corta? Si derivás $(x^2+3)^5$ con la regla de la cadena, vas a ver que sí.
La regla de la cadena dice que $\big(G(u(x))\big)' = G'(u(x))\cdot u'(x)$. Leída al revés: si el integrando tiene la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$, una primitiva (antiderivada) es $G(u(x))$, donde $G$ es una primitiva de $g$. Cambiar de variable es ponerle un nombre, $u$, a esa función interior para no perderla de vista.
Cambio lineal: $u = ax + b$
El caso más simple es cuando adentro hay una función lineal, como $3x-5$. Su derivada es una constante, y esa constante se compensa fuera de la integral.
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la…
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:
$$\int (3x - 5)^7 \, dx$$Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función…
Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable sugerido $t = 2x + 1$:
$$\int \sqrt{2x + 1} \, dx$$Cambio lineal con exponencial, trigonométrica y logaritmo
El mismo truco sirve con cualquier función exterior de la tabla de inmediatas. Si adentro hay $ax+b$, la primitiva es la de siempre evaluada en $ax+b$ y dividida por $a$.
En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente…
En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:
$$\int e^{x/2} \, dx$$Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determina la primitiva de la siguiente función…
Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determina la primitiva de la siguiente función trigonométrica mediante el cambio $t = 4x$:
$$\int \cos(4x) \, dx$$Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.
Reconocer $g(u(x))\cdot u'(x)$ "a ojo"
Ahora adentro hay una función cualquiera y, multiplicando, aparece su derivada. Con eso se puede integrar sin escribir el cambio.
Con esto se resuelve la integral de Agustina: $u = x^2+3$ tiene $u' = 2x$, que está multiplicando. Entonces $\displaystyle\int 2x\,(x^2+3)^4dx = \frac{(x^2+3)^5}{5}+C$.
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el…
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:
$$\int 2x \cdot (x^2 + 3)^4 \, dx$$Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador…
Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:
$$\int \frac{e^x}{e^x + 4} \, dx$$Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde…
Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.
El cambio explícito cuando la estructura no se ve
A veces el integrando no tiene la derivada completa a la vista. Ahí conviene escribir el cambio y sustituir todo, $dx$ incluido.
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar…
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx$$Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente…
Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:
$$\int \frac{1}{x(1 + \ln^2 x)} \, dx$$Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la…
Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la posición es la integral de la velocidad, halla la expresión de la distancia recorrida mediante el cambio $u = \ln t$:
$$\int \frac{1}{t \sqrt{\ln t}} \, dt$$Raíces: llamar $u$ a lo que molesta
Cuando hay una raíz o una función compuesta que no es inmediata, llamá $u$ a lo que está adentro de la raíz o de la función más interior. Así la raíz desaparece al sustituir.
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la…
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utiliza el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:
$$\int \frac{x}{\sqrt{x+3}} \, dx$$Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable…
Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$ para simplificar la expresión:
$$\int \frac{x+2}{x \sqrt{x-1}} \, dx$$Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.
Raíces de distinto índice
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común…
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:
$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + 1} \, dx$$Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
Despejar $x$ y calcular $dx$
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$. Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial…
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.
Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral: $$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$ Calcula la…
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral:
$$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$Calcula la primitiva general utilizando la sustitución $t = \sqrt{x+1}$.
Primitiva que pasa por un punto
Una integral indefinida da una familia de funciones, una por cada valor de $C$. Si el problema pide la primitiva que cumple una condición, como $F(0)=0$, primero integrás con el cambio y después reemplazás para hallar $C$.
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y…
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el…
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.
Funciones trigonométricas
El cambio $t=\operatorname{sen}x$ o $t=\cos x$ funciona cuando el integrando tiene un $\cos x\,dx$ o un $\operatorname{sen}x\,dx$ disponible, porque ese factor es justamente $dt$ (salvo el signo).
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente…
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:
$$\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$$Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de…
Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:
$$\int \cos^3 x \, dx$$En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por: $$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2…
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:
$$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x - 5\operatorname{sen} x + 6} dx$$Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.
Dos cambios sucesivos
A veces después del primer cambio queda una integral que sigue necesitando otro. Es lo que pasa con los logaritmos anidados.
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado: $$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$ Indica…
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:
$$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$Indica paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizarías para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.
Volvé al principio: la integral de Agustina era $\int2x(x^2+3)^4dx$. Como $u=x^2+3$ tiene $u'=2x$ multiplicando, la primitiva es $\dfrac{(x^2+3)^5}{5}+C$, sin desarrollar nada.