Ecuación de continuidad, principio de Bernoulli y viscosidad
Mateo está regando el jardín de su casa en Arequipa. Cuando tapa con el dedo la mitad de la salida de la manguera, el chorro sale más rápido y llega más lejos. ¿Cómo es posible, si el agua que sale del caño es la misma? Al final de la página verás que la respuesta está en dos ideas: lo que entra por un lado tiene que salir por el otro (continuidad) y la energía del fluido se reparte entre presión, rapidez y altura (Bernoulli).
Caudal: cuánto fluido pasa por segundo
Imagina un tubo por el que circula agua con rapidez $v$. En un tiempo $t$ el agua avanza una distancia $d = vt$. El volumen que cruza una sección de área $A$ es un cilindro de base $A$ y largo $vt$.
Ese volumen entre el tiempo es el caudal $Q$:
Por qué es $A\cdot v$: en cada segundo el agua recorre $v$ metros dentro de un tubo de área $A$, y el volumen de ese «cilindro» es $A \cdot v$.
Una manguera de jardín en una casa de Arequipa tiene una sección de área $4\ \text{cm}^2$. El agua circula por ella con una rapidez de $2\ \text{m/s}$. Calcula el caudal…
Una manguera de jardín en una casa de Arequipa tiene una sección de área $4\ \text{cm}^2$. El agua circula por ella con una rapidez de $2\ \text{m/s}$. Calcula el caudal en $\text{m}^3/\text{s}$ y exprésalo también en litros por segundo.
Ecuación de continuidad
Considera un fluido ideal (incompresible y sin viscosidad) en régimen estacionario: en cada punto, la rapidez y la presión no cambian con el tiempo. Si la tubería no tiene fugas ni derivaciones, el volumen que entra por un extremo en un segundo es igual al que sale por el otro. Si no, el fluido se acumularía o aparecería de la nada.
Por una tubería de sección uniforme circula agua en régimen estacionario. Escribe la ecuación de continuidad para dos secciones de áreas $A_1$ y $A_2$ de una misma…
Por una tubería de sección uniforme circula agua en régimen estacionario. Escribe la ecuación de continuidad para dos secciones de áreas $A_1$ y $A_2$ de una misma tubería. Indica qué magnitud física permanece constante a lo largo de la tubería y cuál es su unidad en el Sistema Internacional.
Ecuación de Bernoulli
La continuidad dice que el fluido acelera al pasar por un estrechamiento. Para acelerar hace falta una fuerza neta, así que la presión tiene que ser distinta antes y después. Daniel Bernoulli relacionó esas tres cosas: presión, rapidez y altura.
Es el teorema del trabajo y la energía aplicado a un fluido ideal: el trabajo de las fuerzas de presión se transforma en energía cinética y potencial. Por unidad de volumen, a lo largo de una línea de corriente:
Válida para fluido ideal, régimen estacionario y a lo largo de una línea de corriente. Se puede usar presión manométrica en ambos lados, o absoluta en ambos lados, pero no mezclarlas.
Dos casos que te conviene tener claros
Tubería horizontal ($h_1 = h_2$): los términos de altura se cancelan y queda
$$p_1 - p_2 = \tfrac12\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$$Donde la rapidez es mayor, la presión es menor.
Misma sección ($v_1 = v_2$): se cancelan los términos de rapidez y queda
$$p_2 - p_1 = \rho g\,(h_1 - h_2)$$Es la presión hidrostática de siempre. Si el agua baja $5\ \text{m}$ en una tubería de sección uniforme, la presión aumenta $\rho g \cdot 5 = 1000\cdot10\cdot5 = 5\times10^4\ \text{Pa}$.
Una tubería horizontal de agua en un colegio de Trujillo tiene un tramo ancho de diámetro $10\ \text{cm}$ y luego se estrecha a un diámetro de $5\ \text{cm}$. En el…
Una tubería horizontal de agua en un colegio de Trujillo tiene un tramo ancho de diámetro $10\ \text{cm}$ y luego se estrecha a un diámetro de $5\ \text{cm}$. En el tramo ancho el agua circula a $1\ \text{m/s}$. Calcula la rapidez del agua en el tramo angosto. Luego explica, usando el principio de Bernoulli, en cuál de los dos tramos es mayor la presión y por qué.
Por una tubería inclinada circula agua de forma estacionaria. En el punto A el diámetro es $20\ \text{cm}$, la rapidez es $1\ \text{m/s}$ y la presión manométrica es…
Por una tubería inclinada circula agua de forma estacionaria. En el punto A el diámetro es $20\ \text{cm}$, la rapidez es $1\ \text{m/s}$ y la presión manométrica es $2.0\times10^5\ \text{Pa}$. En el punto B, situado $4\ \text{m}$ más abajo, el diámetro es $10\ \text{cm}$. Considera el agua como fluido ideal con $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$ y $g = 10\ \text{m/s}^2$. Calcula la rapidez del agua en B y la presión manométrica en B. Comenta si el resultado es coherente con el efecto de la altura y el efecto de la rapidez sobre la presión.
Aplicaciones de Bernoulli
Teorema de Torricelli
Un tanque grande, abierto, con un orificio a una profundidad $h$ bajo la superficie. En la superficie y en el orificio la presión es la atmosférica, y la superficie baja tan lento que su rapidez es casi $0$. Bernoulli entre ambos puntos:
$$p_{atm} + \rho g h = p_{atm} + \tfrac12\rho v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2gh}$$Es la rapidez que tendría un cuerpo que cae libremente desde la altura $h$. Observa que no depende del área del orificio ni de la densidad del líquido.
Efecto Venturi
Un tubo de Venturi es una tubería horizontal con un estrechamiento. Midiendo la diferencia de presión entre la parte ancha (1) y la angosta (2) se obtiene el caudal. Combina las dos ecuaciones:
-
Continuidad: $v_2 = v_1\,A_1/A_2$.
-
Bernoulli horizontal: $p_1 - p_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$.
Sustituyendo (1) en (2) se despeja $v_1$, y luego $Q = A_1 v_1$.
Techos, alas y chorros
Cuando el viento sopla con fuerza sobre un techo, el aire de arriba va rápido y tiene menor presión que el aire en reposo de abajo. La diferencia de presión $\Delta p \approx \tfrac12\rho_{aire}v^2$ actúa sobre el área del techo y da una fuerza hacia arriba, $F = \Delta p \cdot A$. Como depende de $v^2$, si el viento duplica su rapidez la fuerza se multiplica por 4. Es el mismo principio que ayuda a levantar las alas de un avión.
Y la manguera de Mateo: al tapar parte de la salida, el área $A$ baja, por continuidad $v = Q/A$ sube, y el chorro llega más lejos.
Un tanque grande, abierto a la atmósfera, está lleno de agua hasta una altura de $5\ \text{m}$ sobre un pequeño orificio lateral. Considera el agua como un fluido ideal…
Un tanque grande, abierto a la atmósfera, está lleno de agua hasta una altura de $5\ \text{m}$ sobre un pequeño orificio lateral. Considera el agua como un fluido ideal y desprecia la rapidez de descenso de la superficie del tanque. Usa el principio de Bernoulli para calcular la rapidez con que sale el agua por el orificio. Indica además qué ocurriría con esa rapidez si el orificio tuviera el doble de área.
Durante un temporal en la costa, el viento sopla con gran rapidez sobre el techo plano de una casa, mientras que dentro de la casa el aire está prácticamente en reposo.…
Durante un temporal en la costa, el viento sopla con gran rapidez sobre el techo plano de una casa, mientras que dentro de la casa el aire está prácticamente en reposo. Explica, con el principio de Bernoulli, por qué el techo puede ser empujado hacia arriba. Indica qué diferencia de presiones interviene y cómo cambia la fuerza neta si el viento aumenta su rapidez.
Un tubo de Venturi horizontal se usa para medir el caudal de agua en un canal de riego en la sierra de Huancayo. La sección ancha tiene área $A_1 = 40\ \text{cm}^2$ y la…
Un tubo de Venturi horizontal se usa para medir el caudal de agua en un canal de riego en la sierra de Huancayo. La sección ancha tiene área $A_1 = 40\ \text{cm}^2$ y la sección estrecha tiene área $A_2 = 10\ \text{cm}^2$. Un manómetro mide una diferencia de presión $P_1 - P_2 = 7.5\times10^3\ \text{Pa}$ entre ambas secciones. Con $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$ y considerando un fluido ideal, plantea las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli, y calcula la rapidez en la sección ancha y el caudal. Después discute qué cambiaría en la práctica si el agua tuviera una viscosidad apreciable.
Viscosidad (concepto)
Todo lo anterior supone un fluido ideal. Los fluidos reales «se pegan» entre sí: cuando una capa se desliza sobre otra aparece una fricción interna. Esa propiedad es la viscosidad, y mide qué tanto se resiste un fluido a fluir.
La miel es mucho más viscosa que el agua: tarda mucho más en caer de un vaso inclinado. El aceite de motor está en un punto intermedio.
| Fluido | Viscosidad (orden de magnitud) |
|---|---|
| Aire | muy baja |
| Agua (a 20 °C) | $\approx 1\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ |
| Aceite | decenas de veces la del agua |
| Miel | miles de veces la del agua |
La viscosidad se representa con $\eta$. Su unidad en el SI es el $\text{Pa·s}$; en el sistema cegesimal se usa el poise (P): $1\ \text{P} = 0.1\ \text{Pa·s}$. Aquí solo necesitas el concepto, sin fórmulas.
Cuando un fluido real circula por una tubería, la viscosidad hace que:
-
la rapidez sea menor junto a las paredes y mayor en el centro;
-
la presión baje a lo largo del tubo aunque la sección sea uniforme (hay que gastar energía para empujarlo);
-
el caudal real sea menor que el que predice Bernoulli.
En los líquidos, la viscosidad disminuye al calentar: por eso la miel fluye mejor tibia. En los gases ocurre lo contrario.
Dos fluidos, la miel y el agua, se vierten por separado desde un mismo vaso inclinado. La miel fluye mucho más lentamente que el agua. Explica con tus palabras qué…
Dos fluidos, la miel y el agua, se vierten por separado desde un mismo vaso inclinado. La miel fluye mucho más lentamente que el agua. Explica con tus palabras qué propiedad de los fluidos explica esta diferencia y cuál de los dos fluidos tiene mayor valor de esa propiedad.
Vuelve al principio: al tapar la manguera, el área baja y, como el caudal se mantiene, la rapidez del chorro sube ($v = Q/A$). La energía de la presión del agua se convierte en energía cinética a la salida.